Arco circular - Circular arc

Um setor circular é sombreado em verde. Seu limite curvo de comprimento L é um arco circular.

Um arco circular é o arco de um círculo entre um par de pontos distintos. Se os dois pontos não estiverem diretamente opostos um ao outro, um desses arcos, o arco menor , subtenderá um ângulo no centro do círculo que é menor que $π$ radianos (180 graus), e o outro arco, o arco maior , irá subtender um ângulo maior do que $π$ radianos.

Comprimento

O comprimento (mais precisamente, o comprimento do arco ) de um arco de um círculo com um raio r e subtende um ângulo θ (medido em radianos) com o centro do círculo - isto é, o ângulo central - é

{\ displaystyle L = \ theta r.}

Isto é porque

{\ displaystyle {\ frac {L} {\ mathrm {circunferência}}} = {\ frac {\ theta} {2 \ pi}}.}

Substituindo na circunferência

{\ displaystyle {\ frac {L} {2 \ pi r}} = {\ frac {\ theta} {2 \ pi}},}

e, com α sendo o mesmo ângulo medido em graus, uma vez que θ = α / 180 $π$ , o comprimento do arco é igual

{\ displaystyle L = {\ frac {\ alpha \ pi r} {180}}.}

Uma maneira prática de determinar o comprimento de um arco em um círculo é plotar duas linhas dos pontos finais do arco até o centro do círculo, medir o ângulo onde as duas linhas encontram o centro e, em seguida, resolver para L multiplicando a afirmação cruzada :

medida do ângulo em graus / 360 ° = L / circunferência.

Por exemplo, se a medida do ângulo for 60 graus e a circunferência for 24 polegadas, então

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {60} {360}} & = {\ frac {L} {24}} \\ [6pt] 360L & = 1440 \\ [6pt] L & = 4. \ end {alinhado}}}

Isso ocorre porque a circunferência de um círculo e os graus de um círculo, dos quais sempre existem 360, são diretamente proporcionais.

A metade superior de um círculo pode ser parametrizada como

{\ displaystyle y = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}.}

Então, o comprimento do arco de a é ${\ displaystyle x = a}$ ${\ displaystyle x = b}$

{\ displaystyle L = r {\ Big [} \ arcsin \ left ({\ frac {x} {r}} \ right) {\ Big]} _ {a} ^ {b}.}

Área setorial

A área do setor formada por um arco e o centro de um círculo (delimitado pelo arco e os dois raios desenhados em suas extremidades) é

{\ displaystyle A = {\ frac {r ^ {2} \ theta} {2}}.}

A área A tem a mesma proporção com a área do círculo que o ângulo θ em um círculo completo:

{\ displaystyle {\ frac {A} {\ pi r ^ {2}}} = {\ frac {\ theta} {2 \ pi}}.}

Podemos cancelar $π$ em ambos os lados:

{\ displaystyle {\ frac {A} {r ^ {2}}} = {\ frac {\ theta} {2}}.}

Multiplicando ambos os lados por r ² , obtemos o resultado final:

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} r ^ {2} \ theta.}

Usando a conversão descrita acima, descobrimos que a área do setor para um ângulo central medido em graus é

{\ displaystyle A = {\ frac {\ alpha} {360}} \ pi r ^ {2}.}

Área de segmento

A área da forma delimitada pelo arco e a linha reta entre seus dois pontos finais é

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} r ^ {2} (\ theta - \ sin \ theta).}

Para obter a área do segmento do arco , precisamos subtrair a área do triângulo, determinada pelo centro do círculo e os dois pontos finais do arco, da área . Consulte o segmento circular para obter detalhes. ${\ displaystyle A}$

Raio

O produto dos segmentos de linha AP e PB é igual ao produto dos segmentos de linha CP e PD. Se o arco tem largura AB e altura CP, então o diâmetro do círculo

{\ displaystyle CD = {\ frac {AP \ cdot PB} {CP}} + CP}

Usando o teorema dos acordes de intersecção (também conhecido como potência de um ponto ou teorema da tangente secante), é possível calcular o raio r de um círculo dada a altura H e a largura W de um arco:

Considere a corda com as mesmas extremidades do arco. Sua bissetriz perpendicular é outro acorde, que é o diâmetro do círculo. O comprimento do primeiro acorde é W , e é dividido pela bissetriz em duas metades iguais, cada uma com comprimento C / 2 . O comprimento total do diâmetro é 2 r , e é dividido em duas partes pela primeira corda. O comprimento de um lado é o sagitta do arco, H , e a outra parte é o restante do diâmetro, com o comprimento de 2 r - H . Aplicar o teorema dos acordes que se cruzam a esses dois acordes produz