Sagitta (geometria) - Sagitta (geometry)

Em geometria , o sagitta (às vezes abreviado como sag ) de um arco circular é a distância do centro do arco ao centro de sua base. É usado extensivamente em arquitetura ao calcular o arco necessário para abranger uma certa altura e distância e também em óptica, onde é usado para encontrar a profundidade de um espelho esférico ou lente. O nome vem diretamente do latim sagitta , que significa uma flecha.

Fórmulas

Nas equações a seguir, s denota o sagitta (a profundidade ou altura do arco), r é igual ao raio do círculo e l o comprimento da corda que mede a base do arco. Como eu/2e r - s são dois lados de um triângulo retângulo com r como a hipotenusa , o teorema de Pitágoras nos dá

${\ displaystyle r ^ {2} = \ left ({\ frac {l} {2}} \ right) ^ {2} + \ left (rs \ right) ^ {2}.}$

Isso pode ser reorganizado para dar a qualquer um dos outros três:

${\ displaystyle {\ begin {align} s & = r - {\ sqrt {r ^ {2} - {\ left ({\ frac {l} {2}} \ right) ^ {2}}}}, \\ [5px] l & = 2 {\ sqrt {2rs-s ^ {2}}}, \\ [5px] r & = {\ frac {s ^ {2} + \ left ({\ frac {l} {2}} \ direita) ^ {2}} {2s}} = {\ frac {s} {2}} + {\ frac {l ^ {2}} {8s}}. \ end {alinhado}}}$

O sagitta também pode ser calculado a partir da função versina , para um arco que abrange um ângulo de Δ = 2 θ , e coincide com a versina para círculos unitários

${\ displaystyle s = r \ operatorname {versin} \ theta = r \ left (1- \ cos \ theta \ right) = 2r \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}}.}$

Aproximação

Quando o sagitta é pequeno em comparação ao raio, pode ser aproximado pela fórmula

${\ displaystyle s \ approx {\ frac {l ^ {2}} {8r}}.}$

Alternativamente, se o sagitta é pequeno e o sagitta, o raio e o comprimento da corda são conhecidos, eles podem ser usados ​​para estimar o comprimento do arco pela fórmula

${\ displaystyle a \ approx l + {\ frac {2s ^ {2}} {r}} \ approx l + {\ frac {8s ^ {2}} {3l}},}$

onde a é o comprimento do arco ; esta fórmula era conhecida do matemático chinês Shen Kuo , e uma fórmula mais precisa envolvendo também a sagitta foi desenvolvida dois séculos depois por Guo Shoujing .

Formulários

Arquitetos, engenheiros e empreiteiros usam essas equações para criar arcos "achatados" que são usados ​​em paredes curvas, tetos arqueados, pontes e inúmeras outras aplicações.

A sagitta também tem usos na física, onde é usada, junto com o comprimento da corda, para calcular o raio de curvatura de uma partícula acelerada. Isso é usado especialmente em experimentos de câmara de bolha, onde é usado para determinar os momentos das partículas de decomposição. Da mesma forma, historicamente, a sagitta também é utilizada como um parâmetro no cálculo de corpos em movimento em um sistema centrípeto. Este método é utilizado nos Principia de Newton .

Veja também

• Segmento circular
• Versine

Referências

links externos

• Calculando a Sagitta de um Arco