Cardeal indescritível - Indescribable cardinal

Em matemática , um cardeal Q-indescritível é um certo tipo de grande cardinal número que é difícil de descrever em alguma linguagem Q . Há muitos tipos diferentes de cardeais indescritíveis correspondentes a diferentes opções de idiomas Q . Eles foram introduzidos por Hanf & Scott (1961) .

Um número cardinal κ é denominado Πⁿ
_m-indescritível se para cada proposição Π _m φ, e definir A ⊆ V _κ com (V _{κ + n} , ∈, A) ⊧ φ existe um α <κ com (V _{α + n} , ∈, A ∩ V _α ) ⊧ φ. Aqui, olhamos para fórmulas com alternâncias m-1 de quantificadores com o quantificador mais externo sendo universal. Σⁿ
_m- cardeais indescritíveis são definidos de maneira semelhante. A ideia é que κ não pode ser distinguido (olhando de baixo) de cardinais menores por qualquer fórmula de lógica de ordem n + 1 com alternâncias m-1 de quantificadores, mesmo com a vantagem de um símbolo de predicado unário extra (para A). Isso implica que é grande porque significa que deve haver muitos cardeais menores com propriedades semelhantes.

O número cardinal κ é denominado totalmente indescritível se for Πⁿ
_m-indescritível para todos os inteiros positivos m e n .

Se α for um ordinal, o número cardinal κ é chamado α-indescritível se para cada fórmula φ e cada subconjunto U de V _κ tal que φ ( U ) seja válido em V _{κ + α} houver algum λ <κ tal que φ ( U ∩ V _λ ) é válido em V _{λ + α} . Se α é infinito então ordinais α-indescritíveis são totalmente indescritíveis, e se α é finito eles são iguais a Π^α
_ω- ordinais indescritíveis. α-indescritível implica que α <κ, mas há uma noção alternativa de cardeais astutos que faz sentido quando α≥κ: há λ <κ e β tais que φ ( U ∩ V _λ ) vale em V _{λ + β} .

Condições equivalentes

Um cardeal fica inacessível se e somente se for Π⁰
_n-indescritível para todos os inteiros positivos n , equivalentemente se for Π⁰
₂-indescritível, equivalentemente se for Σ¹
₁-indescritível.

Π¹
₁- cardeais indescritíveis são iguais aos cardeais fracamente compactos .

Se V = L, então para um número natural n > 0, um cardinal incontável é Π¹
_n-indescritível se for (n + 1) -estacionário.

Relacionamentos na grande hierarquia cardinal

Um cardeal é Σ¹
_{n + 1}-indescritível se for Π¹
_n-indescritível. A propriedade de ser Π¹
_n-indescritível é Π¹
_{n + 1}. Para m> 1, a propriedade de ser Π^m
_n-indescritível é Σ^m
_n e a propriedade de ser Σ^m
_n-indescritível é Π^m
_n. Assim, para m> 1, todo cardinal que seja Π^m
_{n + 1}-indescritível ou Σ^m
_{n + 1}-indescritível é ambos Π^m
_n-indescritível e Σ^m
_n-indescritível e o conjunto de tais cardeais abaixo dele é estacionário. A força de consistência é Σ^m
_n- cardeais indescritíveis está abaixo de Π^m
_n-indescritível, mas para m> 1 é consistente com ZFC que o mínimo Σ^m
_n-indescritível existe e está acima do mínimo Π^m
_n- cardinal indescritível (isso é provado pela consistência de ZFC com Π^m
_n- cardeal indescritível e um Σ^m
_n- cardeal indescritível acima).

Cardinais mensuráveis ​​são Π²
₁-indescritível, mas o menor cardinal mensurável não é Σ²
₁-indescritível. No entanto, existem muitos cardeais totalmente indescritíveis abaixo de qualquer cardeal mensurável.

Cardeais totalmente indescritíveis permanecem totalmente indescritíveis no universo construtível e em outros modelos internos canônicos, e da mesma forma para Π^m
_n e Σ^m
_n indescritível.

Referências

• Drake, FR (1974). Teoria dos conjuntos: uma introdução aos grandes cardeais (Estudos em lógica e os fundamentos da matemática; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
• Hanf, WP; Scott, DS (1961), "Classifying inaccessible cardinals", Notices of the American Mathematical Society , 8 : 445, ISSN  0002-9920
• Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from YOUR Beginnings (2ª ed.). Springer. doi : 10.1007 / 978-3-540-88867-3_2 . ISBN 3-540-00384-3.