Desaparecer no infinito - Vanish at infinity

Em matemática , uma função é dito que desaparecem no infinito , se os seus valores se aproximam 0, quando a entrada cresce sem limites. Existem duas maneiras diferentes de definir isso, uma definição se aplica a funções definidas em espaços vetoriais normados e a outra se aplica a funções definidas em espaços compactos localmente . Além dessa diferença, essas duas noções correspondem à noção intuitiva de adicionar um ponto no infinito e exigir que os valores da função fiquem arbitrariamente próximos de zero à medida que se aproxima. Esta definição pode ser formalizada em muitos casos adicionando um ponto (real) no infinito .

Definições

Diz-se que uma função em um espaço vetorial normatizado desaparece no infinito se a função se aproxima à medida que a entrada cresce sem limites (ou seja, como ). Ou, ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle f (x) \ a 0}$${\ displaystyle \ | x \ | \ to \ infty}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to - \ infty} f (x) = \ lim _ {x \ to + \ infty} f (x) = 0.}$

no caso específico de funções na linha real.

Por exemplo, a função

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} +1}}}$

definido na linha real desaparece no infinito.

Alternativamente, uma função em um espaço localmente compacto desaparece no infinito , se for dado qualquer número positivo ε , existe um subconjunto compacto tal que ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle \ | f (x) \ | <\ varejpsilon}$

sempre que o ponto estiver fora de Em outras palavras, para cada número positivo ε o conjunto é compacto. Para um determinado espaço localmente compacto, o conjunto de tais funções ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle K.}$${\ displaystyle \ left \ {x \ in X: \ | f (x) \ | \ geq \ varepsilon \ right \}}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle f: \ Omega \ to \ mathbb {K}}$

valorizado em que é ou forma um - espaço vetorial em relação à multiplicação e adição escalar pontual , que é frequentemente denotado${\ displaystyle \ mathbb {K},}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C},}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle C_ {0} (\ Omega).}$

Por exemplo, a função

${\ displaystyle h (x, y) = {\ frac {1} {x + y}}}$

onde e são reais maiores ou iguais a 1 e correspondem ao ponto em desaparece no infinito. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 1} ^ {2}}$

Um espaço normado é localmente compacto se e somente se for finito-dimensional, então, neste caso particular, há duas definições diferentes de uma função "desaparecendo no infinito". As duas definições podem ser inconsistentes uma com a outra: se em um espaço de Banach de dimensão infinita , então desaparece no infinito pela definição, mas não pela definição do conjunto compacto. ${\ displaystyle f (x) = \ | x \ | ^ {- 1}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ | f (x) \ | \ to 0}$

Diminuindo rapidamente

Refinando o conceito, pode-se observar mais de perto a taxa de desaparecimento de funções no infinito. Uma das intuições básicas da análise matemática é que a transformada de Fourier troca as condições de suavidade com as condições de taxa ao desaparecer no infinito. As funções de teste que diminuem rapidamente da teoria da distribuição temperada são funções suaves que são

${\ displaystyle O \ left (| x | ^ {- N} \ right)}$

para todos , como , e de tal forma que todas as suas derivadas parciais satisfaçam a mesma condição também. Esta condição é configurada de forma a ser autodual sob a transformada de Fourier, de modo que a teoria de distribuição correspondente de distribuições temperadas terá a mesma propriedade. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle | x | \ to \ infty}$

Veja também

• Infinity  - conceito matemático
• Linha real projetivamente estendida
• Zero de uma função  - Elemento do domínio onde o valor da função é zero

Citações

Referências

• Hewitt, E e Stromberg, K (1963). Análise real e abstrata . Springer-Verlag.CS1 maint: vários nomes: lista de autores ( link )