Função multiplicativa - Multiplicative function

Na teoria dos números , uma função multiplicativa é uma função aritmética f ( n ) de um inteiro positivo n com a propriedade de que f (1) = 1 e

{\ displaystyle f (ab) = f (a) f (b)}

sempre que um e b são primos entre si .

Uma função aritmética f ( n ) é dito ser completamente multiplicativa (ou totalmente multiplicativo ) se F (1) = 1 e F ( ab ) = f ( a ) f ( b ) mantém para todos os números inteiros positivos um e b , mesmo quando eles não são coprime.

Exemplos

Algumas funções multiplicativas são definidas para tornar as fórmulas mais fáceis de escrever:

1 ( n ): a função constante, definida por 1 ( n ) = 1 (completamente multiplicativa)
Id ( n ): função de identidade , definida por Id ( n ) = n (completamente multiplicativo)
Id _k ( n ): as funções de potência, definidas por Id _k ( n ) = n ^k para qualquer número complexo k (completamente multiplicativo). Como casos especiais temos
- Id ₀ ( n ) = 1 ( n ) e
- Id ₁ ( n ) = Id ( n ).
ε ( n ): a função definida por ε ( n ) = 1 se n = 1 e 0 caso contrário, às vezes chamada de unidade de multiplicação para a convolução de Dirichlet ou simplesmente a função unitária (completamente multiplicativa). Às vezes escrito como u ( n ), mas não deve ser confundido com μ ( n ).
1 _C ( n ), a função do indicador do conjunto C ⊂ Z , para certos conjuntos C . O indicador de função 1 _C ( n ) é multiplicativo precisamente quando o conjunto C tem a seguinte propriedade de quaisquer números coprimas um e b : o produto ab é em C se e apenas se os números um e b são ambos se em C . Este é o caso se C for o conjunto de quadrados, cubos ou k- ésimas potências, ou se C for o conjunto de números livres de quadrados .

Outros exemplos de funções multiplicativas incluem muitas funções importantes na teoria dos números, como:

mdc ( n , k ): o máximo divisor comum de n e k , em função de n , onde k é um número inteiro fixo.
${\ displaystyle \ varphi (n)}$ : Função totient de Euler , contando os inteiros positivos coprime para (mas não maiores que) n ${\ displaystyle \ varphi}$
μ ( n ): a função de Möbius , a paridade (−1 para ímpar, +1 para par) do número de fatores primos de números livres de quadrados ; 0 se n não for quadrado
σ _k ( n ): a função divisora , que é a soma das k -ésimas potências de todos os divisores positivos de n (onde k pode ser qualquer número complexo ). Casos especiais que temos
- σ ₀ ( n ) = d ( n ) o número de divisores positivos de n ,
- σ ₁ ( n ) = σ ( n ), a soma de todos os divisores positivos de n .
a ( n ): o número de grupos abelianos não isomórficos de ordem n .
λ ( n ): a função de Liouville , λ ( n ) = (−1) ^{Ω ( n )} onde Ω ( n ) é o número total de primos (contados com multiplicidade) dividindo n . (completamente multiplicativo).
γ ( n ), definido por γ ( n ) = (−1) ^{ω (n)} , onde a função aditiva ω ( n ) é o número de primos distintos dividindo n .
τ ( n ): a função Ramanujan tau .
Todos os caracteres de Dirichlet são funções completamente multiplicativas. Por exemplo
- ( n / p ), o símbolo de Legendre , considerado como uma função de n onde p é um número primo fixo .

Um exemplo de função não multiplicativa é a função aritmética r ₂ ( n ) - o número de representações de n como a soma dos quadrados de dois inteiros, positivo , negativo ou zero , onde na contagem do número de maneiras, reversão de pedido é permitido. Por exemplo:

1 = 1 ² + 0 ² = (−1) ² + 0 ² = 0 ² + 1 ² = 0 ² + (−1) ²

e, portanto, r ₂ (1) = 4 ≠ 1. Isso mostra que a função não é multiplicativa. No entanto, r ₂ ( n ) / 4 é multiplicativo.

Na Enciclopédia On-Line de Sequências Inteiras , as sequências de valores de uma função multiplicativa têm a palavra-chave "mult".

Veja função aritmética para alguns outros exemplos de funções não multiplicativas.

Propriedades

Uma função multiplicativa é completamente determinada por seus valores nas potências dos números primos , uma consequência do teorema fundamental da aritmética . Assim, se n é um produto de potências de primos distintos, digamos n = p ^a q ^b ..., então f ( n ) = f ( p ^a ) f ( q ^b ) ...

Esta propriedade de funções multiplicativas reduz significativamente a necessidade de computação, como nos exemplos a seguir para n = 144 = 2 ⁴ · 3 ² :

d (144) = σ ₀ (144) = σ ₀ (2 ⁴ ) σ ₀ (3 ² ) = (1 ⁰ + 2 ⁰ + 4 ⁰ + 8 ⁰ + 16 ⁰ ) (1 ⁰ + 3 ⁰ + 9 ⁰ ) = 5,3 = 15,

σ (144) = σ ₁ (144) = σ ₁ (2 ⁴ ) σ ₁ (3 ² ) = (1 ¹ + 2 ¹ + 4 ¹ + 8 ¹ + 16 ¹ ) (1 ¹ + 3 ¹ + 9 ¹ ) = 31 · 13 = 403,

σ ^* (144) = σ ^* (2 ⁴ ) σ ^* (3 ² ) = (1 ¹ + 16 ¹ ) (1 ¹ + 9 ¹ ) = 17 · 10 = 170.

Da mesma forma, temos:

{\ displaystyle \ varphi (144) = \ varphi (2 ^ {4}) \, \ varphi (3 ^ {2}) = 8 \ cdot 6 = 48}

Em geral, se f ( n ) é uma função multiplicativa e a , b são quaisquer dois inteiros positivos, então

f ( a ) · f ( b ) = f ( mdc ( a , b )) · f ( lcm ( a , b )).

Toda função completamente multiplicativa é um homomorfismo de monoides e é completamente determinada por sua restrição aos números primos.

Convolução

Se f e g são duas funções multiplicativas, define-se uma nova função multiplicativa f * g , a convolução de Dirichlet de f e g , por

{\ displaystyle (f \, * \, g) (n) = \ sum _ {d | n} f (d) \, g \ left ({\ frac {n} {d}} \ right)}

onde a soma se estende por todos os divisores positivos d de n . Com esta operação, o conjunto de todas as funções multiplicativas se transforma em um grupo abeliano ; o elemento de identidade é ε . A convolução é comutativa, associativa e distributiva sobre a adição.

As relações entre as funções multiplicativas discutidas acima incluem:

μ * 1 = ε (a fórmula de inversão de Möbius )
( μ Id _k ) * Id _k = ε (inversão de Möbius generalizada)
${\ displaystyle \ varphi}$ * 1 = Id
d = 1 * 1
σ = Id * 1 = * d ${\ displaystyle \ varphi}$
σ _k = Id _k * 1
Id = * 1 = σ * μ ${\ displaystyle \ varphi}$
Id _k = σ _k * μ

A convolução de Dirichlet pode ser definida para funções aritméticas gerais e produz uma estrutura de anel, o anel de Dirichlet .

A convolução de Dirichlet de duas funções multiplicativas é novamente multiplicativa. Uma prova desse fato é dada pela seguinte expansão para relativamente primos : ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z} ^ {+}}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} (f \ ast g) (ab) & = \ sum _ {d | ab} f (d) g \ left ({\ frac {ab} {d}} \ right) \ \ & = \ sum _ {d_ {1} | a} \ sum _ {d_ {2} | b} f (d_ {1} d_ {2}) g \ left ({\ frac {ab} {d_ {1 } d_ {2}}} \ right) \\ & = \ sum _ {d_ {1} | a} f (d_ {1}) g \ left ({\ frac {a} {d_ {1}}} \ direita) \ times \ sum _ {d_ {2} | b} f (d_ {2}) g \ left ({\ frac {b} {d_ {2}}} \ right) \\ & = (f \ ast g) (a) \ cdot (f \ ast g) (b). \ end {alinhado}}}

Série de Dirichlet para algumas funções multiplicativas

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {1} {\ zeta (s)}}}$
${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ varphi (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)} }}$
${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {d (n) ^ {2}} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s) ^ {4}} {\ zeta (2s)}}}$
${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {2 ^ {\ omega (n)}} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s) ^ {2}} { \ zeta (2s)}}}$

Mais exemplos são mostrados no artigo da série Dirichlet .

Função multiplicativa sobre $F q [X]$

Seja $A = F q [X]$ , o anel polinomial sobre o corpo finito com q elementos. A é um domínio ideal principal e, portanto, A é um domínio de fatoração único .

A função de valor complexo em A é chamado multiplicativo se sempre que f e g são relativamente primos . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda (fg) = \ lambda (f) \ lambda (g)}$

Função Zeta e série de Dirichlet em $F q [X]$

Seja h uma função aritmética polinomial (ou seja, uma função no conjunto de polinômios mônicos sobre A ). Sua série Dirichlet correspondente é definida como

{\ displaystyle D_ {h} (s) = \ sum _ {f {\ text {monic}}} h (f) | f | ^ {- s},}

onde para definir se e de outra forma. ${\ displaystyle g \ in A,}$ ${\ displaystyle | g | = q ^ {\ deg (g)}}$ ${\ displaystyle g \ neq 0,}$ ${\ displaystyle | g | = 0}$

A função zeta polinomial é então

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = \ sum _ {f {\ text {monic}}} | f | ^ {- s}.}

Semelhante à situação em $N$ , cada série de Dirichlet de uma função multiplicativa h tem uma representação de produto (produto de Euler):

{\ displaystyle D_ {h} (s) = \ prod _ {P} \ left (\ sum _ {n \ mathop {=} 0} ^ {\ infty} h (P ^ {n}) | P | ^ { -sn} \ right),}

onde o produto corre sobre toda polinómios irredutíveis mônico P . Por exemplo, a representação do produto da função zeta é a mesma para os inteiros:

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = \ prod _ {P} (1- | P | ^ {- s}) ^ {- 1}.}

Ao contrário da função zeta clássica , é uma função racional simples: ${\ displaystyle \ zeta _ {A} (s)}$

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = \ sum _ {f} | f | ^ {- s} = \ sum _ {n} \ sum _ {\ deg (f) = n} q ^ {- sn} = \ sum _ {n} (q ^ {n-sn}) = (1-q ^ {1-s}) ^ {- 1}.}

De forma semelhante, se f e g são duas funções aritméticas polinomiais, define-se f * g , a convolução de Dirichlet de f e g , por

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} (f * g) (m) & = \ sum _ {d \ mid m} f (d) g \ left ({\ frac {m} {d}} \ right) \ \ & = \ sum _ {ab = m} f (a) g (b), \ end {alinhado}}}

onde a soma é sobre todos os divisores mônicos d de m , ou equivalentemente sobre todos os pares ( a , b ) de polinômios mônicos cujo produto é m . A identidade ainda se mantém. ${\ displaystyle D_ {h} D_ {g} = D_ {h * g}}$

Veja também

Referências

Veja o capítulo 2 de Apostol, Tom M. (1976), Introdução à teoria analítica dos números , Textos de Graduação em Matemática, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0335.10001

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Convolução

Série de Dirichlet para algumas funções multiplicativas

Função multiplicativa sobre $F q [X]$

Função Zeta e série de Dirichlet em $F q [X]$

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Função multiplicativa sobre F q [ X ]

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