Cálculo funcional - Functional calculus

Em matemática , um cálculo funcional é uma teoria permitindo que se possa aplicar funções matemáticas para operadores matemáticos . Agora é um ramo (mais precisamente, várias áreas relacionadas) do campo da análise funcional , conectado com a teoria espectral . (Historicamente, o termo também foi usado como sinônimo de cálculo de variações ; esse uso é obsoleto, exceto para derivada funcional . Às vezes, é usado em relação a tipos de equações funcionais ou em lógica para sistemas de cálculo de predicado .)

Se for uma função, digamos, uma função numérica de um número real , e for um operador, não há nenhuma razão particular para que a expressão faça sentido. Em caso afirmativo, não estamos mais usando em seu domínio de função original . Na tradição do cálculo operacional , as expressões algébricas em operadores são tratadas independentemente de seu significado. Isso passa quase despercebido se falarmos sobre 'quadratura de uma matriz', que é o caso de e uma matriz . A ideia de um cálculo funcional é criar uma abordagem baseada em princípios para esse tipo de sobrecarga da notação. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f (M)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n \ times n}$

O caso mais imediato é aplicar funções polinomiais a uma matriz quadrada , estendendo o que acabamos de discutir. No caso de dimensão finita, o cálculo funcional polinomial produz muitas informações sobre o operador. Por exemplo, considere a família de polinômios que aniquila um operador . Esta família é ideal no anel de polinômios. Além disso, é um ideal não trivial: seja a dimensão finita da álgebra de matrizes, então é linearmente dependente. Portanto, para alguns escalares , nem todos iguais a 0. Isso implica que o polinômio está no ideal. Como o anel de polinômios é um domínio ideal principal , esse ideal é gerado por algum polinômio . Multiplicando por uma unidade, se necessário, podemos escolher ser mônicos. Quando isso é feito, o polinômio é precisamente o polinômio mínimo de . Este polinômio fornece informações detalhadas sobre . Por exemplo, um escalar é um autovalor de se e somente se é uma raiz de . Além disso, às vezes pode ser usado para calcular o exponencial de forma eficiente. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ {I, T, T ^ {2}, \ ldots, T ^ {n} \}}$${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} T ^ {i} = 0}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} x ^ {i}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle T}$

O cálculo polinomial não é tão informativo no caso de dimensão infinita. Considere o deslocamento unilateral com o cálculo dos polinômios; o ideal definido acima agora é trivial. Assim, estamos interessados ​​em cálculos funcionais mais gerais do que polinômios. O assunto está intimamente ligado à teoria espectral , pois para uma matriz diagonal ou operador de multiplicação é bastante claro quais devem ser as definições.

Veja também

• Cálculo funcional holomórfico
• Cálculo funcional contínuo
• Cálculo funcional Borel

Referências

• "Functional calculus" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

links externos

• Mídia relacionada ao cálculo funcional no Wikimedia Commons

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