Análise de onda parcial - Partial wave analysis

A análise de onda parcial , no contexto da mecânica quântica , refere-se a uma técnica para resolver problemas de espalhamento decompondo cada onda em seus componentes de momento angular constituintes e resolvendo usando condições de contorno .

Teoria de espalhamento preliminar

A descrição a seguir segue a maneira canônica de introduzir a teoria de espalhamento elementar. Um feixe constante de partículas espalha um potencial esfericamente simétrico , que tem um alcance curto, de modo que, para grandes distâncias , as partículas se comportam como partículas livres. Em princípio, qualquer partícula deve ser descrita por um pacote de ondas, mas descrevemos o espalhamento de uma onda plana viajando ao longo do eixo z , porque os pacotes de ondas são expandidos em termos de ondas planas e isso é matematicamente mais simples. Como o feixe é ligado por um longo tempo em comparação com o tempo de interação das partículas com o potencial de espalhamento, um estado estacionário é assumido. Isso significa que a equação de Schrödinger estacionária para a função de onda que representa o feixe de partículas deve ser resolvida: ${\ displaystyle V (r)}$${\ displaystyle r \ to \ infty}$${\ displaystyle \ exp (ikz)}$${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V (r) \ right] \ Psi (\ mathbf {r}) = E \ Psi ( \ mathbf {r})}$

Fazemos o seguinte ansatz :

${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}) = \ Psi _ {0} (\ mathbf {r}) + \ Psi _ {\ mathrm {s}} (\ mathbf {r})}$

onde está a onda plana de entrada e é uma parte espalhada que perturba a função de onda original. É a forma assintótica que é de interesse, porque as observações perto do centro de dispersão (por exemplo, um núcleo atômico) são quase sempre inviáveis ​​e a detecção de partículas ocorre longe da origem. Em grandes distâncias, as partículas devem se comportar como partículas livres e , portanto, devem ser uma solução para a equação de Schrödinger livre. Isso sugere que deve ter uma forma semelhante a uma onda plana, omitindo quaisquer partes fisicamente sem sentido. Portanto, investigamos a expansão da onda plana : ${\ displaystyle \ Psi _ {0} (\ mathbf {r}) \ propto \ exp (ikz)}$${\ displaystyle \ Psi _ {\ mathrm {s}} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ Psi _ {\ mathrm {s}} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ Psi _ {\ mathrm {s}} (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle e ^ {ikz} = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} (2 \ ell +1) i ^ {\ ell} j _ {\ ell} (kr) P _ {\ ell} ( \ cos \ theta)}$.

A função esférica de Bessel se comporta assintoticamente como ${\ displaystyle j _ {\ ell} (kr)}$

${\ displaystyle j _ {\ ell} (kr) \ to {\ frac {1} {2ikr}} \ left (\ exp (i (kr-l \ pi / 2)) - \ exp (-i (kr-l \ pi / 2)) \ right).}$

Isso corresponde a uma onda esférica de saída e de entrada. Para a função de onda espalhada, apenas partes de saída são esperadas. Portanto, esperamos em grandes distâncias e definimos a forma assintótica da onda espalhada para ${\ displaystyle \ Psi _ {\ mathrm {s}} (\ mathbf {r}) \ propto \ exp (ikr) / r}$

${\ displaystyle \ Psi _ {\ mathrm {s}} (\ mathbf {r}) \ a f (\ theta, k) {\ frac {\ exp (ikr)} {r}}}$

onde está a chamada amplitude de espalhamento , que neste caso depende apenas do ângulo de elevação e da energia. Em conclusão, isso dá a seguinte expressão assintótica para toda a função de onda: ${\ displaystyle f (\ theta, k)}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}) \ to \ Psi ^ {(+)} (\ mathbf {r}) = \ exp (ikz) + f (\ theta, k) {\ frac {\ exp ( ikr)} {r}}}$.

Expansão de onda parcial

No caso de um potencial esférico simétrico , a função de onda de espalhamento pode ser expandida em harmônicos esféricos que se reduzem a polinômios de Legendre devido à simetria azimutal (sem dependência de ): ${\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = V (r)}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} {\ frac {u _ {\ ell} (r)} {r}} P _ {\ ell} ( \ cos \ theta)}$.

No problema de espalhamento padrão, o feixe de entrada assume a forma de uma onda plana de número de onda k , que pode ser decomposta em ondas parciais usando a expansão de onda plana em termos de funções esféricas de Bessel e polinômios de Legendre :

${\ displaystyle \ psi _ {\ text {in}} (\ mathbf {r}) = e ^ {ikz} = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} (2 \ ell +1) i ^ {\ ell} j _ {\ ell} (kr) P _ {\ ell} (\ cos \ theta)}$

Aqui, assumimos um sistema de coordenadas esféricas no qual o eixo z está alinhado com a direção do feixe. A parte radial desta função de onda consiste exclusivamente na função esférica de Bessel, que pode ser reescrita como uma soma de duas funções esféricas de Hankel :

${\ displaystyle j _ {\ ell} (kr) = {\ frac {1} {2}} \ left (h _ {\ ell} ^ {(1)} (kr) + h _ {\ ell} ^ {(2) } (kr) \ right)}$

Isso tem significado físico: h _ℓ ⁽²⁾ assintoticamente (ou seja, para r grande ) se comporta como i ^{- ( ℓ +1)} e ^ikr / ( kr ) e é, portanto, uma onda de saída, enquanto h _ℓ ⁽¹⁾ assintoticamente se comporta como i ^{ℓ +1} e ^−ikr / ( kr ) e é, portanto, uma onda de entrada. A onda de entrada não é afetada pelo espalhamento, enquanto a onda de saída é modificada por um fator conhecido como elemento da matriz S de onda parcial S _ℓ :

${\ displaystyle {\ frac {u _ {\ ell} (r)} {r}} {\ stackrel {r \ to \ infty} {\ longrightarrow}} {\ frac {i ^ {\ ell} k} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ left (h _ {\ ell} ^ {(1)} (kr) + S _ {\ ell} h _ {\ ell} ^ {(2)} (kr) \ right)}$

onde u _ℓ ( r ) / r é o componente radial da função de onda real. O deslocamento de fase de espalhamento δ _ℓ é definido como metade da fase de S _ℓ :

${\ displaystyle S _ {\ ell} = e ^ {2i \ delta _ {\ ell}}}$

Se o fluxo não for perdido, | S _ℓ | = 1 e, portanto, a mudança de fase é real. Este é normalmente o caso, a menos que o potencial tenha um componente de absorção imaginário, que é frequentemente usado em modelos fenomenológicos para simular a perda devido a outros canais de reação.

Portanto, a função de onda completa é, assintoticamente,

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) {\ stackrel {r \ to \ infty} {\ longrightarrow}} \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} (2 \ ell +1) i ^ {\ ell} {\ frac {h _ {\ ell} ^ {(1)} (kr) + S _ {\ ell} h _ {\ ell} ^ {(2)} (kr)} {2}} P _ {\ ell} (\ cos \ theta)}$

Subtraindo ψ _em produz a função de onda de saída assintótica:

${\ displaystyle \ psi _ {\ text {out}} (\ mathbf {r}) {\ stackrel {r \ to \ infty} {\ longrightarrow}} \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} ( 2 \ ell +1) i ^ {\ ell} {\ frac {S _ {\ ell} -1} {2}} h _ {\ ell} ^ {(2)} (kr) P _ {\ ell} (\ cos \ theta)}$

Fazendo uso do comportamento assintótico das funções esféricas de Hankel, obtém-se:

${\ displaystyle \ psi _ {\ text {out}} (\ mathbf {r}) {\ stackrel {r \ to \ infty} {\ longrightarrow}} {\ frac {e ^ {ikr}} {r}} \ soma _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} (2 \ ell +1) {\ frac {S _ {\ ell} -1} {2ik}} P _ {\ ell} (\ cos \ theta)}$

Uma vez que a amplitude de espalhamento f ( θ , k ) é definida via:

${\ displaystyle \ psi _ {\ text {out}} (\ mathbf {r}) {\ stackrel {r \ to \ infty} {\ longrightarrow}} {\ frac {e ^ {ikr}} {r}} f (\ theta, k)}$

Segue que

${\ displaystyle f (\ theta, k) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} (2 \ ell +1) {\ frac {S _ {\ ell} -1} {2ik}} P_ { \ ell} (\ cos \ theta) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} (2 \ ell +1) {\ frac {e ^ {i \ delta _ {\ ell}} \ sin \ delta _ {\ ell}} {k}} P _ {\ ell} (\ cos \ theta)}$

e, portanto, a seção transversal diferencial é dada por

${\ displaystyle {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}} = | f (\ theta, k) | ^ {2} = {\ frac {1} {k ^ {2}}} \ left | \ soma _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} (2 \ ell +1) e ^ {i \ delta _ {\ ell}} \ sin \ delta _ {\ ell} P _ {\ ell} (\ cos \ theta) \ right | ^ {2}}$

Isso funciona para qualquer interação de curto alcance. Para interações de longo alcance (como a interação de Coulomb), a soma sobre ℓ pode não convergir. A abordagem geral para tais problemas consiste em tratar a interação de Coulomb separadamente da interação de curto alcance, pois o problema de Coulomb pode ser resolvido exatamente em termos das funções de Coulomb , que assumem o papel das funções de Hankel neste problema.

Referências

• Griffiths, JD (1995). Introdução à Mecânica Quântica . Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.

links externos

• Análise de onda parcial para leigos
• Análise de Onda Parcial de Espalhamento