Pacote (matemática) - Bundle (mathematics)
Em matemática , um pacote é uma generalização de um pacote de fibras descartando a condição de uma estrutura de produto local. O requisito de uma estrutura de produto local depende do pacote com uma topologia . Sem esse requisito, objetos mais gerais podem ser considerados pacotes. Por exemplo, pode-se considerar um pacote π: E → B com E e B conjuntos . Não é mais verdade que as pré - imagens devem ser todas semelhantes, ao contrário dos feixes de fibras em que as fibras devem ser todas isomórficas (no caso de feixes de vetores ) e homeomórficas .
Definição
Um pacote é um triplo ( E , p , B ) onde E , B são conjuntos e p : E → B é um mapa.
- E é chamado de espaço total
- B é o espaço de base do pacote
- p é a projeção
Esta definição de pacote não é restritiva. Por exemplo, a função vazia define um pacote. No entanto, serve bem para introduzir a terminologia básica, e todo tipo de pacote tem os ingredientes básicos acima com restrições em E , p , B e geralmente há uma estrutura adicional.
Para cada b ∈ B , p −1 ( b ) é a fibra ou fibra do feixe sobre b .
Um pacote ( E * , p * , B * ) é um subconjunto de ( E , p , B ) se B * ⊂ B , E * ⊂ E e p * = p | E * .
Uma seção transversal é um mapa s : B → E tal que p ( s ( b )) = b para cada b ∈ B , ou seja, s ( b ) ∈ p −1 ( b ) .
Exemplos
- Se E e B são variedades lisas e p é lisa, sobrejetiva e, além disso, uma submersão , então o feixe é uma variedade de fibras . Aqui e nos exemplos a seguir, a condição de suavidade pode ser enfraquecida para contínua ou aguçada para analítica, ou pode ser qualquer coisa razoável, como continuamente diferenciável ( C 1 ), entre os dois.
- Se, por cada dois pontos de b 1 e b 2 na base, o que corresponde fibras p -1 ( b 1 ) e p -1 ( b 2 ) são equivalentes homotopy , então o pacote é um fibraç~ao .
- Se para cada dois pontos b 1 e b 2 na base, as fibras correspondentes p −1 ( b 1 ) e p −1 ( b 2 ) são homeomórficas e, além disso, o pacote satisfaz certas condições de trivialidade local descritas no documento correspondente artigos vinculados, o pacote é um pacote de fibra . Normalmente, há uma estrutura adicional, por exemplo, uma estrutura de grupo ou uma estrutura de espaço vetorial , nas fibras além de uma topologia. Em seguida, é necessário que o homeomorfismo seja um isomorfismo com relação a essa estrutura, e as condições de trivialidade local são aguçadas de acordo.
- Um pacote principal é um pacote de fibras dotado de uma ação de grupo certa com certas propriedades. Um exemplo de pacote principal é o pacote de quadros .
- Se para cada dois pontos b 1 e b 2 na base, as fibras correspondentes p −1 ( b 1 ) e p −1 ( b 2 ) são espaços vetoriais da mesma dimensão, então o feixe é um feixe vetorial se apropriado condições de trivialidade local são satisfeitas. O pacote tangente é um exemplo de pacote vetorial.
Objetos de pacote
Mais geralmente, feixes ou objectos do pacote pode ser definido em qualquer categoria : numa categoria C , um pacote é simplesmente uma epimorfismo π: E → B . Se a categoria não for concreta , a noção de uma pré-imagem do mapa não está necessariamente disponível. Portanto, esses feixes podem não ter nenhuma fibra, embora para categorias suficientemente bem comportadas eles tenham; por exemplo, para uma categoria com recuos e um objeto terminal 1, os pontos de B podem ser identificados com morfismos p : 1 → B e a fibra de p é obtida como o recuo de p e π. A categoria de pacotes sobre B é uma subcategoria da categoria de fatia ( C ↓ B ) de objetos sobre B , enquanto a categoria de pacotes sem objeto de base fixa é uma subcategoria da categoria de vírgula ( C ↓ C ) que também é a categoria de functor C m², a categoria de morphisms em C .
A categoria de pacotes de vetores suaves é um objeto de pacote sobre a categoria de variedades suaves em Cat , a categoria de pequenas categorias . O functor que leva cada variedade ao seu pacote tangente é um exemplo de uma seção desse objeto de pacote.
Veja também
Notas
Referências
- Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, a Análise Categorial da Lógica . Publicações de Dover. ISBN 978-0-486-45026-1. Página visitada em 2009-11-02 .
- Husemoller, Dale (1994) [1966], Fiber bundles , Graduate Texts in Mathematics, 20 , Springer, ISBN 0-387-94087-1
- Vassiliev, Victor (2001) [2001], Introdução à Topologia , Biblioteca de Matemática do Aluno, Amer Mathematical Society, ISBN 0821821628