Teoria de Chapman-Enskog - Chapman–Enskog theory

A teoria de Chapman-Enskog fornece uma estrutura na qual as equações da hidrodinâmica para um gás podem ser derivadas da equação de Boltzmann . A técnica justifica as relações constitutivas fenomenológicas que aparecem em descrições hidrodinâmicas, como as equações de Navier-Stokes . Ao fazer isso, expressões para vários coeficientes de transporte, como condutividade térmica e viscosidade, são obtidas em termos de parâmetros moleculares. Assim, a teoria de Chapman-Enskog constitui um passo importante na passagem de uma descrição microscópica baseada em partículas para uma descrição hidrodinâmica contínua .

O nome da teoria é uma homenagem a Sydney Chapman e David Enskog , que a introduziram de forma independente em 1916 e 1917.

Descrição

O ponto de partida da teoria de Chapman-Enskog é a equação de Boltzmann para a função de distribuição de 1 partícula : ${\ displaystyle f (\ mathbf {r}, \ mathbf {v}, t)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + \ mathbf {v \ cdot} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {r}}} + {\ frac {\ mathbf {F}} {m}} \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v}}} = {\ hat {C}} f,}$

onde é um operador integral não linear que modela a evolução das colisões entre as partículas. Essa não linearidade dificulta a resolução de toda a equação de Boltzmann e motiva o desenvolvimento de técnicas aproximadas, como a fornecida pela teoria de Chapman-Enskog. ${\ displaystyle {\ hat {C}}}$${\ displaystyle f}$

Dado este ponto de partida, as várias suposições subjacentes à equação de Boltzmann também são transferidas para a teoria de Chapman-Enskog. A mais básica destes requer uma separação de escala entre a duração de colisão e o tempo livre médio entre colisões : . Essa condição garante que as colisões sejam eventos bem definidos no espaço e no tempo, e se mantém se o parâmetro adimensional for pequeno, onde é o intervalo de interações entre as partículas e é a densidade numérica. Além dessa suposição, a teoria de Chapman-Enskog também exige que seja muito menor do que qualquer escala de tempo extrínseca . Essas são as escalas de tempo associadas aos termos do lado esquerdo da equação de Boltzmann, que descrevem variações do estado do gás em comprimentos macroscópicos. Normalmente, seus valores são determinados por condições iniciais / limites e / ou campos externos. Essa separação de escalas implica que o termo colisional no lado direito da equação de Boltzmann é muito menor do que os termos de fluxo no lado esquerdo. Assim, uma solução aproximada pode ser encontrada a partir de ${\ displaystyle \ tau _ {c}}$${\ displaystyle \ tau _ {f}}$${\ displaystyle \ tau _ {c} \ ll \ tau _ {f}}$${\ displaystyle \ gamma \ equiv r_ {c} ^ {3} n}$${\ displaystyle r_ {c}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ tau _ {f}}$${\ displaystyle \ {\ tau _ {\ text {ext}} \}}$

${\ displaystyle {\ hat {C}} f = 0.}$

Pode-se mostrar que a solução para esta equação é gaussiana :

${\ displaystyle f = n (\ mathbf {r}, t) \ left ({\ frac {m} {2 \ pi k_ {B} T (\ mathbf {r}, t)}} \ right) ^ {3 / 2} \ exp \ left [- {\ frac {m \ left (\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {0} (\ mathbf {r}, t) \ right) ^ {2}} { 2k_ {B} T (\ mathbf {r}, t)}} \ direita],}$

onde está a massa da molécula e é a constante de Boltzmann . Diz- se que um gás está em equilíbrio local se satisfizer esta equação. A suposição de equilíbrio local leva diretamente às equações de Euler , que descrevem fluidos sem dissipação, ou seja, com condutividade térmica e viscosidade igual a . O objetivo principal da teoria de Chapman-Enskog é obter sistematicamente generalizações das equações de Euler que incorporam dissipação. Isso é obtido expressando desvios do equilíbrio local como uma série perturbativa no número de Knudsen , que é pequeno se . Conceitualmente, as equações hidrodinâmicas resultantes descrevem a interação dinâmica entre o streaming livre e as colisões entre as partículas. O último tendem a conduzir o gás em direção equilíbrio local, enquanto os antigos atos em todo heterogeneidades espaciais para dirigir o gás para longe do equilíbrio local. Quando o número de Knudsen é da ordem de 1 ou maior, o gás no sistema que está sendo considerado não pode ser descrito como um fluido. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle k_ {B}}$${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle {\ text {Kn}}}$${\ displaystyle \ tau _ {f} \ ll \ {\ tau _ {\ text {ext}} \}}$

Para fazer o primeiro pedido , obtém-se as equações de Navier-Stokes . A segunda e a terceira ordens dão origem às equações de Burnett e às equações de super-Burnett. ${\ displaystyle {\ text {Kn}}}$

Formulação matemática

Como o número de Knudsen não aparece explicitamente na equação de Boltzmann, mas sim implicitamente em termos da função de distribuição e das condições de contorno, um parâmetro fictício é introduzido para acompanhar as ordens apropriadas na expansão de Chapman-Enskog: ${\ displaystyle \ epsilon}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + \ mathbf {v \ cdot} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {r}}} + {\ frac {\ mathbf {F}} {m}} \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v}}} = {\ frac {1} {\ epsilon}} {\ hat {C}} f.}$

Pode-se ver que pequeno implica que o termo colisional domina o termo de streaming , que é o mesmo que dizer que o número de Knudsen é pequeno. Assim, a forma apropriada para a expansão Chapman-Enskog é ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle {\ hat {C}} f}$${\ displaystyle \ mathbf {v \ cdot} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {r}}} + {\ frac {\ mathbf {F}} {m}} \ cdot {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {v}}}}$

${\ displaystyle f = f ^ {(0)} + \ epsilon f ^ {(1)} + \ epsilon ^ {2} f ^ {(2)} + \ ldots \.}$

As soluções que podem ser expandidas formalmente dessa forma são conhecidas como soluções normais da equação de Boltzmann. Claramente, esta classe de soluções exclui contribuições não perturbativas (como ), que aparecem em camadas de limite ou perto de camadas de choque internas . Assim, a teoria de Chapman-Enskog é restrita a situações em que tais soluções são desprezíveis. ${\ displaystyle e ^ {- 1 / \ epsilon}}$

Substituindo esta expansão e igualando ordens de leads à hierarquia ${\ displaystyle \ epsilon}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} J (f ^ {(0)}, f ^ {(0)}) & = 0 \\ 2J (f ^ {(0)}, f ^ {(n)}) & = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} + \ mathbf {v \ cdot} {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {r}}} + {\ frac {\ mathbf {F}} {m}} \ cdot {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {v}}} \ right) f ^ {(n-1)} - \ sum _ {m = 1} ^ { n-1} J (f ^ {(n)}, f ^ {(nm)}), \ qquad n> 0, \ end {alinhado}}}$

onde é um operador integral, linear em ambos os seus argumentos, que satisfaz e . A solução para a primeira equação é gaussiana: ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle J (f, g) = J (g, f)}$${\ displaystyle J (f, f) = {\ hat {C}} f}$

${\ displaystyle f ^ {(0)} = n '(\ mathbf {r}, t) \ left ({\ frac {m} {2 \ pi k_ {B} T' (\ mathbf {r}, t) }} \ right) ^ {3/2} \ exp \ left [- {\ frac {m \ left (\ mathbf {v} - \ mathbf {v} '_ {0} (\ mathbf {r}, t) \ direita) ^ {2}} {2k_ {B} T '(\ mathbf {r}, t)}} \ direita].}$

para algumas funções , e . É tentador igualar essas funções aos campos hidrodinâmicos físicos definidos como momentos de : ${\ displaystyle n '(\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle \ mathbf {v} '_ {0} (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle T '(\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle f (\ mathbf {r}, \ mathbf {v}, t)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} n (\ mathbf {r}, t) & = \ int fd \ mathbf {v} \\ n (\ mathbf {r}, t) v_ {0} (\ mathbf {r }, t) & = \ int \ mathbf {v} fd \ mathbf {v} \\ n (\ mathbf {r}, t) T (\ mathbf {r}, t) & = \ int {\ frac {m } {3k_ {B}}} \ mathbf {v} ^ {2} fd \ mathbf {v}. \ End {alinhado}}}$

De um ponto de vista puramente matemático, entretanto, os dois conjuntos de funções não são necessariamente os mesmos para ( pois são iguais por definição). De fato, procedendo sistematicamente na hierarquia, descobre-se que, de maneira semelhante a , cada um também contém funções arbitrárias e cuja relação com os campos hidrodinâmicos físicos é a priori desconhecida. Uma das principais suposições simplificadoras da teoria de Chapman-Enskog é assumir que essas funções arbitrárias podem ser escritas em termos dos campos hidrodinâmicos exatos e seus gradientes espaciais. Em outras palavras, a dependência de espaço e tempo de entra apenas implicitamente pelos campos hidrodinâmicos. Esta afirmação é fisicamente plausível, uma vez que para pequenos números de Knudsen, espera-se entrar no regime hidrodinâmico no qual o estado do gás é determinado apenas pelos campos hidrodinâmicos. No caso de , as funções , e são assumidas exatamente iguais aos campos hidrodinâmicos físicos. ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle \ epsilon = 0}$${\ displaystyle f ^ {(0)}}$${\ displaystyle f ^ {(n)}}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {(0)}}$${\ displaystyle n '(\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle \ mathbf {v} '_ {0} (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle T '(\ mathbf {r}, t)}$

Embora essas suposições sejam fisicamente plausíveis, há a questão de saber se as soluções que satisfazem essas propriedades realmente existem. Mais precisamente, é preciso mostrar que existem soluções que satisfazem

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ epsilon ^ {n} f ^ {(n)} d \ mathbf {v} = 0 = \ int \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ epsilon ^ {n} f ^ {(n)} \ mathbf {v} ^ {2} d \ mathbf {v} \\\ int \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} \ epsilon ^ {n} f ^ {(n)} v_ {i} d \ mathbf {v} = 0, \ qquad i \ in \ {x, y, z \}. \ end { alinhado}}}$

Além disso, mesmo que tais soluções existam, permanece a questão adicional de se elas abrangem o conjunto completo de soluções normais para a equação de Boltzmann, ou seja, não representam uma restrição artificial da expansão original em . Uma das principais conquistas técnicas da teoria de Chapman-Enskog é responder a ambas as questões de forma positiva. Assim, pelo menos no nível formal, não há perda de generalidade na abordagem Chapman-Enskog. ${\ displaystyle \ epsilon}$

Com essas considerações formais estabelecidas, pode-se proceder ao cálculo . O resultado é ${\ displaystyle f ^ {(1)}}$

${\ displaystyle f ^ {(1)} = \ left [- {\ frac {1} {n}} \ left ({\ frac {2k_ {B} T} {m}} \ right) ^ {1/2 } \ mathbf {A (\ mathbf {v}) \ cdot \ nabla \ ln} T \ mathbf {-} {\ frac {2} {n}} \ mathbb {B (\ mathbf {v}) \ colon \ nabla } \ mathbf {v} _ {0} \ right] f ^ {(0)},}$

onde é um vetor e um tensor , cada um uma solução de uma equação integral linear não homogênea que pode ser resolvida explicitamente por uma expansão polinomial. Note-se que o cólon denota o produto de ponto duplo , para tensores , . ${\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {v})}$${\ displaystyle \ mathbb {B} (\ mathbf {v})}$${\ displaystyle \ mathbb {T}: \ mathbb {T '} = \ sum _ {i} \ sum _ {j} T_ {ij} T' _ {ji}}$${\ displaystyle \ mathbb {T}}$${\ displaystyle \ mathbb {T '}}$

Previsões

Para a primeira ordem no número de Knudsen, o fluxo de calor obedece à lei de condução de calor de Fourier , ${\ displaystyle \ mathbf {q} = {\ frac {m} {2}} \ int f \ mathbf {v} ^ {2} \ mathbf {v} d \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ mathbf {q} = - \ lambda \ nabla T,}$

e o tensor de fluxo de momento é o de um fluido newtoniano , ${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} = m \ int (\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {0}) (\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {0}) ^ {\ mathsf {T}} f \ mathrm {d} \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} = p \ mathbb {I} - \ mu \ left (\ nabla \ mathbf {v_ {0}} + \ nabla \ mathbf {v_ {0}} ^ {T} \ right) + {\ frac {2} {3}} \ mu (\ nabla \ cdot \ mathbf {v_ {0}}) \ mathbb {I},}$

com o tensor de identidade. Aqui e estão constantes que agora identificamos com a condutividade térmica e a viscosidade. Eles podem ser calculados explicitamente em termos de parâmetros moleculares, resolvendo uma equação integral linear; a tabela abaixo resume os resultados de alguns modelos moleculares importantes ( é a massa da molécula e é a constante de Boltzmann). ${\ displaystyle \ mathbb {I}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle k_ {B}}$

Tabela 1: Expressões previstas para condutividade térmica e viscosidade.

Modelo	${\ displaystyle \ mu}$	${\ displaystyle \ lambda}$	Notas
Esferas elásticas rígidas de diâmetro ${\ displaystyle \ sigma}$	${\ displaystyle 1.016 \ cdot {\ frac {5} {16 \ sigma ^ {2}}} \ left ({\ frac {k_ {B} mT} {\ pi}} \ right) ^ {1/2}}$	${\ displaystyle 2.522 \ cdot {\ frac {3} {2}} {\ frac {k_ {B}} {m}} \ cdot \ mu}$	Corrija para 3 casas decimais.
Moléculas com força repulsiva ${\ displaystyle \ kappa / r ^ {\ nu}}$	${\ displaystyle {\ frac {5} {8}} {\ frac {1} {A_ {2} (\ nu) \ Gamma \ left (4 - {\ frac {2} {\ nu -1}} \ right )}} \ left ({\ frac {k_ {B} mT} {\ pi}} \ right) ^ {1/2} \ left ({\ frac {2k_ {B} T} {\ kappa}} \ right ) ^ {2 / (\ nu -1)}}$	${\ displaystyle {\ frac {15} {4}} {\ frac {k_ {B}} {m}} \ cdot \ mu}$	${\ displaystyle \ Gamma}$denota a função Gama e é um fator numérico. Chapman e Cowling listam vários valores do último, por exemplo, e . ${\ displaystyle A_ {2} (\ nu)}$${\ displaystyle A_ {2} (5) = 0,436}$${\ displaystyle A_ {2} (11) = 0,319}$
Potencial de Lennard-Jones :${\ displaystyle V (r) = 4 \ epsilon \ {(\ sigma / r) ^ {12} - (\ sigma / r) ^ {6} \}}$	${\ displaystyle {\ frac {5} {8 \ sigma ^ {2}}} \ left ({\ frac {k_ {B} mT} {\ pi}} \ right) ^ {1/2} \ cdot {\ frac {1} {{\ mathcal {W}} _ {1} ^ {(2)} (2)}}}$	${\ displaystyle {\ frac {15} {4}} {\ frac {k_ {B}} {m}} \ cdot \ mu}$	${\ displaystyle {\ mathcal {W}} _ {1} ^ {(2)} (2)}$é uma função que pode ser calculada numericamente. Varia de Falha ao analisar (MathML com SVG ou PNG substituto (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("A extensão do Math não pode se conectar ao Restbase.") Do servidor "/ mathoid / local / v1 /" :): {\ displaystyle 5.682} para para para . ${\ displaystyle k_ {B} T / \ epsilon}$${\ displaystyle k_ {B} T / \ epsilon = 0,3}$${\ displaystyle 1.1738}$${\ displaystyle k_ {B} T / \ epsilon = 100}$

Com esses resultados, é fácil obter as equações de Navier-Stokes. Tomando momentos velocidade das ligações equação de Boltzmann para as exatas equações de balanço para os campos hidrodinâmicas , e : ${\ displaystyle n (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle T (\ mathbf {r}, t)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ frac {\ partial n} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ left (n \ mathbf {v} _ {0} \ right) & = 0 \\ { \ frac {\ partial \ mathbf {v} _ {0}} {\ partial t}} + \ mathbf {v} _ {0} \ cdot \ nabla \ mathbf {v} _ {0} - {\ frac {\ mathbf {F}} {m}} + {\ frac {1} {n}} \ nabla \ cdot \ mathbf {\ sigma} & = 0 \\ {\ frac {\ parcial T} {\ parcial t}} + \ mathbf {v} _ {0} \ cdot \ nabla T + {\ frac {2} {3k_ {B} n}} \ left (\ mathbf {\ sigma:} \ nabla \ mathbf {v} _ {0} + \ nabla \ cdot \ mathbf {q} \ right) & = 0. \ end {alinhado}}}$

Como na seção anterior, os dois pontos denotam o produto de ponto duplo ,. Substituindo as expressões de Chapman-Enskog por e , chega-se às equações de Navier-Stokes. ${\ displaystyle \ mathbb {T}: \ mathbb {T '} = \ sum _ {i} \ sum _ {j} T_ {ij} T' _ {ji}}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ displaystyle \ sigma}$

Comparação com experimento

Uma previsão importante da teoria de Chapman-Enskog é que a viscosidade é independente da densidade (isso pode ser visto para cada modelo molecular na tabela 1, mas na verdade é independente do modelo). Este resultado surpreendente remonta a James Clerk Maxwell , que o inferiu em 1860 com base em argumentos cinéticos mais elementares. É bem verificado experimentalmente para gases em densidades comuns.

Tabela 2: Valores medidos experimentalmente para os primeiros cinco gases nobres. ${\ displaystyle f = \ lambda / \ mu c_ {v}}$

Hélio	2,45
Néon	2,52
Argônio	2,48
Krypton	2.535
Xenon	2,58

Por outro lado, a teoria prevê que depende da temperatura. Para esferas elásticas rígidas, a escala prevista é , enquanto outros modelos normalmente mostram maior variação com a temperatura. Por exemplo, para moléculas que se repelem com força, a escala prevista é , onde . Tomando , correspondendo a , mostra concordância razoável com o dimensionamento experimentalmente observado para o hélio. Para gases mais complexos, a concordância não é tão boa, provavelmente devido à negligência das forças de atração. Na verdade, o modelo de Lennard-Jones , que incorpora atrações, pode ser aproximado do experimento (embora ao custo de uma dependência mais opaca ; veja a entrada de Lennard-Jones na tabela 1). ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu \ propto T ^ {1/2}}$${\ displaystyle \ propto r ^ {- \ nu}}$${\ displaystyle \ mu \ propto T ^ {s}}$${\ displaystyle s = 1/2 + 2 / (\ nu -1)}$${\ displaystyle s = 0,668}$${\ displaystyle \ nu \ aproximadamente 12,9}$${\ displaystyle T}$

A teoria de Chapman-Enskog também prevê uma relação simples entre e na forma , onde é o calor específico em volume constante e é um fator puramente numérico. Para moléculas esfericamente simétricas, prevê-se que seu valor seja muito próximo de uma forma ligeiramente dependente do modelo. Por exemplo, esferas elásticas rígidas têm , e moléculas com força repulsiva ter (o último desvio é ignorada na tabela 1). O caso especial das moléculas de Maxwell (força repulsiva ) tem exatamente. Uma vez que , e podem ser medidos diretamente em experimentos, um teste experimental fácil da teoria de Chapman-Enskog é medir os gases nobres esfericamente simétricos . A Tabela 2 mostra que existe uma concordância razoável entre teoria e experimento. ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ lambda = f \ mu c_ {v}}$${\ displaystyle c_ {v}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 2.5}$${\ displaystyle f \ approx 2,522}$${\ displaystyle \ propto r ^ {- 13}}$${\ displaystyle f \ approx 2.511}$${\ displaystyle \ propto r ^ {- 5}}$${\ displaystyle f = 2,5}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle c_ {v}}$${\ displaystyle f}$

Extensões

Os princípios básicos da teoria de Chapman-Enskog podem ser estendidos a modelos físicos mais diversos, incluindo misturas de gases e moléculas com graus internos de liberdade. No regime de alta densidade, a teoria pode ser adaptada para levar em conta o transporte colisional de momento e energia, ou seja, transporte sobre um diâmetro molecular durante uma colisão, em vez de sobre um caminho livre médio ( entre as colisões). A inclusão deste mecanismo prevê uma dependência da densidade da viscosidade na densidade alta o suficiente, que também é observada experimentalmente.

Pode-se também levar a teoria a uma ordem superior no número de Knudsen. Em particular, a contribuição de terceira ordem foi calculada por Burnett. Em circunstâncias gerais, no entanto, essas correções de alta ordem devem ser abordadas com cautela, visto que a expansão de Chapman-Enskog pode nem sempre convergir. (Por outro lado, a expansão é considerada pelo menos assintótica às soluções da equação de Boltzmann, caso em que truncar na ordem inferior ainda dá resultados precisos.) Mesmo que as correções de ordem superior proporcionem melhorias em um determinado sistema, o a interpretação das equações hidrodinâmicas correspondentes ainda é debatida. ${\ displaystyle f ^ {(2)}}$

Veja também

• Fenômenos de transporte
• Teoria cinética dos gases
• Equação de Boltzmann
• Equações de Navier-Stokes
• Viscosidade
• Condutividade térmica

Notas

Referências

A monografia clássica sobre o tema:

• Chapman, Sydney; Cowling, TG (1970), The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases (3ª ed.), Cambridge University Press

Contém uma introdução técnica às soluções normais da equação de Boltzmann:

• Grad, Harold (1958), "Principles of the Kinetic Theory of Gases", em Flügge, S. (ed.), Encyclopedia of Physics , XII , Springer-Verlag, pp. 205-294