Função divisor - Divisor function
Em matemática , e especificamente na teoria dos números , uma função divisora é uma função aritmética relacionada aos divisores de um inteiro . Quando referido como a função de divisor, que conta o número de divisores de um número inteiro (incluindo 1 e o próprio número). Ele aparece em várias identidades notáveis, incluindo relacionamentos na função zeta de Riemann e na série de formas modulares de Eisenstein . As funções do divisor foram estudadas por Ramanujan , que forneceu várias congruências e identidades importantes ; estes são tratados separadamente na soma do artigo de Ramanujan .
Uma função relacionada é a função somativa do divisor , que, como o nome indica, é uma soma sobre a função do divisor.
Definição
A soma da função de divisores positivos σ x ( n ), para um número real ou complexo x , é definida como a soma das x ésimas potências dos divisores positivos de n . Pode ser expresso em notação sigma como
onde é uma forma abreviada de " d divide n ". As notações d ( n ), ν ( n ) e τ ( n ) (para o alemão Teiler = divisors ) também são usadas para denotar σ 0 ( n ), ou a função de número de divisores ( OEIS : A000005 ). Quando x é 1, a função é chamada de função sigma ou função de soma de divisores , e o subscrito é frequentemente omitido, então σ ( n ) é o mesmo que σ 1 ( n ) ( OEIS : A000203 ).
A soma da alíquota s ( n ) de n é a soma dos divisores apropriados (ou seja, os divisores excluindo o próprio n , OEIS : A001065 ) e é igual a σ 1 ( n ) - n ; a sequência da alíquota de n é formada aplicando repetidamente a função de soma da alíquota.
Exemplo
Por exemplo, σ 0 (12) é o número dos divisores de 12:
enquanto σ 1 (12) é a soma de todos os divisores:
e a soma da alíquota s (12) dos divisores adequados é:
Tabela de valores
Os casos x = 2 a 5 estão listados em OEIS : A001157 - OEIS : A001160 , x = 6 a 24 estão listados em OEIS : A013954 - OEIS : A013972 .
n | fatoração | 𝜎 0 ( n ) | 𝜎 1 ( n ) | 𝜎 2 ( n ) | 𝜎 3 ( n ) | 𝜎 4 ( n ) |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 2 | 2 | 3 | 5 | 9 | 17 |
3 | 3 | 2 | 4 | 10 | 28 | 82 |
4 | 2 2 | 3 | 7 | 21 | 73 | 273 |
5 | 5 | 2 | 6 | 26 | 126 | 626 |
6 | 2 × 3 | 4 | 12 | 50 | 252 | 1394 |
7 | 7 | 2 | 8 | 50 | 344 | 2402 |
8 | 2 3 | 4 | 15 | 85 | 585 | 4369 |
9 | 3 2 | 3 | 13 | 91 | 757 | 6643 |
10 | 2 × 5 | 4 | 18 | 130 | 1134 | 10642 |
11 | 11 | 2 | 12 | 122 | 1332 | 14642 |
12 | 2 2 × 3 | 6 | 28 | 210 | 2044 | 22386 |
13 | 13 | 2 | 14 | 170 | 2198 | 28562 |
14 | 2 × 7 | 4 | 24 | 250 | 3096 | 40834 |
15 | 3 × 5 | 4 | 24 | 260 | 3528 | 51332 |
16 | 2 4 | 5 | 31 | 341 | 4681 | 69905 |
17 | 17 | 2 | 18 | 290 | 4914 | 83522 |
18 | 2 × 3 2 | 6 | 39 | 455 | 6813 | 112931 |
19 | 19 | 2 | 20 | 362 | 6860 | 130322 |
20 | 2 2 × 5 | 6 | 42 | 546 | 9198 | 170898 |
21 | 3 × 7 | 4 | 32 | 500 | 9632 | 196964 |
22 | 2 × 11 | 4 | 36 | 610 | 11988 | 248914 |
23 | 23 | 2 | 24 | 530 | 12168 | 279842 |
24 | 2 3 × 3 | 8 | 60 | 850 | 16380 | 358258 |
25 | 5 2 | 3 | 31 | 651 | 15751 | 391251 |
26 | 2 × 13 | 4 | 42 | 850 | 19782 | 485554 |
27 | 3 3 | 4 | 40 | 820 | 20440 | 538084 |
28 | 2 2 × 7 | 6 | 56 | 1050 | 25112 | 655746 |
29 | 29 | 2 | 30 | 842 | 24390 | 707282 |
30 | 2 × 3 × 5 | 8 | 72 | 1300 | 31752 | 872644 |
31 | 31 | 2 | 32 | 962 | 29792 | 923522 |
32 | 2 5 | 6 | 63 | 1365 | 37449 | 1118481 |
33 | 3 × 11 | 4 | 48 | 1220 | 37296 | 1200644 |
34 | 2 × 17 | 4 | 54 | 1450 | 44226 | 1419874 |
35 | 5 × 7 | 4 | 48 | 1300 | 43344 | 1503652 |
36 | 2 2 × 3 2 | 9 | 91 | 1911 | 55261 | 1813539 |
37 | 37 | 2 | 38 | 1370 | 50654 | 1874162 |
38 | 2 × 19 | 4 | 60 | 1810 | 61740 | 2215474 |
39 | 3 × 13 | 4 | 56 | 1700 | 61544 | 2342084 |
40 | 2 3 × 5 | 8 | 90 | 2210 | 73710 | 2734994 |
41 | 41 | 2 | 42 | 1682 | 68922 | 2825762 |
42 | 2 × 3 × 7 | 8 | 96 | 2500 | 86688 | 3348388 |
43 | 43 | 2 | 44 | 1850 | 79508 | 3418802 |
44 | 2 2 × 11 | 6 | 84 | 2562 | 97236 | 3997266 |
45 | 3 2 × 5 | 6 | 78 | 2366 | 95382 | 4158518 |
46 | 2 × 23 | 4 | 72 | 2650 | 109512 | 4757314 |
47 | 47 | 2 | 48 | 2210 | 103824 | 4879682 |
48 | 2 4 × 3 | 10 | 124 | 3410 | 131068 | 5732210 |
49 | 7 2 | 3 | 57 | 2451 | 117993 | 5767203 |
50 | 2 × 5 2 | 6 | 93 | 3255 | 141759 | 6651267 |
Propriedades
Fórmulas em potências primárias
Para um número primo p ,
porque, por definição, os fatores de um número primo são 1 e ele mesmo. Além disso, onde p n # denota o primorial ,
uma vez que n fatores primos permitem uma seqüência de seleção binária ( ou 1) de n termos para cada divisor adequado formado.
Claramente, para todos e para todos , .
A função divisora é multiplicativa , mas não completamente multiplicativa :
A consequência disso é que, se escrevermos
onde r = ω ( n ) é o número de fatores primos distintos de n , p i é o i ésimo fator primo e a i é a potência máxima de p i pela qual n é divisível , então temos:
que, quando x ≠ 0, é equivalente à fórmula útil:
Quando x = 0, d ( n ) é:
Por exemplo, se n for 24, há dois fatores primos ( p 1 é 2; p 2 é 3); observando que 24 é o produto de 2 3 × 3 1 , a 1 é 3 e a 2 é 1. Assim, podemos calcular da seguinte forma:
Os oito divisores contados por esta fórmula são 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 e 24.
Outras propriedades e identidades
Euler provou a notável recorrência:
onde definimos se ocorre e para são os números pentagonais . Na verdade, Euler provou isso por diferenciação logarítmica da identidade em seu teorema dos números pentagonais .
Para um número inteiro não quadrado, n , todo divisor, d , de n é pareado com o divisor n / d de n e é par; para um inteiro quadrado, um divisor (a saber ) não está emparelhado com um divisor distinto e é ímpar. Da mesma forma, o número é ímpar se e somente se n for um quadrado ou duas vezes um quadrado.
Notamos também s ( n ) = σ ( n ) - n . Aqui s ( n ) denota a soma dos divisores próprios de n , ou seja, os divisores de n excluindo o próprio n . Esta função é usada para reconhecer números perfeitos que são n para os quais s ( n ) = n . Se s ( n )> n então n é um número abundante e se s ( n ) < n então n é um número deficiente .
Se n é uma potência de 2, por exemplo, , em seguida, e s (n) = n - 1 , o que faz com que n quase perfeita .
Por exemplo, para dois primos distintos p e q com p <q , deixe
Então
e
onde está a função totiente de Euler .
Então, as raízes de:
nos permitem expressar p e q em termos de σ ( n ) e φ ( n ) apenas, sem mesmo saber n ou p + q , como:
Além disso, conhecer n e quer ou (ou sabendo p + q e quer ou ) nos permite encontrar facilmente p e q .
Em 1984, Roger Heath-Brown provou que a igualdade
é verdadeiro para uma infinidade de valores de n, consulte OEIS : A005237 .
Relações de série
Duas séries de Dirichlet envolvendo a função divisora são:
que para d ( n ) = σ 0 ( n ) dá:
e uma identidade Ramanujan
que é um caso especial da convolução de Rankin-Selberg .
Uma série de Lambert envolvendo a função divisora é:
para complexo arbitrário | q | ≤ 1 e a . Este somatório também aparece como a série Fourier da série Eisenstein e os invariantes das funções elípticas de Weierstrass .
Pois , há uma representação de série explícita com somas Ramanujan como:
O cálculo dos primeiros termos de mostra suas oscilações em torno do "valor médio" :
Taxa de crescimento
Em notação pouco , a função divisora satisfaz a desigualdade:
Mais precisamente, Severin Wigert mostrou que:
Por outro lado, uma vez que existem infinitos números primos ,
Na notação Big-O , Peter Gustav Lejeune Dirichlet mostrou que a ordem média da função divisora satisfaz a seguinte desigualdade:
onde está a constante gama de Euler . Melhorar o limite nesta fórmula é conhecido como problema do divisor de Dirichlet .
O comportamento da função sigma é irregular. A taxa de crescimento assintótico da função sigma pode ser expressa por:
onde lim sup é o limite superior . Este resultado é o teorema de Grönwall , publicado em 1913 ( Grönwall 1913 ). Sua prova usa o terceiro teorema de Mertens , que diz que:
onde p denota um primo.
Em 1915, Ramanujan provou que, partindo da hipótese de Riemann , a desigualdade:
- (Desigualdade de Robin)
vale para todos os n suficientemente grandes ( Ramanujan 1997 ). O maior valor conhecido que viola a desigualdade é n = 5040 . Em 1984, Guy Robin provou que a desigualdade é verdadeira para todos n > 5040 se e somente se a hipótese de Riemann for verdadeira ( Robin 1984 ). Este é o teorema de Robin e a desigualdade tornou-se conhecida depois dele. Robin, além disso, mostrou que se a hipótese de Riemann for falsa, então há um número infinito de valores de n que violam a desigualdade, e é sabido que o menor desses n > 5040 deve ser superabundante ( Akbary & Friggstad 2009 ). Foi demonstrado que a desigualdade é válida para inteiros ímpares e quadrados livres grandes, e que a hipótese de Riemann é equivalente à desigualdade apenas para n divisível pela quinta potência de um primo ( Choie et al. 2007 ).
Robin também provou, incondicionalmente, que a desigualdade:
vale para todo n ≥ 3.
Um limite relacionado foi dado por Jeffrey Lagarias em 2002, que provou que a hipótese de Riemann é equivalente à afirmação de que:
para cada número natural n > 1, onde é o n º número harmônica , ( Lagarias 2002 ).
Veja também
- Convoluções da soma do divisor, lista algumas identidades envolvendo as funções do divisor
- Função totiente de Euler, função phi de Euler
- Número refatorável
- Tabela de divisores
- Divisor unitário
Notas
Referências
- Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), "Números superabundantes e a hipótese de Riemann" (PDF) , American Mathematical Monthly , 116 (3): 273–275, doi : 10.4169 / 193009709X470128 , arquivado do original (PDF) em 2014-04- 11.
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links externos
- Weisstein, Eric W. "Divisor Function" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Robin" . MathWorld .
- Avaliação elementar de certas somas de convolução envolvendo funções do divisor PDF de um artigo de Huard, Ou, Spearman e Williams. Contém provas elementares (ou seja, não contando com a teoria das formas modulares) das convoluções da soma dos divisores, fórmulas para o número de maneiras de representar um número como uma soma de números triangulares e resultados relacionados.