Lei de Murray - Murray's law

A lei de Murray prevê a espessura dos ramos nas redes de transporte, de forma que o custo de transporte e manutenção do meio de transporte seja minimizado. Essa lei é observada nos sistemas vascular e respiratório dos animais, no xilema das plantas e no sistema respiratório dos insetos. Sua versão mais simples afirma que se um ramo do raio se divide em dois ramos do raio e , então . Como a equação de Hagen-Poiseuille e as leis de Fick , que também foram formuladas a partir de um contexto biológico, a lei de Murray é um princípio físico básico para redes de transferência. ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r_ {1}}$ ${\ displaystyle r_ {2}}$ ${\ displaystyle r ^ {3} = r_ {1} ^ {3} + r_ {2} ^ {3}}$

A lei de Murray recebeu o nome de seu inventor Cecil D. Murray, um fisiologista do Bryn Mawr College, que publicou suas teorias em janeiro de 1926 com o título "O Princípio Fisiológico do Trabalho Mínimo, I. O Sistema Vascular e o Custo do Volume de Sangue" .

A lei de Murray também é uma ferramenta poderosa de projeto biomimético em engenharia. Ele foi aplicado no projeto de materiais de autocura , baterias , fotocatalisadores e sensores de gás . No entanto, desde a sua descoberta, pouca atenção foi dada à exploração desta lei para projetar materiais avançados, reatores e processos industriais para maximizar a transferência de massa ou energia para melhorar o desempenho do material e a eficiência do processo.

A versão original da lei de Murray é aplicável apenas ao transporte conservador de massa na rede. Existem generalizações para redes não conservativas, que descrevem efeitos como reações químicas e difusão através das paredes.

Lei de Murray nas redes conservadoras de massa

A análise original de Murray é baseada na suposição de que os raios dentro de um sistema baseado em lúmen são tais que o trabalho de transporte e manutenção é minimizado . Os vasos maiores reduzem a energia gasta para o transporte, mas aumentam o volume geral de sangue no sistema; o sangue é um fluido vivo e, portanto, requer suporte metabólico. A lei de Murray é, portanto, um exercício de otimização para equilibrar esses fatores.

Para ramos filhos que se separam de um ramo pai comum, a lei estabelece que: ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle r ^ {3} = r_ {1} ^ {3} + r_ {2} ^ {3} + r_ {3} ^ {3} + ... + r_ {n} ^ {3}}$

onde é o raio da ramificação pai e são os raios das ramificações secundárias. Esta lei só é válida para escoamento laminar , pois sua derivação utiliza a equação de Hagen-Poiseuille como medida para o trabalho de transporte (veja abaixo). Williams et al. deduziu a fórmula para fluxo turbulento : ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r_ {1}, \ ldots, r_ {n}}$

${\ displaystyle r ^ {(7/3)} = r_ {1} ^ {(7/3)} + r_ {2} ^ {(7/3)} + r_ {3} ^ {(7/3) } + ... + r_ {n} ^ {(7/3)}}$

Derivação

Como afirmado acima, a suposição subjacente da lei de Murray é que a potência ( energia por tempo ) para transporte e manutenção é mínima em um sistema de transporte natural. Portanto, procuramos minimizar onde está a energia necessária para o transporte e a energia necessária para manter o meio de transporte (por exemplo, sangue). ${\ displaystyle P = P_ {t} + P_ {m}}$ ${\ displaystyle P_ {t}}$ ${\ displaystyle P_ {m}}$

Fluxo laminar

Primeiro, minimizamos o poder de transporte e manutenção em um único canal do sistema, ou seja, ignoramos as bifurcações. Junto com a suposição de conservação de massa, isso produzirá a lei. Seja a taxa de fluxo laminar neste canal, que é considerada fixa. A potência de transporte em um fluxo laminar é , onde está a diferença de pressão entre a entrada e a saída de um tubo de raio e comprimento . A equação de Hagen-Poiseuille para fluxo laminar afirma que e , portanto , onde está a viscosidade dinâmica do fluido. Substituindo isso na equação de , obtemos ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle P_ {t} = Q \ Delta p}$ ${\ displaystyle \ Delta p}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle l}$ ${\ textstyle Q = {\ frac {\ pi \, r ^ {4}} {8 \, \ mu \, l}} \ Delta p}$ ${\ textstyle \ Delta p = {\ frac {8 \, \ mu \, l} {\ pi \, r ^ {4}}} Q}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle P_ {t}}$

{\ displaystyle P_ {t} = {\ frac {8 \, \ mu \, l} {\ pi \, r ^ {4}}} Q ^ {2}.}

Além disso, assumimos que a potência necessária para a manutenção é proporcional ao volume do cilindro :

{\ displaystyle V = \ pi \, l \, r ^ {2}}

{\ displaystyle P_ {m} = \ lambda \, V = \ lambda \, \ pi \, l \, r ^ {2}}

onde é um número constante (fator metabólico). Isso produz

{\ displaystyle \ lambda> 0}

{\ displaystyle P = P_ {t} + P_ {m} = {\ frac {8 \, \ mu \, l} {\ pi \, r ^ {4}}} Q ^ {2} + \ lambda \, \ pi \, l \, r ^ {2}.}

Uma vez que buscamos o raio com potência mínima, calculamos o ponto estacionário em relação a r

{\ displaystyle {\ operatorname {d} \ over \ operatorname {d} \! r} P = 0 \; \ Leftrightarrow \; - {\ frac {32 \, \ mu \, l} {\ pi \, r ^ {5}}} Q ^ {2} +2 \, \ lambda \, \ pi \, l \, r = 0 \; \ Leftrightarrow \; Q ^ {2} = {\ frac {\ pi ^ {2} } {16}} {\ frac {\ lambda} {\ mu}} r ^ {6} \; \ Leftarrow \; Q = {\ frac {\ pi} {4}} {\ sqrt {\ frac {\ lambda } {\ mu}}} r ^ {3}.}

Com essa relação entre a taxa de fluxo e o raio em um canal arbitrário, retornamos à bifurcação: Como a massa é conservada, a taxa de fluxo do ramo pai é a soma das taxas de fluxo nos ramos filhos . Uma vez que em cada um desses ramos o poder é minimizado, a relação acima se mantém e, portanto, conforme afirmado:

{\ displaystyle Q}

{\ displaystyle r}

{\ displaystyle Q}

{\ displaystyle Q_ {1}, \ ldots, Q_ {n}}

{\ displaystyle Q = \ sum _ {i = 1} ^ {N} Q_ {i} \; \ Rightarrow \; {\ frac {\ pi} {4}} {\ sqrt {\ frac {\ lambda} {\ mu}}} \, r ^ {3} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {\ pi} {4}} {\ sqrt {\ frac {\ lambda} {\ mu}} } \, r_ {i} ^ {3} \; \ Rightarrow \; r ^ {3} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} r_ {i} ^ {3}.}

Difusão

O poder de transporte gasto por difusão é dado por

${\ displaystyle P_ {t} = Q \, \ Delta C = \ left (\ pi \, D \, r ^ {2} {\ frac {\ Delta C} {l}} \ right) \ Delta C}$

onde a vazão é dada pela lei de Fick, que é a constante de difusividade e é a diferença de concentração entre as extremidades do cilindro. Da mesma forma que no caso do fluxo laminar, a minimização da função objetivo resulta em ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle \ Delta C}$

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta C} {l}} = {\ sqrt {\ frac {\ lambda} {D}}} \ Rightarrow Q = \ pi \, D \, r ^ {2} {\ sqrt {\ frac {\ lambda} {D}}} \ Leftrightarrow Q = k \, r ^ {2}}$

Portanto,

${\ displaystyle Q_ {p} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} Q_ {i} \ Rightarrow k \, r_ {p} ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} k \, r_ {i} ^ {2} \ Leftrightarrow r_ {p} ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} r_ {i} ^ {2}}$

A lei de Murray generalizada

No entanto, a lei especial de Murray é aplicável apenas a processos de fluxo que não envolvem variações de massa. Avanços teóricos significativos precisam ser feitos para uma aplicação mais ampla nos campos da química, materiais aplicados e reações industriais.

Redes Murray. ( Zheng, CC-BY-SA )

A lei de Murray generalizada deduzida por Zheng et al. pode ser aplicável para otimizar a transferência de massa envolvendo variações de massa e reações químicas envolvendo processos de fluxo, difusão de moléculas ou íons, etc.

Para conectar um tubo pai com raio de r ₀ a muitos tubos filhos com raio r _i , a fórmula da lei de Murray generalizada é:, onde X é a razão da variação de massa durante a transferência de massa no poro pai, o expoente α é dependente do tipo de transferência. Para fluxo laminar α = 3; para fluxo turbulento α = 7/3; para molécula ou difusão iônica α = 2; etc. ${\ displaystyle r_ {0} ^ {a} = {1 \ over 1-X} \ sum _ {i = 1} ^ {N} r_ {i} ^ {a}}$

É aplicável a uma vasta gama de materiais porosos e tem um amplo escopo em cerâmica funcional e nano-metais para aplicações energéticas e ambientais.

Materiais Murray

A lei de Murray generalizada define as características geométricas básicas para materiais porosos com propriedades de transferência ideais. A lei de Murray generalizada pode ser usada para projetar e otimizar as estruturas de uma enorme variedade de materiais porosos. Esse conceito levou a materiais, denominados materiais de Murray , cujos tamanhos de poros são multiescala e são projetados com relações de diâmetro obedecendo à lei de Murray generalizada.

Um diagrama de materiais de Murray com macro-meso-microporos construídos por nanopáticas como blocos de construção. ( Zheng, CC-BY-SA )

Como eletrodos de bateria de lítio, os materiais Murray podem reduzir as tensões nesses eletrodos durante os processos de carga / descarga, melhorando sua estabilidade estrutural e resultando em uma vida útil mais longa para dispositivos de armazenamento de energia. Este material também pode ser usado para aumentar o desempenho de um sensor de gás e um processo de fotocatálise que quebrou um corante usando a luz.

Materiais Murray em folhas e insetos. ( Zheng, CC-BY-SA )

Para alcançar a transferência de substâncias ou energia com eficiência extremamente alta, a evolução por seleção natural dotou muitas classes de organismos com materiais Murray, nos quais os tamanhos dos poros diminuem regularmente em múltiplas escalas e finalmente terminam em unidades invariantes de tamanho. Por exemplo, nos caules das plantas e nas nervuras das folhas , a soma dos raios ao cubo permanece constante em cada ponto do ramo para maximizar a condutância do fluxo, que é proporcional à taxa de fotossíntese. Para insetos que dependem da difusão de gás para respirar, a soma dos raios quadrados dos poros traqueais permanece constante ao longo da via de difusão, para maximizar a difusão dos gases. De plantas, animais e materiais a processos industriais, a introdução do conceito de material Murray para reações industriais pode revolucionar o projeto de reatores com eficiência altamente aprimorada, energia, tempo e consumo mínimo de matéria-prima para um futuro sustentável.

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