Princípio de Arquimedes - Archimedes' principle

O princípio de Arquimedes afirma que a força de empuxo para cima que é exercida sobre um corpo imerso em um fluido , seja total ou parcialmente, é igual ao peso do fluido que o corpo desloca . O princípio de Arquimedes é uma lei da física fundamental para a mecânica dos fluidos . Foi formulado por Arquimedes de Siracusa .

Explicação

O peso F p de um navio flutuante e sua flutuabilidade F a (F b no texto) devem ter o mesmo tamanho.

Em On Floating Bodies , Archimedes sugeriu que (c. 246 AC):

Qualquer objeto, total ou parcialmente imerso em um fluido ou líquido, é impulsionado por uma força igual ao peso do fluido deslocado pelo objeto.

O princípio de Arquimedes permite que a flutuabilidade de qualquer objeto flutuante parcial ou totalmente imerso em um fluido seja calculada. A força descendente sobre o objeto é simplesmente seu peso. A força ascendente ou flutuante sobre o objeto é aquela declarada pelo princípio de Arquimedes, acima. Assim, a força resultante no objeto é a diferença entre as magnitudes da força de empuxo e seu peso. Se essa força resultante for positiva, o objeto se eleva; se negativo, o objeto afunda; e se for zero, o objeto tem flutuabilidade neutra - isto é, ele permanece no lugar sem subir ou afundar. Em palavras simples, o princípio de Arquimedes afirma que, quando um corpo está parcial ou totalmente imerso em um fluido, ele experimenta uma aparente perda de peso que é igual ao peso do fluido deslocado pela parte imersa do (s) corpo (s).

Fórmula

Considere um cuboide imerso em um fluido, suas faces superior e inferior ortogonais à direção da gravidade (supostamente constante ao longo da extensão do cubo). O fluido exercerá uma força normal em cada face, mas apenas as forças normais na parte superior e inferior contribuirão para a flutuabilidade. A diferença de pressão entre a face inferior e superior é diretamente proporcional à altura (diferença na profundidade de submersão). Multiplicando a diferença de pressão pela área de uma face dá uma força líquida no cubóide ⁠ ⁠— a flutuabilidade ⁠ ⁠— igualando em tamanho o peso do fluido deslocado pelo cubóide. Ao somar um número suficiente de cubóides arbitrariamente pequenos, esse raciocínio pode ser estendido a formas irregulares e, assim, qualquer que seja a forma do corpo submerso, a força de empuxo é igual ao peso do fluido deslocado.

O peso do fluido deslocado é diretamente proporcional ao volume do fluido deslocado (se o fluido circundante tiver densidade uniforme). O peso do objeto no fluido é reduzido, por causa da força que atua sobre ele, que é chamada de empuxo para cima. Em termos simples, o princípio afirma que a força de empuxo (F b ) em um objeto é igual ao peso do fluido deslocado pelo objeto, ou a densidade ( ρ ) do fluido multiplicada pelo volume submerso (V) vezes o gravidade (g)

Podemos expressar essa relação na equação:

onde denota a força de empuxo aplicada ao objeto submerso, denota a densidade do fluido, representa o volume do fluido deslocado e é a aceleração devido à gravidade . Assim, entre objetos completamente submersos com massas iguais, objetos com maior volume têm maior flutuabilidade.

Suponha que o peso de uma rocha seja medido como 10 newtons quando suspensa por uma corda no vácuo com a ação da gravidade sobre ela. Suponha que, quando a rocha é baixada na água, ela desloca água de peso 3 newtons. A força que ele então exerce na corda da qual está pendurado seria de 10 newtons menos os 3 newtons de força de empuxo: 10 - 3 = 7 newtons. A flutuabilidade reduz o peso aparente de objetos que afundaram completamente no fundo do mar. Geralmente é mais fácil levantar um objeto na água do que puxá-lo para fora da água.

Para um objeto totalmente submerso, o princípio de Arquimedes pode ser reformulado da seguinte forma:

em seguida, inserido no quociente de pesos, que foi expandido pelo volume mútuo

produz a fórmula abaixo. A densidade do objeto imerso em relação à densidade do fluido pode ser facilmente calculada sem medir qualquer volume é

(Esta fórmula é usada, por exemplo, para descrever o princípio de medição de um dosímetro e de pesagem hidrostática .)

Exemplo: se você jogar madeira na água, a flutuabilidade a manterá flutuando.

Exemplo: um balão de hélio em um carro em movimento. Ao aumentar a velocidade ou dirigir em uma curva, o ar se move na direção oposta à aceleração do carro. No entanto, devido à flutuabilidade, o balão é empurrado "para fora do caminho" pelo ar e irá flutuar na mesma direção da aceleração do carro.

Quando um objeto é imerso em um líquido, o líquido exerce uma força para cima, que é conhecida como força de empuxo, que é proporcional ao peso do líquido deslocado. A soma da força agindo sobre o objeto, então, é igual à diferença entre o peso do objeto (força 'para baixo') e o peso do líquido deslocado (força 'para cima'). O equilíbrio, ou flutuabilidade neutra, é alcançado quando esses dois pesos (e, portanto, as forças) são iguais.

Forças e equilíbrio

A equação para calcular a pressão dentro de um fluido em equilíbrio é:

onde f é a densidade de força exercida por algum campo externo no fluido e σ é o tensor de tensão de Cauchy . Neste caso, o tensor de tensão é proporcional ao tensor de identidade:

Aqui δ ij é o delta de Kronecker . Usando isso, a equação acima se torna:

Assumindo que o campo de força externo é conservador, ou seja, pode ser escrito como o gradiente negativo de alguma função de valor escalar:

Então:

Portanto, a forma da superfície aberta de um fluido é igual ao plano equipotencial do campo de força conservadora externa aplicada. Deixe o eixo z apontar para baixo. Neste caso, o campo é a gravidade, então Φ = - ρ f gz onde g é a aceleração gravitacional, ρ f é a densidade de massa do fluido. Tomando a pressão como zero na superfície, onde z é zero, a constante será zero, então a pressão dentro do fluido, quando sujeito à gravidade, é

Portanto, a pressão aumenta com a profundidade abaixo da superfície de um líquido, pois z denota a distância da superfície do líquido para dentro dele. Qualquer objeto com profundidade vertical diferente de zero terá diferentes pressões em sua parte superior e inferior, com a pressão na parte inferior sendo maior. Essa diferença de pressão causa a força de empuxo para cima.

A força de empuxo exercida sobre um corpo agora pode ser calculada facilmente, uma vez que a pressão interna do fluido é conhecida. A força exercida no corpo pode ser calculada integrando o tensor de tensão sobre a superfície do corpo que está em contato com o fluido:

A integral de superfície pode ser transformada em uma integral de volume com a ajuda do teorema de Gauss :

onde V é a medida do volume em contato com o fluido, ou seja, o volume da parte submersa do corpo, uma vez que o fluido não exerce força na parte do corpo que está fora dele.

A magnitude da força de empuxo pode ser apreciada um pouco mais a partir do seguinte argumento. Considere qualquer objeto de forma e volume arbitrários V rodeado por um líquido. A força que o líquido exerce sobre um objeto dentro do líquido é igual ao peso do líquido com um volume igual ao do objeto. Essa força é aplicada na direção oposta à força gravitacional, ou seja, de magnitude:

onde ρ f é a densidade do fluido, V disp é o volume do corpo de líquido deslocado e g é a aceleração gravitacional no local em questão.

Se este volume de líquido for substituído por um corpo sólido com exatamente a mesma forma, a força que o líquido exerce sobre ele deve ser exatamente a mesma que acima. Em outras palavras, a "força de empuxo" em um corpo submerso é dirigida na direção oposta à gravidade e é igual em magnitude a

A força resultante sobre o objeto deve ser zero se for para ser uma situação de estática do fluido de modo que o princípio de Arquimedes seja aplicável, e é, portanto, a soma da força de empuxo e o peso do objeto

Se a flutuabilidade de um objeto (sem restrição e sem potência) excede seu peso, ele tende a subir. Um objeto cujo peso excede sua flutuabilidade tende a afundar. O cálculo da força para cima em um objeto submerso durante seu período de aceleração não pode ser feito apenas pelo princípio de Arquimedes; é necessário considerar a dinâmica de um objeto envolvendo flutuabilidade. Uma vez que ele afunda totalmente no fluido ou sobe à superfície e se estabelece, o princípio de Arquimedes pode ser aplicado sozinho. Para um objeto flutuante, apenas o volume submerso desloca a água. Para um objeto afundado, todo o volume desloca a água e haverá uma força adicional de reação do piso sólido.

Para que o princípio de Arquimedes seja usado sozinho, o objeto em questão deve estar em equilíbrio (a soma das forças sobre o objeto deve ser zero), portanto;

e portanto

mostrando que a profundidade na qual um objeto flutuante irá afundar, e o volume de fluido que ele irá deslocar, é independente do campo gravitacional, independentemente da localização geográfica.

( Observação: se o fluido em questão for água do mar , ele não terá a mesma densidade ( ρ ) em todos os locais. Por esse motivo, um navio pode exibir uma linha Plimsoll .)

Pode ser que outras forças além da flutuabilidade e da gravidade entrem em ação. Este é o caso se o objeto for restringido ou se o objeto afundar no chão sólido. Um objeto que tende a flutuar requer uma força de restrição de tensão T para permanecer totalmente submerso. Um objeto que tende a afundar terá eventualmente uma força normal de restrição N exercida sobre ele pelo piso sólido. A força de restrição pode ser a tensão em uma balança de mola medindo seu peso no fluido, e é como o peso aparente é definido.

Se o objeto flutuasse, a tensão para contê-lo totalmente submerso é:

Quando um objeto afundando se acomoda no chão sólido, ele experimenta uma força normal de:

Outra fórmula possível para calcular a flutuabilidade de um objeto é encontrar o peso aparente desse objeto particular no ar (calculado em Newtons) e o peso aparente desse objeto na água (em Newtons). Para encontrar a força de flutuabilidade que atua sobre o objeto quando no ar, usando esta informação particular, esta fórmula se aplica:

Força de empuxo = peso do objeto no espaço vazio - peso do objeto imerso em fluido

O resultado final seria medido em Newtons.

A densidade do ar é muito pequena em comparação com a maioria dos sólidos e líquidos. Por esse motivo, o peso de um objeto no ar é aproximadamente igual ao seu peso real no vácuo. A flutuabilidade do ar é desprezada para a maioria dos objetos durante uma medição no ar porque o erro é geralmente insignificante (normalmente menos de 0,1%, exceto para objetos de densidade média muito baixa, como um balão ou espuma leve).

Modelo simplificado

Distribuição de pressão em um cubo imerso
Forças em um cubo imerso
Aproximação de um volume arbitrário como um grupo de cubos

Uma explicação simplificada para a integração da pressão sobre a área de contato pode ser declarada da seguinte forma:

Considere um cubo imerso em um fluido com a superfície superior horizontal.

Os lados são idênticos em área e possuem a mesma distribuição de profundidade, portanto, também possuem a mesma distribuição de pressão e, conseqüentemente, a mesma força total resultante da pressão hidrostática, exercida perpendicularmente ao plano da superfície de cada lado.

Existem dois pares de lados opostos, portanto, as forças horizontais resultantes se equilibram em ambas as direções ortogonais e a força resultante é zero.

A força para cima no cubo é a pressão na superfície inferior integrada sobre sua área. A superfície está em profundidade constante, então a pressão é constante. Portanto, a integral da pressão sobre a área da superfície horizontal do fundo do cubo é a pressão hidrostática naquela profundidade multiplicada pela área da superfície do fundo.

Da mesma forma, a força descendente no cubo é a pressão na superfície superior integrada sobre sua área. A superfície está em profundidade constante, então a pressão é constante. Portanto, a integral da pressão sobre a área da superfície superior horizontal do cubo é a pressão hidrostática naquela profundidade multiplicada pela área da superfície superior.

Como este é um cubo, as superfícies superior e inferior são idênticas em forma e área, e a diferença de pressão entre a parte superior e inferior do cubo é diretamente proporcional à diferença de profundidade, e a diferença de força resultante é exatamente igual ao peso de o fluido que ocuparia o volume do cubo na sua ausência.

Isso significa que a força para cima resultante no cubo é igual ao peso do fluido que caberia no volume do cubo, e a força para baixo no cubo é o seu peso, na ausência de forças externas.

Essa analogia é válida para variações no tamanho do cubo.

Se dois cubos forem colocados lado a lado com uma face de cada um em contato, as pressões e forças resultantes nas laterais ou partes dos mesmos em contato são equilibradas e podem ser desconsideradas, pois as superfícies de contato são iguais em forma, tamanho e distribuição de pressão, portanto, a flutuabilidade de dois cubos em contato é a soma das flutuações de cada cubo. Essa analogia pode ser estendida a um número arbitrário de cubos.

Um objeto de qualquer forma pode ser aproximado como um grupo de cubos em contato uns com os outros e, à medida que o tamanho do cubo diminui, a precisão da aproximação aumenta. O caso limite para cubos infinitamente pequenos é a equivalência exata.

Superfícies anguladas não anulam a analogia, pois a força resultante pode ser dividida em componentes ortogonais e cada um tratado da mesma maneira.

Refinamentos

O princípio de Arquimedes não considera a tensão superficial (capilaridade) atuando sobre o corpo. Além disso, descobriu-se que o princípio de Arquimedes se decompõe em fluidos complexos .

Há uma exceção ao princípio de Arquimedes conhecida como caixa inferior (ou lateral). Isso ocorre quando um lado do objeto está tocando o fundo (ou lateral) do recipiente em que está submerso e nenhum líquido penetra ao longo desse lado. Neste caso, a força resultante foi considerada diferente do princípio de Arquimedes, devido ao fato de que, como nenhum fluido penetra naquele lado, a simetria da pressão é quebrada.

Princípio de flutuação

O princípio de Arquimedes mostra a força de empuxo e o deslocamento do fluido. No entanto, o conceito do princípio de Arquimedes pode ser aplicado ao considerar por que os objetos flutuam. A proposição 5 do tratado de Arquimedes sobre corpos flutuantes afirma que

Qualquer objeto flutuante desloca seu próprio peso de fluido.

Em outras palavras, para um objeto flutuando em uma superfície líquida (como um barco) ou flutuando submerso em um fluido (como um submarino na água ou dirigível no ar), o peso do líquido deslocado é igual ao peso do objeto. Assim, apenas no caso especial de flutuação, a força de empuxo agindo sobre um objeto é igual ao peso do objeto. Considere um bloco de 1 tonelada de ferro sólido. Como o ferro é quase oito vezes mais denso que a água, ele desloca apenas 1/8 de tonelada de água quando submerso, o que não é suficiente para mantê-lo flutuando. Suponha que o mesmo bloco de ferro seja remodelado em uma tigela. Ainda pesa 1 tonelada, mas quando é colocado na água, desloca um volume maior de água do que quando era um bloco. Quanto mais fundo a tigela de ferro é imersa, mais água ela desloca e maior é a força de empuxo que atua sobre ela. Quando a força de empuxo é igual a 1 tonelada, ela não afunda mais.

Quando qualquer barco desloca um peso de água igual ao seu próprio peso, ele flutua. Isso geralmente é chamado de "princípio de flutuação": um objeto flutuante desloca um peso de fluido igual ao seu próprio peso. Cada navio, submarino e dirigível deve ser projetado para deslocar um peso de fluido pelo menos igual ao seu próprio peso. O casco de um navio de 10.000 toneladas deve ser construído com largura, comprimento e profundidade suficientes para deslocar 10.000 toneladas de água e ainda ter algum casco acima da água para evitar que afunde. Ele precisa de um casco extra para lutar contra as ondas que, de outra forma, o encheria e, ao aumentar sua massa, o faria submergir. O mesmo é verdade para embarcações no ar: um dirigível que pesa 100 toneladas precisa deslocar 100 toneladas de ar. Se desloca mais, sobe; se deslocar menos, cai. Se o dirigível deslocar exatamente seu peso, ele pairará em uma altitude constante.

Embora estejam relacionados a ele, o princípio da flutuação e o conceito de que um objeto submerso desloca um volume de fluido igual ao seu próprio volume não são o princípio de Arquimedes. O princípio de Arquimedes, como afirmado acima, iguala a força de empuxo ao peso do fluido deslocado.

Um ponto comum de confusão em relação ao princípio de Arquimedes é o significado de volume deslocado. As demonstrações comuns envolvem medir o aumento do nível da água quando um objeto flutua na superfície para calcular a água deslocada. Esta abordagem de medição falha com um objeto flutuante submerso porque o aumento no nível da água está diretamente relacionado ao volume do objeto e não à massa (exceto se a densidade efetiva do objeto for exatamente igual à densidade do fluido).

Eureka

Arquimedes supostamente exclamou "Eureka" depois de perceber como detectar se uma coroa é feita de ouro impuro. Embora ele não tenha usado o princípio de Arquimedes na história difundida e apenas usado água deslocada para medir o volume da coroa, há uma abordagem alternativa usando o princípio: Equilibre a coroa e o ouro puro em uma escala no ar e, em seguida, coloque o escala na água. De acordo com o princípio de Arquimedes, se a densidade da coroa difere da densidade do ouro puro, a escama ficará desequilibrada sob a água.

Referências

links externos