Étale fundamental group - Étale fundamental group

O étale ou grupo fundamental algébrico é um análogo em geometria algébrica , para esquemas , do grupo fundamental usual de espaços topológicos .

Discussão topológica analógica / informal

Na topologia algébrica , o grupo fundamental π ₁ ( X , x ) de um espaço topológico pontiagudo ( X , x ) é definido como o grupo de classes de homotopia de loops baseadas em x . Esta definição funciona bem para espaços como variedades reais e complexas , mas dá resultados indesejáveis para uma variedade algébrica com a topologia de Zariski .

Na classificação dos espaços de cobertura, mostra-se que o grupo fundamental é exatamente o conjunto de transformações de convés do espaço de cobertura universal . Isso é mais promissor: morfismos de étale finito são o análogo apropriado de espaços de cobertura . Infelizmente, uma expressão algébrica variedade X muitas vezes não consegue ter uma "cobertura universal", que é finita sobre X , então deve-se considerar toda a categoria de revestimentos étalé finitos de X . Pode-se então definir o grupo fundamental étale como um limite inverso de grupos de automorfismo finitos .

Definição formal

Seja um esquema conectado e localmente noetheriano , seja um ponto geométrico de e seja a categoria de pares tal que é um morfismo de étale finito de um esquema Os morfismos nesta categoria são morfismos como esquemas sobre Esta categoria tem um functor natural para a categoria de conjuntos, ou seja, o functor ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle (Y, f)}$ ${\ displaystyle f \ dois pontos Y \ a X}$ ${\ displaystyle Y.}$ ${\ displaystyle (Y, f) \ to (Y ', f')}$ ${\ displaystyle Y \ to Y '}$ ${\ displaystyle X.}$

{\ displaystyle F (Y) = \ operatorname {Hom} _ {X} (x, Y);}

geometricamente esta é a fibra de over e abstratamente é o functor Yoneda representado por na categoria de esquemas over . O functor normalmente não é representável em ; no entanto, é pró-representável em , de fato, por capas de Galois de . Isso significa que temos um sistema projetivo em , indexado por um conjunto direcionado onde estão as coberturas de Galois , ou seja, esquemas de étale finitos sobre tais . Também significa que demos um isomorfismo de functores ${\ displaystyle Y \ a X}$ ${\ displaystyle x,}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ {X_ {j} \ a X_ {i} \ mid i <j \ in I \}}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle I,}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ # \ operatorname {Aut} _ {X} (X_ {i}) = \ operatorname {deg} (X_ {i} / X)}$

{\ displaystyle F (Y) = \ varinjlim _ {i \ in I} \ operatorname {Hom} _ {C} (X_ {i}, Y)}

.

Em particular, temos um ponto marcado do sistema projetivo. ${\ displaystyle P \ in \ varprojlim _ {i \ in I} F (X_ {i})}$

Para dois, o mapa induz um homomorfismo de grupo que produz um sistema projetivo de grupos de automorfismo a partir do sistema projetivo . Em seguida, fazemos a seguinte definição: o grupo fundamental étale de at é o limite inverso ${\ displaystyle X_ {i}, X_ {j}}$ ${\ displaystyle X_ {j} \ a X_ {i}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} _ {X} (X_ {j}) \ to \ operatorname {Aut} _ {X} (X_ {i})}$ ${\ displaystyle \ {X_ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x) = \ varprojlim _ {i \ in I} {\ operatorname {Aut}} _ {X} (X_ {i}),}

com a topologia de limite inverso.

O functor é agora um functor da categoria de conjuntos finitos e contínuos , e estabelece uma equivalência de categorias entre e a categoria de conjuntos finitos e contínuos . ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$

Exemplos e teoremas

O exemplo mais básico de um grupo fundamental é π ₁ (Spec k ), o grupo fundamental de um campo k . Essencialmente por definição, o grupo fundamental de k pode ser mostrado como isomórfico ao grupo absoluto de Galois Gal ( k _sep / k ). Mais precisamente, a escolha de um ponto geométrico de Spec ( k ) é equivalente a fornecer um campo de extensão fechado separavelmente K , e o grupo fundamental em relação a esse ponto de base se identifica com o grupo de Galois Gal ( K / k ). Essa interpretação do grupo de Galois é conhecida como teoria de Galois de Grothendieck .

De forma mais geral, para qualquer variedade X geometricamente conectada em um campo k (ou seja, X é tal que X _sep : = X × _k k _sep está conectado), há uma sequência exata de grupos profinitos

1 → π ₁ ( X _sep , x ) → π ₁ ( X , x ) → Gal ( k _sep / k ) → 1.

Esquemas sobre um campo de característica zero

Para um esquema de X que é de tipo finita sobre C , os números complexos, existe uma relação estreita entre o grupo fundamental étale de X e o habitual, grupo topológico, fundamental de X ( C ), o espaço analítico complexo ligado a X . O grupo algébrico fundamental, como é normalmente chamado neste caso, é a conclusão profinita de π ₁ ( X ). Isto é uma consequência do teorema da existência de Riemann , que diz que todos os revestimentos étalé finitos de X ( C ) derivam de mais de X . Em particular, como o grupo fundamental de curvas suaves sobre C (isto é, superfícies de Riemann abertas) é bem compreendido; isso determina o grupo fundamental algébrico. Mais geralmente, o grupo fundamental de um esquema adequado sobre qualquer campo algebraicamente fechado de característica zero é conhecido, porque uma extensão de campos algebraicamente fechados induz grupos fundamentais isomórficos.

Esquemas sobre um campo de característica positiva e o grupo fundamental manso

Para um campo k algebricamente fechado de característica positiva, os resultados são diferentes, uma vez que coberturas de Artin-Schreier existem nesta situação. Por exemplo, o grupo fundamental da linha afim não é gerado topologicamente finamente . O grupo fundamental manso de algum esquema L é um quociente entre o grupo habitual fundamental de L , que tem em conta apenas as tampas que são domèsticamente ramificou ao longo D , onde X é um compactificaç~ao e D é o complemento de L em X . Por exemplo, o grupo fundamental manso da linha afim é zero. ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {k} ^ {1}}$

Esquemas afins sobre um campo de característica p

Acontece que todo esquema afim é um espaço, no sentido de que o tipo de homotopia etale de é inteiramente determinado por seu grupo de homotopia etale. Observe onde está um ponto geométrico. ${\ displaystyle X \ subset \ mathbf {A} _ {k} ^ {n}}$ ${\ displaystyle K (\ pi, 1)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ pi = \ pi _ {1} ^ {et} (X, {\ overline {x}})}$ ${\ displaystyle {\ overline {x}}}$

Tópicos adicionais

Do ponto de vista da teoria da categoria , o grupo fundamental é um functor

{ Variedades algébricas pontiagudas } → { Grupos profinitos }.

O problema inverso de Galois pergunta quais grupos podem surgir como grupos fundamentais (ou grupos de Galois de extensões de campo). A geometria anabeliana , por exemplo a conjectura da seção de Grothendieck , busca identificar classes de variedades que são determinadas por seus grupos fundamentais.

Friedlander (1982) estuda grupos de homotopia étale superior por meio do tipo de homotopia étale de um esquema.

O grupo fundamental pró-étale

Bhatt & Scholze (2015 , §7) introduziram uma variante do grupo fundamental étale chamada grupo fundamental pro-étale . É construído considerando, em vez de coberturas de étale finitas, mapas que são étale e satisfazem o critério valorativo de propriedade . Para esquemas geometricamente unibrânquicos (por exemplo, esquemas normais), as duas abordagens concordam, mas em geral o grupo fundamental pro-étale é um invariante mais fino: sua conclusão profinita é o grupo fundamental étale.

Veja também

Notas

^ JS Milne, Lectures on Étale Cohomology , versão 2.21: 26-27
^ Grothendieck, Alexandre ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documentos Mathématiques 3 ) , Paris: Société Mathématique de France , pp. Xviii + 327 , veja Exp. V, IX, X, arXiv : math.AG/0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2
^ Grothendieck, Alexander ; Murre, Jacob P. (1971), O grupo fundamental domesticado de uma vizinhança formal de um divisor com cruzamentos normais em um esquema , Lecture Notes in Mathematics, Vol. 208, Berlim, Nova York: Springer-Verlag
^ Schmidt, Alexander (2002), "Tame coverings of arithmetic scheme", Mathematische Annalen , 322 (1): 1-18, arXiv : math / 0005310 , doi : 10.1007 / s002080100262 , S2CID 29899627
^ Achinger, Piotr (novembro de 2017). "Ramificação selvagem e espaços K (pi, 1)". Inventiones Mathematicae . 210 (2): 453–499. arXiv : 1701.03197 . doi : 10.1007 / s00222-017-0733-5 . ISSN 0020-9910 . S2CID 119146164 .
^ (Tamagawa 1997 )

Referências

Bhatt, Bhargav; Scholze, Peter (2015), "The pro-étale topology for scheme", Astérisque : 99–201, arXiv : 1309.1198 , Bibcode : 2013arXiv1309.1198B , MR 3379634
Friedlander, Eric M. (1982), Étale homotopy of simplicial scheme , Annals of Mathematics Studies, 104 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08288-2
Murre, JP (1967), Palestras sobre uma introdução à teoria do grupo fundamental de Grothendieck , Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0302650
Tamagawa, Akio (1997), "The Grothendieck conjecture for affine curves", Compositio Mathematica , 109 (2): 135–194, doi : 10.1023 / A: 1000114400142 , MR 1478817
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[1] JS Milne, Lectures on Étale Cohomology , versão 2.21: 26-27

[2] Grothendieck, Alexandre ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documentos Mathématiques 3 ) , Paris: Société Mathématique de France , pp. Xviii + 327 , veja Exp. V, IX, X, arXiv : math.AG/0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2

[3] Grothendieck, Alexander ; Murre, Jacob P. (1971), O grupo fundamental domesticado de uma vizinhança formal de um divisor com cruzamentos normais em um esquema , Lecture Notes in Mathematics, Vol. 208, Berlim, Nova York: Springer-Verlag

[4] Schmidt, Alexander (2002), "Tame coverings of arithmetic scheme", Mathematische Annalen , 322 (1): 1-18, arXiv : math / 0005310 , doi : 10.1007 / s002080100262 , S2CID 29899627

[5] Achinger, Piotr (novembro de 2017). "Ramificação selvagem e espaços K (pi, 1)". Inventiones Mathematicae . 210 (2): 453–499. arXiv : 1701.03197 . doi : 10.1007 / s00222-017-0733-5 . ISSN 0020-9910 . S2CID 119146164 .

[6] (Tamagawa 1997 )

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