Partículas idênticas - Identical particles

Na mecânica quântica , partículas idênticas (também chamadas de partículas indistinguíveis ou indiscerníveis ) são partículas que não podem ser distinguidas umas das outras, mesmo em princípio. As espécies de partículas idênticas incluem, mas não estão limitadas a, partículas elementares (como elétrons ), partículas subatômicas compostas (como núcleos atômicos ), bem como átomos e moléculas . As quasipartículas também se comportam dessa maneira. Embora todas as partículas indistinguíveis conhecidas existam apenas na escala quântica , não há uma lista exaustiva de todos os tipos de partículas possíveis, nem um limite bem definido de aplicabilidade, conforme explorado nas estatísticas quânticas .

Existem duas categorias principais de partículas idênticas: bósons , que podem compartilhar estados quânticos , e férmions , que não podem (conforme descrito pelo princípio de exclusão de Pauli ). Exemplos de bósons são fótons , glúons , fônons , núcleos de hélio-4 e todos os mésons . Exemplos de férmions são elétrons, neutrinos , quarks , prótons , nêutrons e núcleos de hélio-3 .

O fato de que as partículas podem ser idênticas tem consequências importantes na mecânica estatística , onde os cálculos se baseiam em argumentos probabilísticos , que são sensíveis ao fato de os objetos em estudo serem ou não idênticos. Como resultado, partículas idênticas exibem comportamento estatístico marcadamente diferente de partículas distinguíveis. Por exemplo, a indistinguibilidade das partículas foi proposta como uma solução para o paradoxo da mistura de Gibbs .

Distinguir entre partículas

Existem dois métodos para distinguir entre partículas. O primeiro método se baseia em diferenças nas propriedades físicas intrínsecas das partículas, como massa , carga elétrica e spin . Se houver diferenças, é possível distinguir entre as partículas medindo as propriedades relevantes. No entanto, é um fato empírico que partículas microscópicas da mesma espécie têm propriedades físicas completamente equivalentes. Por exemplo, cada elétron do universo tem exatamente a mesma carga elétrica; por isso é possível falar de algo como " a carga do elétron ".

Mesmo que as partículas tenham propriedades físicas equivalentes, resta um segundo método para distinguir entre as partículas, que é rastrear a trajetória de cada partícula. Contanto que a posição de cada partícula possa ser medida com infinita precisão (mesmo quando as partículas colidem), então não haveria ambigüidade sobre qual partícula é qual.

O problema com a segunda abordagem é que ela contradiz os princípios da mecânica quântica . De acordo com a teoria quântica, as partículas não possuem posições definidas durante os períodos entre as medições. Em vez disso, eles são governados por funções de onda que fornecem a probabilidade de encontrar uma partícula em cada posição. Com o passar do tempo, as funções de onda tendem a se espalhar e se sobrepor. Uma vez que isso aconteça, torna-se impossível determinar, em uma medição subsequente, quais das posições das partículas correspondem às medidas anteriormente. As partículas são então consideradas indistinguíveis.

Descrição da mecânica quântica

Estados simétricos e anti-simétricos

Função de onda anti-simétrica para um estado de 2 partículas (fermiônico) em um potencial de poço quadrado infinito.

Função de onda simétrica para um estado de 2 partículas (bosônico) em um potencial de poço quadrado infinito.

O que se segue é um exemplo para concretizar a discussão acima, usando o formalismo desenvolvido no artigo sobre a formulação matemática da mecânica quântica .

Deixe n denotar um conjunto completo de números quânticos (discretos) para especificar estados de partícula única (por exemplo, para a partícula em um problema de caixa , considere n como o vetor de onda quantizado da função de onda.) Para simplificar, considere um sistema composto de duas partículas que não estão interagindo entre si. Suponha que uma partícula esteja no estado n ₁ e a outra no estado n ₂ . Intuitivamente, o estado quântico do sistema é escrito como

{\ displaystyle | n_ {1} \ rangle | n_ {2} \ rangle}

onde a ordem de escrita do estado importa, como o primeiro estado escrito é para a partícula 1 e o segundo estado escrito é para a partícula 2 (então, se , então, a partícula 1 ocupa o estado n ₂ enquanto a partícula 2 ocupa o estado n ₁ ) Esta é simplesmente a maneira canônica de construir uma base para um espaço de produto tensorial do sistema combinado a partir dos espaços individuais. Esta expressão é válida para partículas distinguíveis, no entanto, não é apropriada para partículas indistinguíveis, uma vez que e como resultado da troca das partículas estão geralmente estados diferentes. ${\ displaystyle | n_ {2} \ rangle | n_ {1} \ rangle}$ ${\ displaystyle H \ otimes H}$ ${\ displaystyle | n_ {1} \ rangle | n_ {2} \ rangle}$ ${\ displaystyle | n_ {2} \ rangle | n_ {1} \ rangle}$

"a partícula 1 ocupa o estado n ₁ e a partícula 2 ocupa o estado n ₂ " ≠ "a partícula 1 ocupa o estado n ₂ e a partícula 2 ocupa o estado n ₁ ".

Dois estados são fisicamente equivalentes apenas se diferirem no máximo por um fator de fase complexo. Para duas partículas indistinguíveis, um estado antes da troca de partículas deve ser fisicamente equivalente ao estado após a troca, de modo que esses dois estados diferem no máximo por um fator de fase complexo. Este fato sugere que um estado para duas partículas indistinguíveis (e não interagentes) é dado seguindo duas possibilidades:

{\ displaystyle | n_ {1} \ rangle | n_ {2} \ rangle \ pm | n_ {2} \ rangle | n_ {1} \ rangle}

Os estados em que é uma soma são conhecidos como simétricos , enquanto os estados que envolvem a diferença são chamados de antissimétricos . Mais completamente, os estados simétricos têm a forma

{\ displaystyle | n_ {1}, n_ {2}; S \ rangle \ equiv {\ mbox {constant}} \ times {\ bigg (} | n_ {1} \ rangle | n_ {2} \ rangle + | n_ {2} \ rangle | n_ {1} \ rangle {\ bigg)}}

enquanto os estados anti-simétricos têm a forma

{\ displaystyle | n_ {1}, n_ {2}; A \ rangle \ equiv {\ mbox {constant}} \ times {\ bigg (} | n_ {1} \ rangle | n_ {2} \ rangle - | n_ {2} \ rangle | n_ {1} \ rangle {\ bigg)}}

Observe que se n ₁ e n ₂ são iguais, a expressão antissimétrica fornece zero, que não pode ser um vetor de estado, pois não pode ser normalizado. Em outras palavras, mais de uma partícula idêntica não pode ocupar um estado anti-simétrico (um estado anti-simétrico pode ser ocupado apenas por uma partícula). Isso é conhecido como princípio de exclusão de Pauli e é a razão fundamental por trás das propriedades químicas dos átomos e da estabilidade da matéria .

Simetria de troca

A importância dos estados simétricos e antissimétricos é, em última análise, baseada em evidências empíricas. Parece ser um fato da natureza que partículas idênticas não ocupam estados de simetria mista, como

{\ displaystyle | n_ {1}, n_ {2};? \ rangle = {\ mbox {constant}} \ times {\ bigg (} | n_ {1} \ rangle | n_ {2} \ rangle + i | n_ {2} \ rangle | n_ {1} \ rangle {\ bigg)}}

Na verdade, há uma exceção a essa regra, que será discutida mais tarde. Por outro lado, pode-se mostrar que os estados simétricos e antissimétricos são em certo sentido especiais, examinando uma simetria particular dos estados de múltiplas partículas conhecidos como simetria de troca .

Defina um operador linear P , chamado de operador de câmbio. Quando atua sobre um produto tensorial de dois vetores de estado, ele troca os valores dos vetores de estado:

{\ displaystyle P {\ bigg (} | \ psi \ rangle | \ phi \ rangle {\ bigg)} \ equiv | \ phi \ rangle | \ psi \ rangle}

P é hermitiano e unitário . Por ser unitário, pode ser considerado um operador de simetria . Essa simetria pode ser descrita como a simetria sob a troca de rótulos anexados às partículas (ou seja, aos espaços de Hilbert de uma única partícula).

Claramente, (o operador de identidade), então os autovalores de P são +1 e -1. Os autovetores correspondentes são os estados simétricos e antissimétricos: ${\ displaystyle P ^ {2} = 1}$

{\ displaystyle P | n_ {1}, n_ {2}; S \ rangle = + | n_ {1}, n_ {2}; S \ rangle}

{\ displaystyle P | n_ {1}, n_ {2}; A \ rangle = - | n_ {1}, n_ {2}; A \ rangle}

Em outras palavras, estados simétricos e antissimétricos são essencialmente inalterados sob a troca de rótulos de partículas: eles são apenas multiplicados por um fator de +1 ou -1, ao invés de serem "girados" em algum outro lugar no espaço de Hilbert. Isso indica que os rótulos das partículas não têm significado físico, de acordo com a discussão anterior sobre indistinguibilidade.

Deve-se lembrar que P é hermitiano. Como resultado, pode ser considerado um observável do sistema, o que significa que, em princípio, uma medição pode ser realizada para descobrir se um estado é simétrico ou anti-simétrico. Além disso, a equivalência das partículas indica que o hamiltoniano pode ser escrito de forma simétrica, como

{\ displaystyle H = {\ frac {p_ {1} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {p_ {2} ^ {2}} {2m}} + U (| x_ {1} -x_ {2} |) + V (x_ {1}) + V (x_ {2})}

É possível mostrar que tais hamiltonianos satisfazem a relação de comutação

{\ displaystyle \ left [P, H \ right] = 0}

De acordo com a equação de Heisenberg , isso significa que o valor de P é uma constante de movimento. Se o estado quântico for inicialmente simétrico (antissimétrico), ele permanecerá simétrico (antissimétrico) conforme o sistema evolui. Matematicamente, isso diz que o vetor de estado está confinado a um dos dois autoespaços de P e não tem permissão para percorrer todo o espaço de Hilbert. Assim, esse espaço próprio pode muito bem ser tratado como o espaço de Hilbert real do sistema. Essa é a ideia por trás da definição do espaço Fock .

Férmions e bósons

A escolha de simetria ou antissimetria é determinada pela espécie de partícula. Por exemplo, estados simétricos devem sempre ser usados ao descrever fótons ou átomos de hélio-4 , e estados antissimétricos ao descrever elétrons ou prótons .

As partículas que exibem estados simétricos são chamadas de bósons . A natureza dos estados simétricos tem consequências importantes para as propriedades estatísticas de sistemas compostos de muitos bósons idênticos. Essas propriedades estatísticas são descritas como estatísticas de Bose-Einstein .

As partículas que exibem estados anti-simétricos são chamadas de férmions . A anti-simetria dá origem ao princípio de exclusão de Pauli , que proíbe férmions idênticos de compartilhar o mesmo estado quântico. Sistemas de muitos férmions idênticos são descritos pelas estatísticas de Fermi-Dirac .

As paraestatísticas também são possíveis.

Em certos sistemas bidimensionais, pode ocorrer simetria mista. Essas partículas exóticas são conhecidas como anyons e obedecem a estatísticas fracionárias . Evidências experimentais para a existência de anyons existem no efeito Hall quântico fracionário , um fenômeno observado nos gases de elétrons bidimensionais que formam a camada de inversão dos MOSFETs . Existe outro tipo de estatística, conhecida como estatística de trança , que está associada a partículas conhecidas como plektons .

O teorema da estatística de spin relaciona a simetria de troca de partículas idênticas a seu spin . Afirma que os bósons têm spin inteiro e os fermions têm spin meio inteiro. Anyons possuem spin fracionário.

N partículas

A discussão acima generaliza prontamente para o caso de N partículas. Suponhamos que existem N partículas com números quânticos n ₁ , n ₂ , ..., n _N . Se as partículas são bósons, elas ocupam um estado totalmente simétrico , que é simétrico sob a troca de quaisquer dois rótulos de partícula:

{\ displaystyle | n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}; S \ rangle = {\ sqrt {\ frac {\ prod _ {n} m_ {n}!} {N!}}} \ sum _ {p} \ left | n_ {p (1)} \ right \ rangle \ left | n_ {p (2)} \ right \ rangle \ cdots \ left | n_ {p (N)} \ right \ rangle}

Aqui, a soma é feita sobre todos os diferentes estados sob permutações p agindo sobre N elementos. A raiz quadrada restante para a soma é uma constante de normalização . A quantidade m _n representa o número de vezes que cada um dos estados de partícula única n aparece no estado de N- partícula. Note-se que Σ _n m _n = N .

Na mesma linha, os férmions ocupam estados totalmente antissimétricos :

{\ displaystyle | n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}; A \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {N!}}} \ sum _ {p} \ operatorname {sgn} ( p) \ left | n_ {p (1)} \ right \ rangle \ left | n_ {p (2)} \ right \ rangle \ cdots \ left | n_ {p (N)} \ right \ rangle \}

Aqui, $sgn (p)$ é o sinal de cada permutação (ou seja, se é composto por um número par de transposições e se é ímpar). Observe que não há termo, porque cada estado de partícula única pode aparecer apenas uma vez em um estado fermiônico. Caso contrário, a soma seria novamente zero devido à antissimetria, representando assim um estado fisicamente impossível. Este é o princípio de exclusão de Pauli para muitas partículas. ${\ displaystyle +1}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle -1}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {n} m_ {n}}$

Esses estados foram normalizados para que

{\ displaystyle \ langle n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}; S | n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}; S \ rangle = 1, \ qquad \ langle n_ {1 } n_ {2} \ cdots n_ {N}; A | n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}; A \ rangle = 1.}

Medição

Suponha que haja um sistema de N bósons (férmions) no estado simétrico (antissimétrico)

{\ displaystyle | n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}; S / A \ rangle}

e uma medição é realizada em algum outro conjunto de observáveis discretos, m . Em geral, isso produz algum resultado m ₁ para uma partícula, m ₂ para outra partícula e assim por diante. Se as partículas são bósons (férmions), o estado após a medição deve permanecer simétrico (antissimétrico), ou seja,

{\ displaystyle | m_ {1} m_ {2} \ cdots m_ {N}; S / A \ rangle}

A probabilidade de obter um determinado resultado para a medição m é

{\ displaystyle P_ {S / A} \ left (n_ {1}, \ ldots, n_ {N} \ rightarrow m_ {1}, \ ldots, m_ {N} \ right) \ equiv {\ big |} \ left \ langle m_ {1} \ cdots m_ {N}; S / A \, | \, n_ {1} \ cdots n_ {N}; S / A \ right \ rangle {\ big |} ^ {2}}

Pode-se mostrar que

{\ displaystyle \ sum _ {m_ {1} \ leq m_ {2} \ leq \ dots \ leq m_ {N}} P_ {S / A} (n_ {1}, \ ldots, n_ {N} \ rightarrow m_ {1}, \ ldots, m_ {N}) = 1}

que verifica se a probabilidade total é 1. A soma deve ser restrita a valores ordenados de m ₁ , ..., m _N para garantir que cada estado de multipartículas não seja contado mais de uma vez.

Representação de função de onda

Até agora, a discussão incluiu apenas observáveis discretos. Ele pode ser estendido para observáveis contínuos, como a posição x .

Lembre-se de que um autoestado de um observável contínuo representa uma faixa infinitesimal de valores do observável, e não um único valor como ocorre com os observáveis discretos. Por exemplo, se uma partícula está em um estado | ip ⟩, a probabilidade de encontrar-lo em uma região de volume de d ³x circundante alguma posição x é

{\ displaystyle | \ langle x | \ psi \ rangle | ^ {2} \; d ^ {3} x}

Como resultado, os autoestados contínuos | x ⟩ são normalizados para a função delta em vez da unidade:

{\ displaystyle \ langle x | x '\ rangle = \ delta ^ {3} (x-x')}

Os estados multipartículas simétricos e anti-simétricos podem ser construídos a partir de estados próprios contínuos da mesma maneira que antes. No entanto, é comum usar uma constante de normalização diferente:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} | x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {N}; S \ rangle & = {\ frac {\ prod _ {j} n_ {j}!} {N!} } \ sum _ {p} \ left | x_ {p (1)} \ right \ rangle \ left | x_ {p (2)} \ right \ rangle \ cdots \ left | x_ {p (N)} \ right \ rangle \\ | x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {N}; A \ rangle & = {\ frac {1} {N!}} \ sum _ {p} \ mathrm {sgn} (p) \ esquerda | x_ {p (1)} \ direita \ rangle \ esquerda | x_ {p (2)} \ direita \ rangle \ cdots \ esquerda | x_ {p (N)} \ direita \ rangle \ end {alinhado}}}

Uma função de onda de muitos corpos pode ser escrita,

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Psi _ {n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}} ^ {(S)} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ { N}) & \ equiv \ langle x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {N}; S | n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}; S \ rangle \\ [4pt] & = {\ sqrt {\ frac {\ prod _ {j} n_ {j}!} {N!}}} \ sum _ {p} \ psi _ {p (1)} (x_ {1}) \ psi _ { p (2)} (x_ {2}) \ cdots \ psi _ {p (N)} (x_ {N}) \\ [10pt] \ Psi _ {n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N }} ^ {(A)} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {N}) & \ equiv \ langle x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {N}; A | n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}; A \ rangle \\ [4pt] & = {\ frac {1} {\ sqrt {N!}}} \ Sum _ {p} \ mathrm {sgn} (p) \ psi _ {p (1)} (x_ {1}) \ psi _ {p (2)} (x_ {2}) \ cdots \ psi _ {p (N)} (x_ {N}) \ end {alinhado}}}

onde as funções de onda de partícula única são definidas, como de costume, por

{\ displaystyle \ psi _ {n} (x) \ equiv \ langle x | n \ rangle}

A propriedade mais importante dessas funções de onda é que a troca de quaisquer duas das variáveis de coordenadas altera a função de onda por apenas um sinal de mais ou menos. Esta é a manifestação de simetria e antissimetria na representação da função de onda:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Psi _ {n_ {1} \ cdots n_ {N}} ^ {(S)} (\ cdots x_ {i} \ cdots x_ {j} \ cdots) = \ Psi _ {n_ {1} \ cdots n_ {N}} ^ {(S)} (\ cdots x_ {j} \ cdots x_ {i} \ cdots) \\ [3pt] \ Psi _ {n_ {1} \ cdots n_ {N}} ^ {(A)} (\ cdots x_ {i} \ cdots x_ {j} \ cdots) = - \ Psi _ {n_ {1} \ cdots n_ {N}} ^ {(A)} ( \ cdots x_ {j} \ cdots x_ {i} \ cdots) \ end {alinhado}}}

A função de onda de muitos corpos tem o seguinte significado: se o sistema está inicialmente em um estado com números quânticos n ₁ , ..., n _N , e uma medição de posição é realizada, a probabilidade de encontrar partículas em volumes infinitesimais próximos a x ₁ , x ₂ , ..., x _N é

{\ displaystyle N! \; \ left | \ Psi _ {n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}} ^ {(S / A)} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots , x_ {N}) \ right | ^ {2} \; d ^ {3N} \! x}

O fator de N ! vem de nossa constante de normalização, que foi escolhida de modo que, por analogia com funções de onda de partícula única,

{\ displaystyle \ int \! \ int \! \ cdots \! \ int \; \ left | \ Psi _ {n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}} ^ {(S / A)} ( x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {N}) \ right | ^ {2} d ^ {3} \! x_ {1} d ^ {3} \! x_ {2} \ cdots d ^ {3} \! X_ {N} = 1}

Como cada integral passa por todos os valores possíveis de x , cada estado de multipartículas aparece como N ! vezes na integral. Em outras palavras, a probabilidade associada a cada evento é distribuída uniformemente em N ! pontos equivalentes no espaço integral. Como geralmente é mais conveniente trabalhar com integrais irrestritos do que restritos, a constante de normalização foi escolhida para refletir isso.

Finalmente, a função de onda anti-simétrica pode ser escrita como o determinante de uma matriz , conhecido como determinante de Slater :

{\ displaystyle \ Psi _ {n_ {1} \ cdots n_ {N}} ^ {(A)} (x_ {1}, \ ldots, x_ {N}) = {\ frac {1} {\ sqrt {N !}}} \ left | {\ begin {matrix} \ psi _ {n_ {1}} (x_ {1}) & \ psi _ {n_ {1}} (x_ {2}) & \ cdots & \ psi _ {n_ {1}} (x_ {N}) \\\ psi _ {n_ {2}} (x_ {1}) & \ psi _ {n_ {2}} (x_ {2}) & \ cdots & \ psi _ {n_ {2}} (x_ {N}) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ psi _ {n_ {N}} (x_ {1}) & \ psi _ { n_ {N}} (x_ {2}) & \ cdots & \ psi _ {n_ {N}} (x_ {N}) \\\ end {matriz}} \ direita |}

A abordagem do operador e paraestatísticas

O espaço de Hilbert para partículas é dado pelo produto tensorial . O grupo de permutação de atos neste espaço permutando as entradas. Por definição, os valores esperados para um observável de partículas indistinguíveis devem ser invariantes sob essas permutações. Isso significa que para todos e ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ otimes _ {n} H}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ psi \ in H}$ ${\ displaystyle \ sigma \ in S_ {n}}$

{\ displaystyle (\ sigma \ Psi) ^ {t} a (\ sigma \ Psi) = \ Psi ^ {t} a \ Psi,}

ou de forma equivalente para cada ${\ displaystyle \ sigma \ in S_ {n}}$

{\ displaystyle \ sigma ^ {t} a \ sigma = a}

.

Dois estados são equivalentes sempre que seus valores esperados coincidem para todos os observáveis. Se nos restringirmos a observáveis de partículas idênticas e, portanto, observáveis que satisfaçam a equação acima, descobrimos que os seguintes estados (após a normalização) são equivalentes ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle \ Psi \ sim \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ lambda _ {\ sigma} \ sigma \ Psi}

.

As classes de equivalência estão em relação bijetiva com subespaços irredutíveis de under . ${\ displaystyle \ otimes _ {n} H}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$

Dois subespaços irredutíveis óbvios são o subespaço unidimensional simétrico / bosônico e o subespaço anti-simétrico / fermiônico. No entanto, existem mais tipos de subespaços irredutíveis. Os estados associados a esses outros subespaços irredutíveis são chamados de estados paraestatísticos . Os tableaux jovens fornecem uma maneira de classificar todos esses subespaços irredutíveis.

Propriedades estatísticas

Efeitos estatísticos de indistinguibilidade

A indistinguibilidade das partículas tem um efeito profundo em suas propriedades estatísticas. Para ilustrar isso, considere um sistema de N partículas distinguíveis e não interagentes. Mais uma vez, deixe n _j denotar o estado (isto é, números quânticos) da partícula j . Se as partículas têm as mesmas propriedades físicas, os n _j estão na mesma faixa de valores. Seja ε ( n ) a energia de uma partícula no estado n . Como as partículas não interagem, a energia total do sistema é a soma das energias de uma única partícula. A função de partição do sistema é

{\ displaystyle Z = \ sum _ {n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {N}} \ exp \ left \ {- {\ frac {1} {kT}} \ left [\ varejpsilon ( n_ {1}) + \ varepsilon (n_ {2}) + \ cdots + \ varepsilon (n_ {N}) \ right] \ right \}}

onde k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura . Esta expressão pode ser fatorada para obter

{\ displaystyle Z = \ xi ^ {N}}

Onde

{\ displaystyle \ xi = \ sum _ {n} \ exp \ left [- {\ frac {\ varepsilon (n)} {kT}} \ right].}

Se as partículas forem idênticas, esta equação está incorreta. Considere um estado do sistema, descrito pelos estados de uma única partícula [ n ₁ , ..., n _N ]. Na equação para Z , todas as permutações possíveis dos n 's ocorrem uma vez na soma, embora cada uma dessas permutações esteja descrevendo o mesmo estado de multipartículas. Assim, o número de estados foi superestimado.

Se a possibilidade de sobreposição de estados for desprezada, o que é válido se a temperatura for alta, então o número de vezes que cada estado é contado é de aproximadamente N ! A função de partição correta é

{\ displaystyle Z = {\ frac {\ xi ^ {N}} {N!}}.}

Observe que esta aproximação de "alta temperatura" não distingue entre férmions e bósons.

A discrepância nas funções de partição de partículas distinguíveis e indistinguíveis era conhecida já no século 19, antes do advento da mecânica quântica. Isso leva a uma dificuldade conhecida como paradoxo de Gibbs . Gibbs mostrou que na equação Z = ξ ^N , a entropia de um gás ideal clássico é

{\ displaystyle S = Nk \ ln \ left (V \ right) + Nf (T)}

onde V é o volume do gás ef é alguma função de T sozinho. O problema com este resultado é que S não é extenso - se N e V são duplicados, S não duplica de acordo. Esse sistema não obedece aos postulados da termodinâmica .

Gibbs também mostrou que usando Z = ξ ^N / N ! altera o resultado para

{\ displaystyle S = Nk \ ln \ left ({\ frac {V} {N}} \ right) + Nf (T)}

que é perfeitamente extenso. No entanto, a razão para esta correção da função de partição permaneceu obscura até a descoberta da mecânica quântica

Propriedades estatísticas de bósons e férmions

Existem diferenças importantes entre o comportamento estatístico de bósons e férmions, que são descritos pelas estatísticas de Bose-Einstein e de Fermi-Dirac, respectivamente. Grosso modo, os bósons têm a tendência de se agrupar no mesmo estado quântico, que está por trás de fenômenos como o laser , condensação de Bose-Einstein e superfluidez . Os férmions, por outro lado, são proibidos de compartilhar estados quânticos, dando origem a sistemas como o gás de Fermi . Isso é conhecido como o Princípio de Exclusão de Pauli e é responsável por grande parte da química, uma vez que os elétrons em um átomo (férmions) preenchem sucessivamente os muitos estados dentro das camadas, em vez de todos ficarem no mesmo estado de energia mais baixa.

As diferenças entre o comportamento estatístico de férmions, bósons e partículas distinguíveis podem ser ilustradas usando um sistema de duas partículas. As partículas são designadas A e B. Cada partícula pode existir em dois estados possíveis, rotulados e , que têm a mesma energia. ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 1 \ rangle}$

O sistema composto pode evoluir com o tempo, interagindo com um ambiente barulhento. Como os estados e são energeticamente equivalentes, nenhum dos estados é favorecido, portanto, esse processo tem o efeito de randomizar os estados. (Isso é discutido no artigo sobre emaranhamento quântico .) Depois de algum tempo, o sistema composto terá uma probabilidade igual de ocupar cada um dos estados disponíveis para ele. Os estados das partículas são então medidos. ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 1 \ rangle}$

Se A e B são partículas distintas, em seguida, o sistema composto tem quatro estados distintos: , , , e . A probabilidade de obter duas partículas no estado é de 0,25; a probabilidade de obtenção de duas partículas no estado é de 0,25; e a probabilidade de obter uma partícula no estado e a outra no estado é 0,5. ${\ displaystyle | 0 \ rangle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 1 \ rangle | 1 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle | 1 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 1 \ rangle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 1 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 1 \ rangle}$

Se A e B são idênticos bosões, em seguida, o sistema compósito tem apenas três estados distintos: , , e . Quando o experimento é realizado, a probabilidade de obtenção de duas partículas no estado agora é de 0,33; a probabilidade de obtenção de duas partículas no estado é de 0,33; e a probabilidade de obter uma partícula no estado e a outra no estado é de 0,33. Observe que a probabilidade de encontrar partículas no mesmo estado é relativamente maior do que no caso distinguível. Isso demonstra a tendência dos bósons de se "agruparem". ${\ displaystyle | 0 \ rangle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 1 \ rangle | 1 \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle | 1 \ rangle + | 1 \ rangle | 0 \ rangle)}$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 1 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 1 \ rangle}$

Se A e B são férmions idênticos, há apenas um estado disponível para o sistema composto: o estado totalmente antissimétrico . Quando o experimento é realizado, uma partícula está sempre no estado e a outra está no estado. ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle | 1 \ rangle - | 1 \ rangle | 0 \ rangle)}$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 1 \ rangle}$

Os resultados estão resumidos na Tabela 1:

Tabela 1: Estatísticas de duas partículas
Partículas	Ambos 0	Ambos 1	Um 0 e um 1
Distinguível	0,25	0,25	0,5
Bósons	0,33	0,33	0,33
Fermions	0	0	1

Como pode ser visto, mesmo um sistema de duas partículas exibe diferentes comportamentos estatísticos entre partículas distinguíveis, bósons e férmions. Nos artigos sobre estatísticas de Fermi – Dirac e estatísticas de Bose – Einstein , esses princípios são estendidos a um grande número de partículas, com resultados qualitativamente semelhantes.

A classe de homotopia

Para entender por que as estatísticas de partículas funcionam da maneira que funcionam, observe primeiro que as partículas são excitações localizadas em pontos e que as partículas separadas como no espaço não interagem. Num plano d espaço -dimensional M , em determinado momento, a configuração de duas partículas idênticas pode ser especificado como um elemento de M x M . Se não houver sobreposição entre as partículas, de forma que elas não interajam diretamente, então suas localizações devem pertencer ao espaço [ M × M ] / {pontos coincidentes}, o subespaço com pontos coincidentes removido. O elemento ( x , y ) descreve a configuração com a partícula I em xe partícula II em y , enquanto ( y , x ) descreve a configuração trocada. Com partículas idênticas, o estado descrito por ( x , y ) deve ser indistinguível do estado descrito por ( y , x ) . Agora considere a classe de homotopia de caminhos contínuos de ( x , y ) a ( y , x ) , dentro do espaço [ M × M ] / {pontos coincidentes} . Se M for R ^d onde d ≥ 3 , então esta classe de homotopia possui apenas um elemento. Se M é R ² , então esta classe de homotopia tem contáveis muitos elementos (ou seja, uma troca no sentido anti-horário por meia volta, uma troca no sentido anti-horário por uma volta e meia, duas voltas e meia, etc., uma troca no sentido horário por meia volta , etc.). Em particular, uma troca no sentido anti-horário em meia volta não é homotópica com uma troca no sentido horário em meia volta. Por último, se M é R , então essa classe de homotopia está vazia.

Suponha primeiro que d ≥ 3 . O espaço de cobertura universal de [ M × M ] / {pontos coincidentes}, que não é outro senão [ M × M ] / {pontos coincidentes} em si, tem apenas dois pontos que são fisicamente indistinguíveis de ( x , y ) , a saber ( x , y ) em si e ( y , x ) . Portanto, a única troca permissível é trocar ambas as partículas. Esta troca é uma involução , então seu único efeito é multiplicar a fase por uma raiz quadrada de 1. Se a raiz for +1, então os pontos terão estatísticas de Bose, e se a raiz for -1, os pontos terão estatísticas de Fermi.

No caso M = R ² , o espaço de cobertura universal de [ M × M ] / {pontos coincidentes} tem infinitos pontos que são fisicamente indistinguíveis de ( x , y ) . Isso é descrito pelo grupo cíclico infinito gerado ao fazer uma troca de meia volta no sentido anti-horário. Ao contrário do caso anterior, realizar essa troca duas vezes consecutivas não recupera o estado original; portanto, tal intercâmbio pode genericamente resultar em uma multiplicação por exp ( iθ ) para qualquer θ real (por unidade , o valor absoluto da multiplicação deve ser 1). Isso é chamado de estatística anyonic . Na verdade, mesmo com duas partículas distinguíveis , embora ( x , y ) seja agora fisicamente distinguível de ( y , x ) , o espaço de cobertura universal ainda contém infinitos pontos que são fisicamente indistinguíveis do ponto original, agora gerado por um rotação por uma volta completa. Este gerador, então, resulta em uma multiplicação por exp ( iφ ). Este fator de fase aqui é chamado de estatística mútua .

Finalmente, no caso M = R , o espaço [ M × M ] / {pontos coincidentes} não está conectado, então mesmo se a partícula I e a partícula II forem idênticas, elas ainda podem ser distinguidas por rótulos como "a partícula no esquerda "e" a partícula à direita ". Não há simetria de intercâmbio aqui.

Veja também

Notas de rodapé

Referências

Tuckerman, Mark (2010), Mecânica Estatística , ISBN 978-0198525264

links externos

Troca de partículas idênticas e possivelmente indistinguíveis por John S. Denker
Identidade e Individualidade na Teoria Quântica ( Stanford Encyclopedia of Philosophy )
Many-Electron States in E. Pavarini, E. Koch e U. Schollwöck: Emergent Phenomena in Correlated Matter, Jülich 2013, ISBN 978-3-89336-884-6

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