Teoria da representação do grupo simétrico - Representation theory of the symmetric group

Em matemática , a teoria da representação do grupo simétrico é um caso particular da teoria da representação de grupos finitos , para a qual uma teoria concreta e detalhada pode ser obtida. Isso tem uma grande área de aplicações potenciais, da teoria da função simétrica a problemas de mecânica quântica para um número de partículas idênticas .

O grupo simétrico S _n tem ordem n !. Suas classes de conjugação são rotuladas por partições de n . Portanto, de acordo com a teoria da representação de um grupo finito, o número de representações irredutíveis inequivalentes , sobre os números complexos , é igual ao número de partições de n . Ao contrário da situação geral para grupos finitos, existe de fato uma maneira natural de parametrizar representações irredutíveis pelo mesmo conjunto que parametriza classes de conjugação, a saber, por partições de n ou equivalentemente diagramas de Young de tamanho n .

Cada uma dessas representações irredutíveis pode de fato ser realizada sobre os inteiros (cada permutação agindo por uma matriz com coeficientes inteiros); ele pode ser explicitamente construído computando os simetrizadores de Young agindo em um espaço gerado pelos tableaux de forma de Young dados pelo diagrama de Young. A dimensão da representação que corresponde ao diagrama de Young é dada pela fórmula do comprimento do gancho . ${\ displaystyle d _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

A cada representação irredutível ρ podemos associar um caráter irredutível, χ ^ρ . Para calcular χ ^ρ (π) onde π é uma permutação, pode-se usar a regra combinatória de Murnaghan – Nakayama . Observe que χ ^ρ é constante nas classes de conjugação, ou seja, χ ^ρ (π) = χ ^ρ (σ ⁻¹ πσ) para todas as permutações σ.

Em outros campos, a situação pode se tornar muito mais complicada. Se o campo K tem característica igual a zero ou maior que n, então pelo teorema de Maschke a álgebra de grupo K S _n é semi-simples. Nestes casos, as representações irredutíveis definidas sobre os inteiros fornecem o conjunto completo de representações irredutíveis (após o módulo de redução a característica, se necessário).

No entanto, as representações irredutíveis do grupo simétrico não são conhecidas em características arbitrárias. Neste contexto, é mais comum usar a linguagem de módulos ao invés de representações. A representação obtida a partir de uma representação irredutível definida sobre os inteiros pela redução do módulo da característica não será em geral irredutível. Os módulos assim construídos são chamados de módulos Specht , e todo irredutível surge dentro de algum desses módulos. Agora existem menos irredutíveis e, embora possam ser classificados, são muito mal compreendidos. Por exemplo, mesmo suas dimensões não são conhecidas em geral.

A determinação dos módulos irredutíveis para o grupo simétrico sobre um campo arbitrário é amplamente considerada como um dos problemas abertos mais importantes na teoria da representação.

Representações de baixa dimensão

Grupos simétricos

As representações dimensionais mais baixas dos grupos simétricos podem ser descritas explicitamente, como feito em ( Burnside 1955 , p. 468). Este trabalho foi estendido para as menores k graus (explicitamente para k = 4 , e k = 7 ) em ( Rasala 1977 ), e sobre os campos arbitrárias em ( James 1983 ). Os menores dois graus na característica zero são descritos aqui:

Cada grupo simétrico tem uma representação unidimensional chamada de representação trivial , onde cada elemento atua como a matriz de identidade um a um. Para n ≥ 2 , existe outra representação irredutível de grau 1, chamada de representação de sinal ou caractere alternativo , que leva uma permutação à matriz um a um com entrada ± 1 baseada no sinal da permutação . Essas são as únicas representações unidimensionais dos grupos simétricos, pois as representações unidimensionais são abelianas, e a abelianização do grupo simétrico é C ₂ , o grupo cíclico de ordem 2.

Para todo n , há uma representação n- dimensional do grupo simétrico de ordem n! , Chamou o representação de permutação natural , que consiste em permutarncoordenadas. Isso tem a sub-representação trivial que consiste em vetores cujas coordenadas são todas iguais. O complemento ortogonal consiste naqueles vetores cujas coordenadas somam zero, e quando n ≥ 2, a representação neste subespaço é umarepresentação irredutível( n - 1)-dimensional, chamada derepresentação padrão. Outrarepresentação irredutível( n - 1)-dimensional é encontrada por tensoramento com a representação do signo. Umpoder exterior da representação padrãoé irredutível desde(Fulton & Harris 2004). ${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle 0 \ leq k \ leq n-1}$

Para n ≥ 7 , essas são as representações irredutíveis de menor dimensão de S _n - todas as outras representações irredutíveis têm dimensão de pelo menos n . No entanto, para n = 4 , a sobreposição de S ₄ a S ₃ permite que S ₄ herde uma representação irredutível bidimensional. Para n = 6 , a incorporação transitiva excepcional de S ₅ em S ₆ produz outro par de representações irredutíveis de cinco dimensões.

Representação irredutível de ${\ displaystyle S_ {n}}$	Dimensão	Diagrama de tamanho jovem ${\ displaystyle n}$
Representação trivial	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle (n)}$
Representação de sinal	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle (1 ^ {n}) = (1,1, \ pontos, 1)}$
Representação padrão ${\ displaystyle V}$	${\ displaystyle n-1}$	${\ displaystyle (n-1,1)}$
Poder exterior ${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} V}$	${\ displaystyle {\ binom {n-1} {k}}}$	${\ displaystyle (nk, 1 ^ {k})}$

Grupos alternados

O composto de cinco tetraedros , sobre os quais A ₅ atua, dando uma representação tridimensional.

A teoria da representação dos grupos alternados é semelhante, embora a representação do signo desapareça. Para n ≥ 7 , as representações irredutíveis de menor dimensão são a representação trivial na dimensão um, e a representação ( n - 1) -dimensional da outra soma da representação de permutação, com todas as outras representações irredutíveis tendo dimensão superior, mas há exceções para n menores .

Os grupos alternados para n ≥ 5 possuem apenas uma representação unidimensional irredutível, a representação trivial. Para n = 3, 4 existem duas representações unidimensionais irredutíveis adicionais, correspondentes aos mapas para o grupo cíclico de ordem 3: A ₃ ≅ C ₃ e A ₄ → A ₄ / V ≅ C ₃ .

Para n ≥ 7 , existe apenas uma representação irredutível de grau n - 1 , e este é o menor grau de uma representação irredutível não trivial.
Para n = 3, o análogo óbvio da representação ( n - 1) -dimensional é redutível - a representação da permutação coincide com a representação regular e, portanto, se divide nas três representações unidimensionais, pois A ₃ ≅ C ₃ é abeliana; veja a transformada discreta de Fourier para a teoria da representação de grupos cíclicos.
Para n = 4 , existe apenas uma representação irredutível n - 1 , mas existem as representações irredutíveis excepcionais da dimensão 1.
Para n = 5 , existem duas representações irredutíveis duais da dimensão 3, correspondendo à sua ação como simetria icosaédrica .
Para n = 6 , há uma representação irredutível extra da dimensão 5 correspondente à incorporação transitiva excepcional de A ₅ em A ₆ .

Produtos tensores de representações

Coeficientes de Kronecker

O produto tensorial de duas representações correspondentes aos diagramas de Young é uma combinação de representações irredutíveis de , ${\ displaystyle S_ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda, \ mu}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$

{\ displaystyle V _ {\ lambda} \ otimes V _ {\ mu} \ cong \ sum _ {\ nu} C _ {\ lambda, \ mu, \ nu} V _ {\ nu}}

Os coeficientes são chamados de coeficientes de Kronecker do grupo simétrico. Eles podem ser calculados a partir dos caracteres das representações ( Fulton & Harris 2004 ): ${\ displaystyle C _ {\ lambda \ mu \ nu} \ in \ mathbb {N}}$

{\ displaystyle C _ {\ lambda, \ mu, \ nu} = \ sum _ {\ rho} {\ frac {1} {z _ {\ rho}}} \ chi _ {\ lambda} (C _ {\ rho}) \ chi _ {\ mu} (C _ {\ rho}) \ chi _ {\ nu} (C _ {\ rho})}

A soma é sobre as partições de , com as classes de conjugação correspondentes. Os valores dos caracteres podem ser calculados usando a fórmula de Frobenius . Os coeficientes são ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle C _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ lambda} (C _ {\ rho})}$ ${\ displaystyle z _ {\ rho}}$

{\ displaystyle z _ {\ rho} = \ prod _ {j = 0} ^ {n} j ^ {i_ {j}} i_ {j}! = {\ frac {n!} {| C _ {\ rho} | }}}

onde é o número de vezes que aparece , de modo que . ${\ displaystyle i_ {j}}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle \ sum i_ {j} j = n}$

Alguns exemplos, escritos em termos de diagramas de Young ( Hamermesh 1989 ):

{\ displaystyle (n-1,1) \ otimes (n-1,1) \ cong (n) + (n-1,1) + (n-2,2) + (n-2,1,1) }

{\ displaystyle (n-1,1) \ otimes (n-2,2) {\ underset {n> 4} {\ cong}} (n-1,1) + (n-2,2) + (n -2,1,1) + (n-3,3) + (n-3,2,1)}

{\ displaystyle (n-1,1) \ otimes (n-2,1,1) \ cong (n-1,1) + (n-2,2) + (n-2,1,1) + ( n-3,2,1) + (n-3,1,1,1)}

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} (n-2,2) \ otimes (n-2,2) \ cong & (n) + (n-1,1) +2 (n-2,2) + ( n-2,1,1) + (n-3,3) \\ & + 2 (n-3,2,1) + (n-3,1,1,1) + (n-4,4) + (n-4,3,1) + (n-4,2,2) \ end {alinhado}}}

Existe uma regra simples para calcular para qualquer diagrama de Young ( Hamermesh 1989 ): o resultado é a soma de todos os diagramas de Young que são obtidos removendo uma caixa e, em seguida, adicionando uma caixa, onde os coeficientes são um exceto para si mesmo, cujo coeficiente é , isto é, o número de comprimentos de linha diferentes menos um. ${\ displaystyle (n-1,1) \ otimes \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ # \ {\ lambda _ {i} \} - 1}$

Uma restrição sobre os constituintes irredutíveis de é ( James & Kerber 1981 ) ${\ displaystyle V _ {\ lambda} \ otimes V _ {\ mu}}$

{\ displaystyle C _ {\ lambda, \ mu, \ nu}> 0 \ implica | d _ {\ lambda} -d _ {\ mu} | \ leq d _ {\ nu} \ leq d _ {\ lambda} + d _ {\ mu }}

onde a profundidade de um diagrama de Young é o número de caixas que não pertencem à primeira linha. ${\ displaystyle d _ {\ lambda} = n- \ lambda _ {1}}$

Coeficientes de Kronecker reduzidos

Para um diagrama de Young e , é um diagrama de Young de tamanho . Então é uma função limitada e não decrescente de , e ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle n \ geq \ lambda _ {1}}$ ${\ displaystyle \ lambda [n] = (n- | \ lambda |, \ lambda)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle C _ {\ lambda [n], \ mu [n], \ nu [n]}}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{\ lambda, \ mu, \ nu} = \ lim _ {n \ to \ infty} C _ {\ lambda [n], \ mu [n], \ nu [n ]}}

é chamado de coeficiente de Kronecker reduzido ou coeficiente de Kronecker estável . Existem limites conhecidos para o valor de onde atinge seu limite. Os coeficientes de Kronecker reduzidos são constantes de estrutura das categorias de Deligne de representações de com . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle C _ {\ lambda [n], \ mu [n], \ nu [n]}}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {C} - \ mathbb {N}}$

Em contraste com os coeficientes Kronecker, coeficientes Kronecker reduzidos são definidos para qualquer triplo dos diagramas de Young, não necessariamente do mesmo tamanho. Se , então, coincide com o coeficiente de Littlewood-Richardson . Coeficientes de Kronecker reduzidos podem ser escritos como combinações lineares de coeficientes de Littlewood-Richardson por meio de uma mudança de bases no espaço de funções simétricas, dando origem a expressões que são manifestamente integrais, embora não manifestamente positivas. Coeficientes de Kronecker reduzidos também podem ser escritos em termos de coeficientes de Kronecker e Littlewood-Richardson através da fórmula de Littlewood ${\ displaystyle | \ nu | = | \ lambda | + | \ mu |}$ ${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {\ lambda, \ mu, \ nu}}$ ${\ displaystyle c _ {\ lambda, \ mu} ^ {\ nu}}$ ${\ displaystyle c _ {\ alpha \ beta \ gamma} ^ {\ lambda}}$

{\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{\ lambda, \ mu, \ nu} = \ sum _ {\ lambda ', \ mu', \ nu ', \ alpha, \ beta, \ gamma} C _ {\ lambda ', \ mu', \ nu '} c _ {\ lambda' \ beta \ gamma} ^ {\ lambda} c _ {\ mu '\ alpha \ gamma} ^ {\ mu} c _ {\ nu' \ alpha \ beta } ^ {\ nu}}

Por outro lado, é possível recuperar os coeficientes Kronecker como combinações lineares de coeficientes Kronecker reduzidos.

Coeficientes de Kronecker reduzidos são implementados no sistema de álgebra computacional SageMath .

Veja também

Notas

Referências

Burnside, William (1955), Teoria dos grupos de ordem finita , Nova York: Dover Publications , MR 0069818
Fulton, William; Harris, Joe (2004). “Teoria da Representação”. Textos de Pós-Graduação em Matemática . New York, NY: Springer New York. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-3-540-00539-1. ISSN 0072-5285 .
Hamermesh, M (1989). Teoria dos grupos e sua aplicação a problemas físicos . Nova York: Dover Publications. ISBN 0-486-66181-4. OCLC 20218471 .
James, Gordon; Kerber, Adalbert (1981), A teoria da representação do grupo simétrico , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 16 , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., ISBN 978-0-201-13515-2, MR 0644144
James, GD (1983), "Sobre as dimensões mínimas de representações irredutíveis de grupos simétricos", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 94 (3): 417-424, Bibcode : 1983MPCPS..94..417J , doi : 10.1017 / S0305004100000803 , ISSN 0305-0041 , MR 0720791
Rasala, Richard (1977), "On the minimal degrees of characters of Sn", Journal of Algebra , 45 (1): 132-181, doi : 10.1016 / 0021-8693 (77) 90366-0 , ISSN 0021-8693 , MR 0427445

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