medida harmônica - Harmonic measure

Em matemática , especialmente a teoria do potencial , medida harmônica é um conceito relacionado com a teoria de funções harmônicas que surge a partir da solução do clássico problema de Dirichlet .

medida harmônica é a distribuição de saída do movimento browniano

Em teoria da probabilidade , a medida harmônica de um subconjunto do limite de um domínio limitado no espaço euclidiano , é a probabilidade de que um movimento browniano começou dentro de um domínio atinge esse subconjunto do limite. Mais geralmente, medida harmónica de um Ito difusão X descreve a distribuição de X que atinge o limite de D . No plano complexo , medida harmónica pode ser utilizado para estimar o módulo de uma função analítica dentro de um domínio D dada limites sobre o módulo sobre o limite do domínio; um caso especial deste princípio é teorema de três círculos de Hadamard . Em domínios planares simplesmente ligadas, existe uma ligação próxima entre medida harmónica e a teoria de projecção conforme . ${\ Displaystyle R ^ {n}}$ ${\ Displaystyle n \ 2} GEQ$

O termo medida harmônica foi introduzido por Rolf Nevanlinna em 1928 para domínios planares, embora Nevanlinna observa surgiu a idéia implícita no trabalho anterior de Johansson, F. Riesz, M. Riesz, Carleman, Ostrowski e Julia (ordem original citada). A conexão entre a medida harmônica e movimento browniano foi identificado pela primeira vez por Kakutani dez anos mais tarde, em 1944.

Definição

Deixe- D ser uma delimitada , domínio aberto em n - dimensional espaço euclidiano R ⁿ , n ≥ 2, e deixar ∂ D denotam o limite de D . Qualquer função contínua f : ∂ D → R determina uma única função harmónica H _f que resolve o problema de Dirichlet

{\ Displaystyle {\ begin {casos} - \ Delta H_ {f} (x) = 0, & x \ em D; \\ H_ {f} (x) = f (x), e x \ in \ parcial D. \ end {casos}}}

Se um ponto x ∈ D está fixo, pelo teorema de representação de Riesz-Markov-Kakutani e o máximo princípio H _f ( x ) determina uma medida de probabilidade ω ( x , D ) em ∂ D pela

{\ Displaystyle H_ {f} (x) = \ int _ {\ D parcial} f (y) \, \ mathrm {d} \ omega (x, D) (y).}

A medida ω ( x , D ) é chamada a medida harmónica (do domínio D com pólo em x ).

propriedades

Para qualquer Borel subconjunto E de ∂ D , a harmónica medida ω ( x , D ) ( E ) é igual ao valor em x da solução para o problema de Dirichlet com os dados de fronteira igual a função de indicador de E .
Para fixa D e E ⊆ ∂ D , ω ( x , D ) ( E ) é uma função de harmónica x ∈ D e

{\ Displaystyle 0 \ leq \ omega (x, D) (E) \ leq 1;}

{\ Displaystyle 1- \ omega (x, D) (E) = \ omega (x, D) (\ parcial D \ setminus E);}

Assim, para cada x e D , ω ( x , D ) é uma medida de probabilidade em ∂ D .

Se ω ( x , D ) ( E ) = 0, mesmo em um único ponto x de D , em seguida, é identicamente zero, caso em que E é dito ser um conjunto de medida harmónica nula . Esta é uma consequência da desigualdade de Harnack . ${\ Displaystyle y \ mapsto \ omega (y, D) (E)}$

Desde fórmulas explícitas para medida harmônica não estão normalmente disponíveis, estamos interessados em determinar condições que garantam um conjunto tem medida harmônica zero.

F. e M. Riesz Teorema : Se é um domínio planar simplesmente ligado delimitada por uma curva retificável (isto é, se ), em seguida, medida harmónica é mutuamente absolutamente contínua no que diz respeito ao arco comprimento: para todos , se e apenas se . ${\ Displaystyle D \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle H ^ {1} (\ D parcial) <\ infty}$ ${\ Displaystyle E \ subconjunto \ D parcial}$ ${\ Displaystyle \ omega (X, D) (E) = 0}$ ${\ Displaystyle H ^ {1} (E) = 0}$
Teorema de Makarov : Vamos ser um domínio planar simplesmente conectado. Se e para alguns , então . Além disso, medida harmónica em D é mutuamente singular em relação à camisa de medida de hausdorff -dimensional para todos t > 1. ${\ Displaystyle D \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle E \ subconjunto \ D parcial}$ ${\ Displaystyle H ^ {s} (E) = 0}$ ${\ Displaystyle s <1}$ ${\ Displaystyle \ omega (x, D) (E) = 0}$

Teorema de Dahlberg : Se é um limitado domínio Lipschitz , em seguida, medida harmônica e ( n - 1) medida Hausdorff dimensional são mutuamente absolutamente contínua: para todos , se e somente se . ${\ Displaystyle D \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle E \ subconjunto \ D parcial}$ ${\ Displaystyle \ omega (X, D) (E) = 0}$ ${\ Displaystyle H ^ {n-1} (E) = 0}$

Exemplos

Se é o disco de unidade, em seguida, medida de harmónica com pólo na origem é medida de comprimento no círculo unitário normalizada para ser uma probabilidade, ou seja, para todos os que indica o comprimento de . ${\ Displaystyle \ mathbb {D} = \ {X \ in \ mathbb {R} ^ {2}: | X | <1 \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {D}}$ ${\ Displaystyle \ omega (0, \ mathbb {D}) (E) = | E | / 2 \ pi}$ ${\ Displaystyle E \ subconjunto S ^ {1}}$ ${\ Displaystyle | E |}$ ${\ Displaystyle E}$
Se é o disco de unidade e , em seguida, para todos os que indica a medida de comprimento no círculo unitário. A derivada de Radon-Nikodym é chamado o núcleo de Poisson . ${\ Displaystyle \ mathbb {D}}$ ${\ Displaystyle X \ in \ mathbb {D}}$ ${\ Displaystyle \ omega (X, \ mathbb {D}) (E) = \ int _ {E} {\ frac {1- | X | ^ {2}} {| XQ | ^ {2}}} {\ frac {dH ^ {1} (Q)} {2 \ pi}}}$ ${\ Displaystyle E \ subconjunto S ^ {1}}$ ${\ Displaystyle H ^ {1}}$ ${\ Displaystyle d \ omega (X, \ mathbb {D}) / dH ^ {1}}$
De modo mais geral, se e é o n bola unidade -dimensional, em seguida, medida harmónica com pólo em é para todos onde indica a medida de superfície (( n - 1) -dimensional medida de hausdorff ) na esfera unitária e . ${\ Displaystyle n \ 2} GEQ$ ${\ Displaystyle \ mathbb {B} ^ {n} = \ {X \ in \ mathbb {R} ^ {n}: | X | <1 \}}$ ${\ Displaystyle X \ in \ mathbb {B} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ omega (X, \ mathbb {B} ^ {n}) (E) = \ int _ {E} {\ frac {1- | X | ^ {2}} {| XQ | ^ {n} }} {\ frac {dH ^ {n-1} (Q)} {\ sigma _ {n-1}}}}$ ${\ Displaystyle E \ subconjunto S ^ {n-1}}$ ${\ Displaystyle H ^ {n-1}}$ ${\ Displaystyle S ^ {n-1}}$ ${\ Displaystyle H ^ {n-1} (S ^ {n-1}) = \ sigma _ {n-1}}$
Medida harmônica em Domínios Planar simplesmente conexa

Se é um domínio planar simplesmente ligado delimitada por uma curva de Jordan e X D , então para todos onde é o único mapa de Riemann que envia a origem de X , isto é . Veja o teorema de Carathéodory . ${\ Displaystyle D \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ in}$ ${\ Displaystyle \ omega (X, D) (E) = | f ^ {- 1} (E) | / 2 \ pi}$ ${\ Displaystyle E \ subconjunto \ D parcial}$ ${\ Displaystyle f: \ mathbb {D} \ rightarrow D}$ ${\ Displaystyle F (0) = X}$
Se é o domínio limitado pelo floco Koch , então existe um subconjunto do floco de Koch tal que tem comprimento zero ( ) e medida harmónica total . ${\ Displaystyle D \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle E \ subconjunto \ D parcial}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle H ^ {1} (E) = 0}$ ${\ Displaystyle \ omega (X, D) (E) = 1}$

A medida de uma harmónica difusão

Considere um R ⁿ -valued Ito difusão X começando em algum ponto x no interior de um domínio D , com o direito P ^x . Suponha que alguém deseja conhecer a distribuição dos pontos em que X saídas D . Por exemplo, o movimento browniano canónica B sobre o eixo real a partir de 0 sai do intervalo (-1, 1) a -1 com probabilidade ½ e em uma com ½ probabilidade, então B _{τ _{(-1, 1)}} é uniformemente distribuída sobre o conjunto {-1, 1}.

Em geral, se L é compacta incorporado dentro R ⁿ , em seguida, a medida harmónica (ou distribuição de bater ) de X no limite ∂ L de L é a medida μ _L^x definido pela

{\ Displaystyle \ mu _ {L} ^ {x} (F) = \ mathbf {P} ^ {x} {\ grande [} X _ {\ tau _ {L}} \ em F {\ grande]}}

para x ∈ G e F ⊆ ∂ L .

Voltando ao exemplo anterior do movimento Browniano, pode-se mostrar que, se B é um movimento browniano em R ⁿ a partir de x ∈ R ⁿ e D ⊂ R ⁿ é um bola aberto centrado em x , então a medida harmónica de B em ∂ D é invariante em todas as rotações de D cerca de x e coincide com o normalizada medida de superfície no ∂ D

referências gerais

Garnett, John B .; Marshall, Donald E. (2005). Medida harmônica . Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10,2277 / 0521470188 . ISBN 978-0-521-47018-6 .

Øksendal, Bernt K. (2003). Estocásticos Equações Diferenciais: Uma Introdução com Aplicações (Sexta ed.). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1 .MR 2001996 (ver as secções 7, 8 e 9)

Capogna, Luca; Kenig, Carlos E .; Lanzani, Loredana (2005). Medida Harmonic: Pontos geométricas e de vista analítico . Lecture Series universidade. ULECT / 35. American Mathematical Society. p. 155. ISBN 978-0-8218-2728-4 .

Referências

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^ R. Nevanlinna (1934), "Das harmonische Massa von Punktmengen und Anwendung Seine in der Funktionentheorie", Rendus des Congrès du huitème mathématiciens scandinaves, Estocolmo, pp. 116-133.
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^ F. e M. Riesz (1916), "Uber die Randwerte Funktion einer analytischen", Quatrieme Congrès des Mathématiciens Scandinaves, Estocolmo, pp. 27-44.
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     8 ^C.Kenig and T.Toro, Free Boundary regularity  for Harmonic Measores and Poisson Kernels, Ann. of Math. 150(1999)369-454MR 172669992001d:31004)
     9^C.Kenig, D.PreissandT. Toro, Boundary Structure and Size in terms of Interior and Exterior Harmonic Measures in Higher Dimensions, Jour. ofAmer. Math. Soc.vol22  July 2009,  no3,771-796
     10^ S .G.Krantz,  The Theory and Practice of Conformal Geometry,  Dover Publ.Mineola New York (2016) esp. Ch6 classical case

links externos

Solomentsev, ED (2001) [1994], "medida Harmonic" , em Hazewinkel, Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] R. Nevanlinna (1970), "Funções Analíticas", Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, cf. Introdução p. 3

[2] R. Nevanlinna (1934), "Das harmonische Massa von Punktmengen und Anwendung Seine in der Funktionentheorie", Rendus des Congrès du huitème mathématiciens scandinaves, Estocolmo, pp. 116-133.

[3] Kakutani, S. (1944). "Em movimento browniano em n -espaço". Proc. Criança levada. Acad. Tokyo . 20 (9): 648 & ndash, 652. doi : 10,3792 / pia / 1195572742 .

[4] F. e M. Riesz (1916), "Uber die Randwerte Funktion einer analytischen", Quatrieme Congrès des Mathématiciens Scandinaves, Estocolmo, pp. 27-44.

[5] Makarov, NG (1985). "Por Distorção da Boundary Define Sob Conformal Mapas". Proc. Londres Math. Soc . 3. 52 (2): 369 & ndash, 384. doi : 10,1112 / MPM / s3-51.2.369 .

[6] Dahlberg, Bjorn EJ (1977). "As estimativas da medida harmônica". Arco. Rato. Mech. Anal . 65 (3): 275 & ndash, 288. bibcode : 1977ArRMA..65..275D . doi : 10,1007 / BF00280445 .

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