Teorema Axe-Grothendieck - Ax–Grothendieck theorem

Em matemática, o teorema Ax-Grothendieck é um resultado sobre injetividade e sobrejetividade de polinômios que foi provado independentemente por James Axe e Alexander Grothendieck .

O teorema é freqüentemente dado como este caso especial: Se P é uma função polinomial injetiva de um espaço vetorial complexo n- dimensional para si mesmo, então P é bijetivo . Ou seja, se P sempre mapeia argumentos distintos para valores distintos, então os valores de P cobrem todos C n .

O teorema completo generaliza para qualquer variedade algébrica em um campo algébricamente fechado .

Prova via campos finitos

A prova de Grothendieck do teorema é baseada em provar o teorema análogo para campos finitos e seus fechamentos algébricos . Ou seja, para qualquer corpo F que é finito ou que é o fechamento de um corpo finito, se um polinômio P de F n para si mesmo é injetivo, então ele é bijetivo.

Se F é um corpo finito, então F n é finito. Neste caso, o teorema é verdadeiro por razões triviais que nada têm a ver com a representação da função como um polinômio: qualquer injeção de um conjunto finito em si mesmo é uma bijeção. Quando F é o fechamento algébrico de um corpo finito, o resultado segue do Nullstellensatz de Hilbert . O teorema Ax-Grothendieck para números complexos pode, portanto, ser provado mostrando que um contra-exemplo sobre C se traduziria em um contra-exemplo em alguma extensão algébrica de um corpo finito.

Este método de prova é notável por ser um exemplo da ideia de que relações algébricas finitísticas em campos de característica 0 se traduzem em relações algébricas sobre corpos finitos com características grandes. Assim, pode-se usar a aritmética de campos finitos para provar uma declaração sobre C , embora não haja homomorphism de qualquer campo finito C . A prova, portanto, usa princípios da teoria do modelo para provar uma afirmação elementar sobre polinômios. A prova para o caso geral usa um método semelhante.

Outras provas

Existem outras provas do teorema. Armand Borel deu uma prova usando topologia. O caso de n = 1 e do campo C segue-se desde que C é algebraicamente fechado e também pode ser pensado como um caso especial do resultado de que para qualquer função analítica f em C , injetividade de f implica sobrejetividade de f . Este é um corolário do teorema de Picard .

Resultados relacionados

Outro exemplo de redução de cerca de teoremas morphisms de tipo finito para campos finitos pode ser encontrado em EGA IV : Não, se se provar que um radicial S -endomorphism de um esquema X de tipo finita sobre S é bijective (10.4.11), e que se X / S é de apresentação finita e o endomorfismo é um monomorfismo, então é um automorfismo (17.9.6). Por conseguinte, de um sistema de apresentação finita sobre uma base de S é um objecto cohopfian na categoria de S -schemes.

O teorema Ax-Grothendieck também pode ser usado para provar o teorema do Jardim do Éden , um resultado que, como o teorema Ax-Grothendieck, relaciona injetividade com sobrejetividade, mas em autômatos celulares em vez de em campos algébricos. Embora as provas diretas desse teorema sejam conhecidas, a prova por meio do teorema Ax-Grothendieck se estende de forma mais ampla, para autômatos que atuam em grupos receptivos .

Algumas conversas parciais com o Teorema Ax-Grothendieck:

  • Um mapa polinomial genericamente sobrejetivo do espaço afim n- dimensional sobre uma extensão finitamente gerada de Z ou Z / p Z [ t ] é bijetivo com um polinômio inverso racional sobre o mesmo anel (e, portanto, bijetivo no espaço afim do fechamento algébrico).
  • Um mapa racional genericamente sobrejetivo de espaço afim n- dimensional sobre um campo hilbertiano é genericamente bijetivo com um inverso racional definido sobre o mesmo campo. ("Campo Hilbertiano" sendo definido aqui como um campo para o qual o Teorema da Irredutibilidade de Hilbert é válido, como os números racionais e os campos de função.)

Referências

links externos