Circulação (física) - Circulation (physics)

As linhas de campo de um campo de vectores v , em torno do limite de uma superfície curva com linha aberta infinitesimal elemento d l ao longo do limite, e através do seu interior com dS o elemento de superfície infinitesimal e n a unidade normal à superfície. Topo: Circulação é o integral de linha de v em torno de um circuito fechado C . Projete v ao longo de d l , então some. Aqui v é dividido em componentes perpendiculares (⊥) paralelos (‖) a d l , os componentes paralelos são tangenciais ao loop fechado e contribuem para a circulação, os componentes perpendiculares não. Embaixo: A circulação também é o fluxo de vorticidade ω = ∇ × v através da superfície, e a curvatura de v é heuristicamente representada como uma seta helicoidal (não uma representação literal). Observe que a projeção de v ao longo de d l e a curvatura de v podem estar no sentido negativo, reduzindo a circulação.

Em física, a circulação é a integral de linha de um campo vetorial em torno de uma curva fechada. Na dinâmica dos fluidos , o campo é o campo de velocidade do fluido . Em eletrodinâmica , pode ser o campo elétrico ou magnético.

A circulação foi usada pela primeira vez de forma independente por Frederick Lanchester , Martin Kutta e Nikolay Zhukovsky . Normalmente é denotado por Γ ( gama grega maiúscula ).

Definição e propriedades

Se V é um campo vetorial e d l é um vetor que representa o comprimento diferencial de um pequeno elemento de uma curva definida, a contribuição desse comprimento diferencial para a circulação é dΓ:

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ Gamma = \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = | \ mathbf {V} || \ mathrm {d} \ mathbf {l} | \ cos \ theta}$ .

Aqui, θ é o ângulo entre os vetores V e d l .

A circulação Γ de um campo vetorial V em torno de uma curva fechada C é a integral de linha :

${\ displaystyle \ Gamma = \ oint _ {C} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}}$ .

Em um campo vetorial conservador, essa integral é avaliada como zero para cada curva fechada. Isso significa que uma integral de linha entre quaisquer dois pontos no campo é independente do caminho percorrido. Também implica que o campo vetorial pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar, que é chamada de potencial .

Relação com vorticidade e ondulação

A circulação pode estar relacionada à ondulação de um campo vetorial V e, mais especificamente, à vorticidade se o campo for um campo de velocidade de fluido,

${\ displaystyle \ mathbf {\ omega} = \ nabla \ times \ mathbf {V}}$ .

Pelo teorema de Stokes , o fluxo dos vetores de onda ou vorticidade através de uma superfície S é igual à circulação em torno de seu perímetro,

${\ displaystyle \ Gamma = \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ int \! \! \! \ int _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ int \! \! \! \ int _ {S} \ mathbf {\ omega} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} }$

Aqui, o caminho de integração fechado ∂S é o limite ou perímetro de uma superfície aberta S , cujo elemento infinitesimal normal d S = n dS é orientado de acordo com a regra da mão direita . Assim, a ondulação e a vorticidade são a circulação por unidade de área, tomada em torno de um loop infinitesimal local.

No fluxo potencial de um fluido com uma região de vorticidade , todas as curvas fechadas que envolvem a vorticidade têm o mesmo valor para a circulação.

Usos

Teorema de Kutta-Joukowski em dinâmica de fluidos

Na dinâmica dos fluidos, a elevação por unidade de amplitude (L ') atuando em um corpo em um campo de fluxo bidimensional é diretamente proporcional à circulação, ou seja, pode ser expressa como o produto da circulação Γ sobre o corpo, a densidade do fluido ρ , e a velocidade do corpo em relação ao fluxo livre V :

${\ displaystyle L '= \ rho V \ Gamma \!}$

Isso é conhecido como teorema de Kutta – Joukowski.

Essa equação se aplica a aerofólios, onde a circulação é gerada pela ação do aerofólio ; e em torno de objetos giratórios que experimentam o efeito Magnus, onde a circulação é induzida mecanicamente. Na ação do aerofólio, a magnitude da circulação é determinada pela condição de Kutta .

A circulação em cada curva fechada ao redor do aerofólio tem o mesmo valor e está relacionada à sustentação gerada por cada unidade de comprimento de vão. Desde que a curva fechada envolva o aerofólio, a escolha da curva é arbitrária.

A circulação é frequentemente usada na dinâmica de fluidos computacional como uma variável intermediária para calcular as forças em um aerofólio ou outro corpo.

Equações fundamentais do eletromagnetismo

Em eletrodinâmica, a lei de indução de Maxwell-Faraday pode ser afirmada em duas formas equivalentes: que a curvatura do campo elétrico é igual à taxa negativa de variação do campo magnético,

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}$

ou que a circulação do campo elétrico em torno de um loop é igual à taxa de variação negativa do fluxo do campo magnético através de qualquer superfície abrangida pelo loop, pelo teorema de Stokes

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ int \! \! \! \ int _ {S} \ nabla \ times \ mathbf { E} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {S} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$ .

A circulação de um campo magnético estático é, pela lei de Ampère , proporcional à corrente total envolvida pelo loop

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ mu _ {0} \ iint _ {S} \ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ mu _ {0} I _ {\ mathrm {enc}}}$ .

Para sistemas com campos elétricos que mudam com o tempo, a lei deve ser modificada para incluir um termo conhecido como correção de Maxwell.

Veja também

• Equações de Maxwell
• Lei de Biot-Savart na aerodinâmica
• Teorema de circulação de Kelvin

Referências