Universo construtível - Constructible universe

Em matemática , na teoria dos conjuntos , o universo construtível (ou universo construtível de Gödel ), denotado por L , é uma classe particular de conjuntos que podem ser descritos inteiramente em termos de conjuntos mais simples. L é a união da hierarquia construtível L _α  . Foi introduzido por Kurt Gödel em seu artigo de 1938 "A Consistência do Axioma da Escolha e da Hipótese do Continuum Generalizado". Nisto, ele provou que o universo construtível é um modelo interno da teoria dos conjuntos ZF (isto é, da teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkelcom o axioma da escolha excluído), e também que o axioma da escolha e a hipótese do continuum generalizado são verdadeiros no universo construtível. Isso mostra que ambas as proposições são consistentes com os axiomas básicos da teoria dos conjuntos, se o próprio ZF for consistente. Visto que muitos outros teoremas só são válidos em sistemas nos quais uma ou ambas as proposições são verdadeiras, sua consistência é um resultado importante.

O que L é

L pode ser pensado como sendo construído em "etapas" assemelhando-se a construção de von Neumann universo , V . Os estágios são indexados por ordinais . No universo de von Neumann, em um estágio sucessor , considera-se V _{α +1} o conjunto de todos os subconjuntos do estágio anterior, V _α . Em contraste, no universo construtível L de Gödel , usa-se apenas os subconjuntos do estágio anterior que são:

• definível por uma fórmula na linguagem formal da teoria dos conjuntos,
• com parâmetros da etapa anterior e,
• com os quantificadores interpretados para variar em relação ao estágio anterior.

Limitando-se a conjuntos definidos apenas em termos do que já foi construído, garante-se que os conjuntos resultantes serão construídos de uma forma que seja independente das peculiaridades do modelo circundante da teoria dos conjuntos e contido em qualquer modelo.

Definir

L é definido por recursão transfinita da seguinte forma:

• ${\ displaystyle L_ {0}: = \ varnothing.}$
• ${\ displaystyle L _ {\ alpha +1}: = \ operatorname {Def} (L _ {\ alpha}).}$
• Se for um ordinal limite , aqui α < λ significa que α precede λ .${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle L _ {\ lambda}: = \ bigcup _ {\ alpha <\ lambda} L _ {\ alpha}.}$
• ${\ displaystyle L: = \ bigcup _ {\ alpha \ in \ mathbf {Ord}} L _ {\ alpha}.}$Aqui, Ord denota a classe de todos os ordinais.

Se z for um elemento de L _α , então z = { y | y ∈ L _α e y ∈ z } ∈ Def ( L _α ) = G _{α + 1} . Então L _α é um subconjunto de L _{α +1} , que é um subconjunto do conjunto de potência de L _α . Conseqüentemente, esta é uma torre de conjuntos transitivos aninhados . Mas o próprio L é uma classe adequada .

Os elementos de L são chamados de conjuntos "construtíveis"; e o próprio L é o "universo construtível". O " axioma de construtibilidade ", também conhecido como " V = L ", diz que todo conjunto (de V ) é constructible, ou seja, L .

Fatos adicionais sobre os conjuntos L _α

Uma definição equivalente para L _α é:

Para qualquer ordinal n finito , os conjuntos L _n e V _n são iguais (seja V igual a L ou não), e assim L _ω = V _ω : seus elementos são exatamente os conjuntos hereditariamente finitos . A igualdade além deste ponto não se mantém. Mesmo em modelos de ZFC em que V é igual a L , L _{ω +1} é um subconjunto próprio de V _{ω +1} e, a partir daí, L _{α +1} é um subconjunto próprio do conjunto de potência de L _α para todo α > ω . Por outro lado, V = L implica que V _α é igual a L _α se α = ω _α , por exemplo, se α é inacessível. Mais geralmente, V = L implica H _α = L _α para todos os cardinais infinitos α .

Se α é um ordinal infinito, então há uma bijeção entre L _α e α , e a bijeção é construtível. Portanto, esses conjuntos são numerosos em qualquer modelo de teoria dos conjuntos que os inclua.

Conforme definido acima, Def ( X ) é o conjunto de subconjuntos de X definidos por fórmulas Δ ₀ (com respeito à hierarquia de Levy , ou seja, fórmulas de teoria de conjuntos contendo apenas quantificadores limitados ) que usam como parâmetros apenas X e seus elementos.

Outra definição, devida a Gödel, caracteriza cada L _{α +1} como a interseção do conjunto de potências de L _α com o fechamento de sob uma coleção de nove funções explícitas, semelhantes às operações de Gödel . Esta definição não faz referência à definibilidade. ${\ displaystyle L _ {\ alpha} \ cup \ {L _ {\ alpha} \}}$

Todos os subconjuntos aritméticos de ω e relações em ω pertencem a L _{ω +1} (porque a definição aritmética nos dá um em L _{ω +1} ). Por outro lado, qualquer subconjunto de ω pertencente a L _{ω +1} é aritmético (porque os elementos de L _ω podem ser codificados por números naturais de tal forma que ∈ é definível, isto é, aritmética). Por outro lado, L _{ω +2} já contém certos subconjuntos não aritméticos de ω , como o conjunto de (codificação de números naturais) declarações aritméticas verdadeiras (isso pode ser definido a partir de L _{ω +1,} portanto, está em L _{ω +2} )

Todos os subconjuntos hiperaritméticos de ω e relações em ω pertencem a (onde representa o ordinal de Church-Kleene ) e, inversamente, qualquer subconjunto de ω que pertença a é hiperaritmético. ${\ displaystyle L _ {\ omega _ {1} ^ {\ mathrm {CK}}}}$${\ displaystyle \ omega _ {1} ^ {\ mathrm {CK}}}$${\ displaystyle L _ {\ omega _ {1} ^ {\ mathrm {CK}}}}$

L é um modelo interno padrão de ZFC

L é um modelo padrão, ou seja, é uma classe transitiva e usa a relação de elemento real, por isso é bem fundamentado . L é um modelo interno, ou seja, ele contém todos os números ordinais de V e não tem sets "extra" além daqueles em V , mas pode ser uma subclasse adequada de V . L é um modelo de ZFC , o que significa que satisfaz os seguintes axiomas :

• Axioma da regularidade : Cada conjunto não vazio x contém algum elemento y tais que x e y são conjuntos disjuntos.

( L , ∈) é uma subestrutura de ( V , ∈), que é bem fundada, então L é bem fundada. Em particular, se y ∈ x ∈ G , seguida pela transitivity de G , y ∈ L . Se usarmos o mesmo y que em V , ele ainda será separado de x porque estamos usando a mesma relação de elemento e nenhum conjunto novo foi adicionado.

• Axioma da extensionalidade : dois conjuntos são iguais se tiverem os mesmos elementos.

Se X e Y estão em L e que têm os mesmos elementos em L , em seguida, por G transitivity 's, eles têm os mesmos elementos em ( V ). Portanto, eles são iguais (em V e, portanto, em L ).

• Axioma do conjunto vazio : {} é um conjunto.

{} = L ₀ = { y | y ∈ L ₀ e y = y } ∈ L ₁ . Então {} ∈ L . Uma vez que a relação elemento é o mesmo e não foram adicionados novos elementos, isto é o conjunto vazio de L .

• Axioma do emparelhamento : Se x , y são conjuntos, então { x , y } é um conjunto.

Se x ∈ G e Y ∈ G , então há alguns ordinal α tais que x ∈ L _α e y ∈ L _α . Então { x , y } = { s | s ∈ L _α e ( s = x ou s = y )} ∈ L _{α +1} . Assim, { x , y } ∈ L e tem o mesmo significado de L como para V .

• Axioma de união : Para qualquer conjunto x existe um conjunto y cujos elementos são precisamente os elementos dos elementos de x .

Se x ∈ L _α , então seus elementos estão em L _α e seus elementos também estão em L _α . Portanto, y é um subconjunto de L _α . y = { s | s ∈ L _α e existe z ∈ x tal que s ∈ z } ∈ L _{α +1} . Assim y ∈ L .

• Axioma do infinito : existe um conjunto x tal que {} está em x e sempre que y está em x , também está a união .${\ displaystyle y \ cup \ {y \}}$

Da indução transfinita , obtemos que cada ordinal α ∈ L _{α +1} . Em particular, ω ∈ L _{ω 1} e, assim, ω ∈ L .

• Axioma de separação : Dado qualquer conjunto S e qualquer proposição P ( x , z ₁ , ..., z _n ), { x | x ∈ S e P ( x , z ₁ , ..., z _n )} é um conjunto.

Por indução nas subfórmulas de P , pode-se mostrar que existe um α tal que L _α contém S e z ₁ , ..., z _n e ( P é verdadeiro em L _α se e somente se P é verdadeiro em L (este é chamado de " princípio de reflexão ")). Portanto, { x | x ∈ S e P ( x , z ₁ , ..., z _n ) é válido em L } = { x | x ∈ L _α e x ∈ S e P ( x , z ₁ , ..., z _n ) é válido em L _α } ∈ L _{α +1} . Assim, o subconjunto é em L .

• Axioma de substituição : Dado qualquer conjunto S e qualquer mapeamento (formalmente definido como uma proposição P ( x , y ) onde P ( x , y ) e P ( x , z ) implica y = z ), { y | existe x ∈ S tal que P ( x , y )} é um conjunto.

Deixe- Q ( x , y ) ser a fórmula que relativiza P para L , ou seja, todos os quantificadores em P são restritas a L . Q é uma fórmula muito mais complexa do que P , mas ainda é uma fórmula finita, e como P era um mapeamento sobre L , Q deve ser um mapeamento sobre V ; assim, podemos aplicar a substituição em V a Q . Então, { y | y ∈ L e existe x ∈ S tal que P ( x , y ) é válido em L } = { y | existe x ∈ S de tal modo que Q ( x , y )} é um conjunto em V e uma subclasse de L . Usando novamente o axioma de substituição em V , podemos mostrar que deve haver um α tal que este conjunto é um subconjunto de L _α ∈ L _{α +1} . Em seguida, pode-se usar o axioma da separação em L para terminar mostrando que é um elemento de L .

• Axioma do conjunto de potência : Para qualquer conjunto x existe um conjunto y , de modo que os elementos de y são precisamente os subconjuntos de x .

Em geral, alguns subconjuntos de um conjunto em L não estará em L . Assim, todo o conjunto das partes de um conjunto de L geralmente não estará em L . O que precisamos aqui é mostrar que a interseção do conjunto de alimentação com L é em L . Use a substituição em V para mostrar que existe um α tal que a interseção é um subconjunto de L _α . Então a interseção é { z | z ∈ L _α e z é um subconjunto de x } ∈ L _{α +1} . Assim, o conjunto é necessário em L .

• Axioma de escolha : dado um conjunto x de conjuntos não vazios mutuamente disjuntos, existe um conjunto y (um conjunto de escolha para x ) contendo exatamente um elemento de cada membro de x .

Pode-se mostrar que há uma boa ordenação definível de L, cuja definição funciona da mesma maneira em L em si. Assim, se escolhe o elemento menos de cada membro de x para formar y utilizando os axiomas de união e a separação em L .

Note-se que a prova de que L é um modelo de ZFC exige apenas que V ser um modelo de ZF, ou seja, nós não assumir que o axioma da escolha tem em V .

L é absoluto e mínimo

Se W representa qualquer modelo padrão de ZF partilha os mesmos ordinais como V , em seguida, a L definido na W é o mesmo que o G definido em V . Em particular, L _α é o mesmo em W e V , para qualquer α ordinal . E as mesmas fórmulas e parâmetros em Def ( L _α ) produzem os mesmos conjuntos construtíveis em L _{α +1} .

Além disso, como L é uma subclasse de V e, da mesma forma, L é uma subclasse de W , L é a menor classe contendo todos os ordinais que é um modelo padrão de ZF. Na verdade, L é a interseção de todas essas classes.

Se houver um conjunto W em V que é um modelo padrão de ZF, e o ordinal κ é o conjunto de ordinais que ocorrem em W , então G _κ é o G de W . Se houver um conjunto que é um modelo padrão de ZF, então o menor desses conjuntos é um L _κ . Este conjunto é denominado modelo mínimo de ZFC. Usando o teorema de Löwenheim – Skolem descendente , pode-se mostrar que o modelo mínimo (se existir) é um conjunto contável.

Obviamente, qualquer teoria consistente deve ter um modelo, portanto, mesmo dentro do modelo mínimo da teoria dos conjuntos, existem conjuntos que são modelos de ZF (assumindo que ZF é consistente). No entanto, esses modelos definidos não são padronizados. Em particular, eles não usam a relação de elemento normal e não são bem fundamentados.

Como o L de L e o V de L são o L real e tanto o L de L _κ quanto o V de L _κ são o L _κ real , obtemos que V = L é verdadeiro em L e em qualquer L _κ que é um modelo de ZF. No entanto, V = L não se aplica a nenhum outro modelo padrão de ZF.

L e cardeais grandes

Desde Ord ⊂ L ⊆ V , as propriedades de ordinais que dependem da ausência de uma função ou outra estrutura (ou seja, Π ₁ ^ZF fórmulas) são preservadas quando vai para baixo a partir de V para L . Daí ordinais iniciais de cardeais permanecem inicial em L . Ordinais regulares permanecem regular em L . Fracas cardeais limite tornar-se fortes cardeais limite em L , porque a hipótese do continuum generalizada detém em L . Cardeais fracamente inacessíveis tornam-se fortemente inacessíveis. Cardeais fracamente Mahlo tornam-se fortemente Mahlo. E, mais genericamente, qualquer grande cardeal propriedade mais fraca do que 0 ^# (veja a lista de grandes propriedades cardinais ) serão retidos na L .

No entanto, 0 ^# é falso em L mesmo se for verdade em V . Portanto, todos os cardeais grandes cuja existência implica 0 ^# deixam de ter essas propriedades cardinais grandes, mas retêm as propriedades mais fracas do que 0 # que eles também possuem. Por exemplo, cardeais mensuráveis deixa de ser mensurável, mas permanecem Mahlo em L .

Se 0 ^# detém em V , em seguida, existe uma classe ilimitada fechado de ordinais que são indiscernível em L . Embora alguns destes não são ainda ordinais iniciais em V , eles têm todas as grandes propriedades cardinais mais fracos do que 0 ^# no L . Além disso, qualquer função estritamente crescente classe da classe de indiscerníveis para si pode ser alargado de uma forma única para uma incorporação elementar de G para G . Isso dá a L uma boa estrutura de segmentos repetidos.

L pode ser bem ordenado

Existem várias maneiras de bem-ordenação L . Alguns deles envolvem a "estrutura fina" de L , que foi descrita pela primeira vez por Ronald Bjorn Jensen em seu artigo de 1972 intitulado "A estrutura fina da hierarquia construtível". Em vez de explicar a estrutura fina, daremos um esboço de como L poderia ser bem ordenado usando apenas a definição dada acima.

Suponha que x e y sejam dois conjuntos diferentes em L e desejamos determinar se x < y ou x > y . Se x aparece pela primeira vez L _{ct +1} e y aparece pela primeira vez L _{β 1} e β é diferente de α , em seguida, deixar x < y se e somente se α < β . Doravante, supomos que β = α .

O estágio L _{α +1} = Def ( L _α ) usa fórmulas com parâmetros de L _α para definir os conjuntos x e y . Se alguém descontar (por enquanto) os parâmetros, as fórmulas podem receber uma numeração de Gödel padrão pelos números naturais. Se Φ é a fórmula com o menor número de Gödel que pode ser usado para definir x , e Ψ é a fórmula com o menor número de Gödel que pode ser usado para definir y , e Ψ é diferente de Φ , então seja x < y se e somente se Φ < Ψ na numeração de Gödel. Doravante, supomos que Ψ = Φ .

Suponha que Φ use n parâmetros de L _α . Suponha que z ₁ , ..., z _n seja a sequência de parâmetros que pode ser usada com Φ para definir x e w ₁ , ..., w _n faça o mesmo para y . Então, seja x < y se e somente se z _n < w _n ou ( z _n = w _n e z _{n - 1} < w _{n - 1} ) ou (z _n = w _n e z _{n - 1} = w _{n - 1} e z _{n - 2} < w _{n - 2} ) etc. Isso é chamado de ordenação lexicográfica reversa ; se houver várias sequências de parâmetros que definem um dos conjuntos, escolhemos pelo menos um nesta ordem. Entendendo-se que os valores possíveis de cada parâmetro são ordenados de acordo com a restrição da ordenação de L a L _α , portanto esta definição envolve recursão transfinita em α .

A boa ordenação dos valores de parâmetros individuais é fornecida pela hipótese indutiva da indução transfinita. Os valores de n- duplas de parâmetros são bem ordenados pela ordem do produto. As fórmulas com parâmetros são bem ordenadas pela soma ordenada (pelos números de Gödel) das ordenações. E L é bem ordenado pela soma ordenada (indexada por α ) das ordenações em L _{α +1} .

Observe que essa boa ordenação pode ser definida dentro do próprio L por uma fórmula da teoria dos conjuntos sem parâmetros, apenas as variáveis ​​livres x e y . E esta fórmula dá o mesmo valor de verdade independentemente de ser avaliada em L , V ou W (algum outro modelo padrão de ZF com os mesmos ordinais) e vamos supor que a fórmula é falsa se x ou y não estiver em L .

É bem sabido que o axioma da escolha equivale à capacidade de ordenar bem cada conjunto. Ser capaz de ordenar bem a classe V apropriada (como fizemos aqui com L ) é equivalente ao axioma da escolha global , que é mais poderoso do que o axioma da escolha comum porque também cobre classes próprias de conjuntos não vazios.

L tem um princípio de reflexão

Provando que o axioma da separação , axioma da substituição , e axioma da escolha espera em L requer (pelo menos como mostrado acima) o uso de um princípio de reflexão para L . Aqui, descrevemos esse princípio.

Por indução em n < ω , podemos usar ZF em V para provar que para qualquer ordinal α , existe um ordinal β > α tal que para qualquer sentença P ( z ₁ , ..., z _k ) com z ₁ ,. .., z _k em L _β e contendo menos de n símbolos (contando um símbolo constante para um elemento de L _β como um símbolo), obtemos que P ( z ₁ , ..., z _k ) é válido em L _β se e apenas se mantém em L .

A hipótese do continuum generalizado é válida em L

Vamos , e deixá- T ser qualquer subconjunto constructible de S . Então, há algum β com , portanto , para alguma fórmula Φ e alguns extraídos de . Pelo teorema de Löwenheim – Skolem descendente e pelo colapso de Mostowski , deve haver algum conjunto transitivo K contendo e alguns , e tendo a mesma teoria de primeira ordem que com o substituído por ; e este K terá o mesmo cardeal que . Visto que é verdadeiro em , também o é em K , portanto, para algum γ tendo o mesmo cardinal que α . E porque e tem a mesma teoria. Então, T está de fato dentro . ${\ displaystyle S \ in L _ {\ alpha}}$${\ displaystyle T \ in L _ {\ beta +1}}$${\ displaystyle T = \ {x \ in L _ {\ beta}: x \ in S \ wedge \ Phi (x, z_ {i}) \} = \ {x \ in S: \ Phi (x, z_ {i }) \}}$${\ displaystyle z_ {i}}$${\ displaystyle L _ {\ beta}}$${\ displaystyle L _ {\ alpha}}$${\ displaystyle w_ {i}}$${\ displaystyle L _ {\ beta}}$${\ displaystyle w_ {i}}$${\ displaystyle z_ {i}}$${\ displaystyle L _ {\ alpha}}$${\ displaystyle V = L}$${\ displaystyle L _ {\ beta}}$${\ displaystyle K = L _ {\ gamma}}$${\ displaystyle T = \ {x \ in L _ {\ beta}: x \ in S \ wedge \ Phi (x, z_ {i}) \} = \ {x \ in L _ {\ gamma}: x \ in S \ wedge \ Phi (x, w_ {i}) \}}$${\ displaystyle L _ {\ beta}}$${\ displaystyle L _ {\ gamma}}$${\ displaystyle L _ {\ gamma +1}}$

Assim, todos os subconjuntos construtíveis de um conjunto infinito S têm classificações com (no máximo) o mesmo cardinal κ que a classificação de S ; segue-se que se δ é o ordinal inicial para κ ⁺ , em seguida serve como o "conjunto de alimentação" de S dentro L . Assim, este "conjunto de energia" . E isso, por sua vez, significa que o "conjunto de potência" de S tem cardinal no máximo || δ ||. Supondo que o próprio S tenha cardinal κ , o "conjunto de potência" deve ter cardinal exatamente κ ⁺ . Mas esta é precisamente a hipótese do continuum generalizada relativizada para L . ${\ displaystyle L \ cap {\ mathcal {P}} (S) \ subseteq L _ {\ delta}}$${\ displaystyle L \ cap {\ mathcal {P}} (S) \ in L _ {\ delta +1}}$

Conjuntos construtíveis são definíveis a partir dos ordinais

Existe uma fórmula da teoria dos conjuntos que expressa a ideia de que X = L _α . Possui apenas variáveis ​​livres para X e α . Usando isso, podemos expandir a definição de cada conjunto construtível. Se s ∈ L _{α +1} , então s = { y | y ∈ L _α e Φ ( y , z ₁ , ..., z _n ) é válido em ( L _α , ∈)} para alguma fórmula Φ e alguns z ₁ , ..., z _n em L _α . Isto é equivalente a dizer que: para todos os y , y ∈ s se e somente se [existe X tal que X = G _α e y ∈ X e Ψ ( X , y , z ₁ , ..., z _n )] onde Ψ ( X , ...) é o resultado de restringir cada quantificador em Φ (...) para X . Observe que cada z _k ∈ L _{β +1} para algum β < α . Combinar as fórmulas para o z 's com a fórmula para s e aplicar quantificadores existenciais sobre o z ' s do lado de fora e obtém-se uma fórmula que define o conjunto construtıvel s usando apenas os ordinais ct que aparecem em expressões como X = G _α como parâmetros.

Exemplo: O conjunto {5, ω } é construtível. Ele é o único conjunto é que satisfaz a fórmula:

onde é abreviação de: ${\ displaystyle Ord (a)}$

Na verdade, mesmo esta fórmula complexa foi simplificada a partir do que as instruções dadas no primeiro parágrafo produziriam. Mas a questão permanece: há uma fórmula da teoria dos conjuntos que é verdadeira apenas para o conjunto construtível desejado s e que contém parâmetros apenas para ordinais.

Construtibilidade relativa

Às vezes, é desejável encontrar um modelo de teoria de conjuntos que seja estreito como L , mas que inclua ou seja influenciado por um conjunto que não seja construtível. Isso dá origem ao conceito de construtibilidade relativa, da qual existem dois sabores, denotados por L ( A ) e L [ A ].

A classe L ( A ) para um conjunto não construtível A é a interseção de todas as classes que são modelos padrão da teoria dos conjuntos e contêm A e todos os ordinais.

L ( A ) é definido por recursão transfinita da seguinte forma:

• L ₀ ( A ) = o menor conjunto transitivo contendo A como um elemento, ou seja, o fechamento transitivo de { A }.
• L _{α +1} ( A ) = Def ( L _α ( A ))
• Se λ for um limite ordinal, então .${\ displaystyle L _ {\ lambda} (A) = \ bigcup _ {\ alpha <\ lambda} L _ {\ alpha} (A) \!}$
• ${\ displaystyle L (A) = \ bigcup _ {\ alpha} L _ {\ alpha} (A) \!}$.

Se L ( A ) contém uma boa ordenação do fechamento transitivo de A, então isso pode ser estendido para uma boa ordenação de L ( A ). Caso contrário, o axioma de escolha falhará em L ( A ).

Um exemplo comum é o menor modelo que contém todos os números reais, amplamente utilizado na moderna teoria descritiva dos conjuntos . ${\ displaystyle L (\ mathbb {R})}$

A classe L [ A ] é a classe de conjuntos cuja construção é influenciada por A , onde A pode ser um conjunto (presumivelmente não construtível) ou uma classe própria. A definição desta classe usa Def _A ( X ), que é o mesmo que Def ( X ), exceto que em vez de avaliar a verdade das fórmulas Φ no modelo ( X , ∈), usa-se o modelo ( X , ∈, A ) onde A é um predicado unário. A interpretação pretendida de Um ( y ) é y ∈ Uma . Em seguida, a definição de L [ A ] é exatamente o de L apenas com Def substituído por Def _A .

L [ A ] é sempre um modelo do axioma de escolha. Mesmo se A for um conjunto, A não é necessariamente um membro de L [ A ], embora sempre seja se A for um conjunto de ordinais.

Os conjuntos em L ( A ) ou L [ A ] geralmente não são realmente construtíveis, e as propriedades desses modelos podem ser bastante diferentes das propriedades de L em si.

Veja também

• Axioma de construtibilidade
• Declarações verdadeiras em L
• Princípio de reflexão
• Teoria dos conjuntos axiomáticos
• Conjunto transitivo
• L (R)
• Definível ordinal

Notas

Referências

• Barwise, Jon (1975). Conjuntos e estruturas admissíveis . Berlim: Springer-Verlag. ISBN 0-387-07451-1.
• Devlin, Keith J. (1984). Construtibilidade . Berlim: Springer-Verlag. ISBN 0-387-13258-9.
• Felgner, Ulrich (1971). Modelos de Teoria dos Conjuntos ZF . Notas de aula em matemática. Springer-Verlag. ISBN 3-540-05591-6.
• Gödel, Kurt (1938). “A Consistência do Axioma da Escolha e da Hipótese do Continuum Generalizado” . Anais da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos da América . Academia Nacional de Ciências. 24 (12): 556–557. Bibcode : 1938PNAS ... 24..556G . doi : 10.1073 / pnas.24.12.556 . JSTOR  87239 . PMC  1077160 . PMID  16577857 .
• Gödel, Kurt (1940). A Consistência da Hipótese do Continuum . Annals of Mathematics Studies. 3 . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07927-1. MR  0002514 .
• Jech, Thomas (2002). Teoria dos conjuntos . Springer Monographs in Mathematics (3ª edição do milênio). Springer. ISBN 3-540-44085-2.