Espaço topológico finito - Finite topological space

Em matemática , um espaço topológico finito é um espaço topológico para o qual o conjunto de pontos subjacente é finito . Ou seja, é um espaço topológico para o qual existem apenas pontos finitos.

Enquanto a topologia foi desenvolvida principalmente para espaços infinitos, espaços topológicos finitos são freqüentemente usados ​​para fornecer exemplos de fenômenos interessantes ou contra - exemplos para conjecturas plausíveis. William Thurston chamou o estudo de topologias finitas, neste sentido, de "um tópico estranho que pode fornecer uma boa visão para uma variedade de questões".

Topologias em um conjunto finito

Como uma sub-rede limitada

Uma topologia em um conjunto X é definida como um subconjunto de P ( X ), o conjunto de potência de X , que inclui ∅ e X e é fechado sob interseções finitas e uniões arbitrárias .

Como o conjunto de potência de um conjunto finito é finito, pode haver apenas muitos conjuntos abertos finitos (e apenas muitos conjuntos fechados finitos ). Portanto, basta verificar se a união de um número finito de conjuntos abertos está aberta. Isso leva a uma descrição mais simples das topologias em um conjunto finito.

Seja X um conjunto finito. Uma topologia em X é um subconjunto τ de P ( X ) tal que

1. ∅ ∈ τ e X ∈ τ
2. se U e V estão em τ então U ∪ V ∈ τ
3. se U e V estão em τ então U ∩ V ∈ τ

Uma topologia em um conjunto finito é, portanto, nada mais do que uma sub - rede de ( P ( X ), ⊂) que inclui o elemento inferior (∅) e o elemento superior ( X ).

Cada rede limitada finita é completa, uma vez que o encontro ou junção de qualquer família de elementos pode sempre ser reduzido a um encontro ou junção de dois elementos. Segue-se que, em um espaço topológico finito, a união ou interseção de uma família arbitrária de conjuntos abertos (resp. Conjuntos fechados) é aberta (resp. Fechados).

Pré-encomenda de especialização

Topologias sobre um conjunto finito X estão em correspondência de um-para-um com as encomendas em X . Lembre-se de que uma pré-ordem em X é uma relação binária em X que é reflexiva e transitiva .

Dado um (não necessariamente finito) espaço topológico X , podemos definir uma pré-ordem em X por

x ≤ y se e somente se x ∈ cl { y }

onde cl { y } denota o fechamento do conjunto singleton { y }. Este pré-venda é chamado de pré-venda especialização em X . Cada conjunto aberto U de X será um conjunto superior em relação a ≤ (ou seja, se x ∈ U e x ≤ y, então y ∈ U ). Agora, se X é finito, o inverso também é verdadeiro: cada conjunto superior é aberta em X . Portanto, para espaços finitos, a topologia em X é determinada exclusivamente por ≤.

Indo na outra direção, suponha que ( X , ≤) seja um conjunto pré-ordenado. Defina uma topologia τ em X tomando os conjuntos abertos como sendo os conjuntos superiores em relação a ≤. Então a relação ≤ será a pré-ordem de especialização de ( X , τ). A topologia definida desta forma é chamada de topologia de Alexandrov determinada por ≤.

A equivalência entre pré-ordens e topologias finitas pode ser interpretada como uma versão do teorema de representação de Birkhoff , uma equivalência entre redes distributivas finitas (a rede de conjuntos abertos da topologia) e ordens parciais (a ordem parcial das classes de equivalência da pré-ordem). Essa correspondência também funciona para uma classe maior de espaços denominados espaços gerados finitamente . Os espaços finitamente gerados podem ser caracterizados como os espaços nos quais uma interseção arbitrária de conjuntos abertos é aberta. Os espaços topológicos finitos são uma classe especial de espaços finitamente gerados.

Exemplos

0 ou 1 pontos

Existe uma topologia única no conjunto vazio ∅. O único conjunto aberto é o vazio. Na verdade, este é o único subconjunto de ∅.

Da mesma forma, há uma topologia exclusiva em um conjunto singleton { a }. Aqui, os conjuntos abertos são ∅ e { a }. Essa topologia é discreta e trivial , embora de certa forma seja melhor pensá-la como um espaço discreto, uma vez que compartilha mais propriedades com a família de espaços discretos finitos.

Para qualquer espaço topológico X, existe uma função contínua única de ∅ a X , a saber, a função vazia . Há também uma função contínua única de X para o espaço singleton { a }, ou seja, a função constante para a . Na linguagem da teoria das categorias, o espaço vazio serve como um objeto inicial na categoria dos espaços topológicos, enquanto o espaço singleton serve como um objeto terminal .

2 pontos

Seja X = { a , b } um conjunto com 2 elementos. Existem quatro topologias distintas em X :

1. {∅, { a , b }} (a topologia trivial )
2. {∅, { a }, { a , b }}
3. {∅, { b }, { a , b }}
4. {∅, { a }, { b }, { a , b }} (a topologia discreta )

A segunda e a terceira topologias acima são facilmente vistas como homeomórficas . A função de X para si mesma que troca a e b é um homeomorfismo. Um espaço topológico homeomórfico a um desses é chamado de espaço Sierpiński . Então, de fato, existem apenas três topologias inequivalentes em um conjunto de dois pontos: a trivial, a discreta e a topologia de Sierpiński.

A pré-encomenda de especialização no espaço de Sierpiński { a , b } com { b } aberto é dada por: a ≤ a , b ≤ b e a ≤ b .

3 pontos

Seja X = { a , b , c } um conjunto com 3 elementos. Existem 29 topologias distintas em X, mas apenas 9 topologias inequivalentes:

1. {∅, { a , b , c }}
2. {∅, { c }, { a , b , c }}
3. {∅, { a , b }, { a , b , c }}
4. {∅, { c }, { a , b }, { a , b , c }}
5. {∅, { c }, { b , c }, { a , b , c }}
6. {∅, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }}
7. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c }}
8. {∅, { b }, { c }, { a , b }, { b , c }, { a , b , c }}
9. {∅, { a }, { b }, { c }, { a , b }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }}

Os últimos 5 deles são todos T ₀ . O primeiro é trivial, enquanto em 2, 3, 4 e os pontos de um e b são topologicamente indistinguíveis .

4 pontos

Seja X = { a , b , c , d } um conjunto com 4 elementos. Existem 355 topologias distintas em X, mas apenas 33 topologias inequivalentes:

1. {∅, { a , b , c , d }}
2. {∅, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
3. {∅, { a }, { a , b , c , d }}
4. {∅, { a }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
5. {∅, { a , b }, { a , b , c , d }}
6. {∅, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
7. {∅, { a }, { a , b }, { a , b , c , d }}
8. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c , d }}
9. {∅, { a , b , c }, { d }, { a , b , c , d }}
10. {∅, { a }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
11. {∅, { a }, { a , b , c }, { d }, { a , d }, { a , b , c , d }}
12. {∅, { a }, { b , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
13. {∅, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }}
14. {∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
15. {∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }}
16. {∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { d }, { a , b , d }, { c , d }, { a , b , c , d }}
17. {∅, { b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
18. {∅, { a }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
19. {∅, { a }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
20. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
21. {∅, { a }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
22. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
23. {∅, { a }, { a , b }, { c }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
24. {∅, { a }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
25. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
26. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
27. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { b , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
28. {∅, { a }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
29. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
30. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
31. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
32. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { a , b , c , d } } ( T ₀ )
33. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { d }, { a , d } , { b , d }, { a , b , d }, { c , d }, { a , c , d }, { b , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )

Os últimos 16 deles são todos T ₀ .

Propriedades

Compacidade e contabilidade

Todo espaço topológico finito é compacto, pois qualquer cobertura aberta já deve ser finita. Na verdade, os espaços compactos são muitas vezes considerados uma generalização dos espaços finitos, uma vez que compartilham muitas das mesmas propriedades.

Cada espaço topológico finito também pode ser contado em segundos (há apenas muitos conjuntos abertos finitos) e separável (uma vez que o próprio espaço é contável ).

Axiomas de separação

Se um espaço topológico finito for T ₁ (em particular, se for Hausdorff ), então ele deve, de fato, ser discreto. Isso ocorre porque o complemento de um ponto é uma união finita de pontos fechados e, portanto, fechados. Segue-se que cada ponto deve ser aberto.

Portanto, qualquer espaço topológico finito que não seja discreto não pode ser T ₁ , Hausdorff ou qualquer coisa mais forte.

No entanto, é possível que um espaço finito não discreto seja T ₀ . Em geral, dois pontos x e y são topologicamente indistinguíveis se e somente se x ≤ y e y ≤ x , onde ≤ é a pré-venda de especialização em X . Segue-se que um espaço X é T ₀ se e somente se a pré-encomenda de especialização ≤ em X for uma ordem parcial . Existem numerosas ordens parciais em um conjunto finito. Cada um define uma topologia T ₀ exclusiva .

Da mesma forma, um espaço é R ₀ se e somente se a pré-ordem de especialização for uma relação de equivalência. Dada qualquer relação de equivalência em um conjunto finito X a topologia associada é a topologia partição em X . As classes de equivalência serão as classes de pontos topologicamente indistinguíveis. Como a topologia da partição é pseudometrizável , um espaço finito é R ₀ se e somente se for completamente regular .

Espaços finitos não discretos também podem ser normais . A topologia do ponto excluído em qualquer conjunto finito é um espaço T ₀ completamente normal que não é discreto.

Conectividade

Conectividade em um espaço finito X é melhor entendida considerando a pré-venda especialização ≤ em X . Podemos associar a qualquer conjunto pré - ordenado X um gráfico direcionado Γ tomando os pontos de X como vértices e desenhando uma aresta x → y sempre que x ≤ y . A conectividade de um espaço finito X pode ser entendida considerando a conectividade do grafo associado Γ.

Em qualquer espaço topológico, se x ≤ y, então há um caminho de x para y . Pode-se simplesmente tomar f (0) = x e f ( t ) = y para t > 0. É fácil verificar que f é contínuo. Segue-se que os componentes do caminho de um espaço topológico finito são precisamente os componentes (fracamente) conectados do grafo associado Γ. Ou seja, existe um caminho topológico de x para y se e somente se houver um caminho não direcionado entre os vértices correspondentes de Γ.

Cada espaço finito é localmente conectado ao caminho desde o conjunto

${\ displaystyle \ mathop {\ uparrow} x = \ {y \ in X: x \ leq y \}}$

é uma vizinhança aberta conectada por caminho de x que está contida em todas as outras vizinhanças. Em outras palavras, este único conjunto forma uma base local em x .

Portanto, um espaço finito está conectado se, e somente se, estiver conectado por caminho. Os componentes conectados são precisamente os componentes do caminho. Cada tal componente é tanto fechada e aberta em X .

Os espaços finitos podem ter propriedades de conectividade mais fortes. Um espaço finito X é

• hiperconectado se e somente se houver um elemento maior no que diz respeito à pré-encomenda de especialização. Este é um elemento cujo encerramento é todo o espaço X .
• ultraconectado se e somente se houver um elemento mínimo em relação à pré-encomenda de especialização. Este é um elemento cujo único bairro é todo o espaço X .

Por exemplo, a topologia de ponto particular em um espaço finito é hiperconectada, enquanto a topologia de ponto excluída é ultraconectada. O espaço Sierpiński é ambos.

Estrutura adicional

Um espaço topológico finito é pseudometrizável se e somente se for R ₀ . Neste caso, uma possível pseudométrica é dada por

${\ displaystyle d (x, y) = {\ begin {cases} 0 & x \ equiv y \\ 1 & x \ not \ equiv y \ end {cases}}}$

onde x ≡ y meios x e y são topologicamente indistinguíveis . Um espaço topológico finito é metrizável se e somente se for discreto.

Da mesma forma, um espaço topológico é uniformizável se e somente se for R ₀ . A estrutura uniforme será a uniformidade pseudométrica induzida pelo pseudométrico acima.

Topologia algébrica

Talvez surpreendentemente, existem espaços topológicos finitos com grupos fundamentais não triviais . Um exemplo simples é o pseudocírculo , que é o espaço X com quatro pontos, dois dos quais abertos e dois fechados. Existe um mapa contínuo do círculo unitário S ¹ até X que é uma equivalência de homotopia fraca (isto é, induz um isomorfismo de grupos de homotopia ). Conclui-se que o grupo fundamental do pseudocírculo é cíclico infinito .

De forma mais geral, foi mostrado que para qualquer complexo simplicial abstrato finito K , há um espaço topológico finito X _K e uma equivalência de homotopia fraca f  : | K | → X _K onde | K | é a realização geométrica de K . Conclui-se que os grupos de homotopia de | K | e X _K são isomórficos. Na verdade, o conjunto subjacente de X _K pode ser considerado o próprio K , com a topologia associada à ordem parcial de inclusão.

Número de topologias em um conjunto finito

Conforme discutido acima, as topologias em um conjunto finito estão em correspondência um a um com as encomendas no conjunto e as topologias T ₀ estão em correspondência um a um com pedidos parciais . Portanto, o número de topologias em um conjunto finito é igual ao número de pedidos antecipados e o número de topologias T ₀ é igual ao número de pedidos parciais.

A tabela a seguir lista o número de topologias distintas (T ₀ ) em um conjunto com n elementos. Ele também lista o número de topologias inequivalentes (ou seja, não caseiras ).

Número de topologias em um conjunto com n pontos

n	Topologias distintas	Topologias T 0 distintas	Topologias Inequivalentes	Inequivalent T 0 topologias
0	1	1	1	1
1	1	1	1	1
2	4	3	3	2
3	29	19	9	5
4	355	219	33	16
5	6942	4231	139	63
6	209527	130023	718	318
7	9535241	6129859	4535	2045
8	642779354	431723379	35979	16999
9	63260289423	44511042511	363083	183231
10	8977053873043	6611065248783	4717687	2567284
OEIS	A000798	A001035	A001930	A000112

Seja T ( n ) o número de topologias distintas em um conjunto com n pontos. Não existe uma fórmula simples conhecida para calcular T ( n ) para n arbitrário . A Enciclopédia Online de Sequências Inteiras atualmente lista T ( n ) para n ≤ 18.

O número de topologias T ₀ distintas em um conjunto com n pontos, denotado por T ₀ ( n ), está relacionado a T ( n ) pela fórmula

${\ displaystyle T (n) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} S (n, k) \, T_ {0} (k)}$

onde S ( n , k ) denota o número de Stirling do segundo tipo .

Veja também

• Geometria finita
• Espaço métrico finito
• Combinação topológica

Referências

• Stong, Robert E. (1966). "Espaços topológicos finitos" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 123 : 325–340. doi : 10.1090 / s0002-9947-1966-0195042-2 . MR   0195042 .
• Grupos de homologia singulares e grupos de homotopia de espaços topológicos finitos, Michael C. McCord, Duke Math. J. Volume 33, Número 3 (1966), 465-474.
• Barmak, Jonathan (2011). Topologia Algébrica de Espaços Topológicos Finitos e Aplicações . Springer. ISBN   978-3-642-22002-9 .
• Merrifield, Richard; Simmons, Howard E. (1989). Métodos Topológicos em Química . Wiley. ISBN   978-0-471-83817-3 .

links externos

• Notas e materiais de leitura sobre espaços topológicos finitos , JP MAY