Modos de convergência (índice anotado) - Modes of convergence (annotated index)

O objetivo deste artigo é o de servir como um anotada índice de vários modos de convergência e suas relações lógicas. Para um artigo expositiva, consulte Modos de convergência . Relações lógicas simples entre diferentes modos de convergência são indicados (por exemplo, se um implica o outro), formulaically em vez de em prosa para referência rápida, e as descrições e discussões em profundidade são reservados para seus respectivos artigos.

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Guia para este índice. Para evitar verbiagem excessiva, notar que cada um dos seguintes tipos de objectos é um caso especial de tipos que o precede: conjuntos , espaços topológicos , espaços uniformes , grupos topológicos abelianos (TAG), o espaço normado , espaços Euclidiana , e o verdadeiro / complexo números. Observe também que qualquer espaço métrico é um espaço uniforme. Finalmente, subtítulos sempre indicará casos especiais de seus superheadings.

A seguir está uma lista de modos de convergência para:

Uma sequência de elementos { um _n } em um espaço topológico ( Y )

• Convergência , ou "convergência topológica" para dar ênfase (ou seja, a existência de um limite).

... em um espaço uniforme ( U )

• Cauchy-convergência

Implicações:

  - Convergência Cauchy-convergência ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

  - Cauchy-convergência e convergência de uma subsequência juntos convergência. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

  -   U é chamado de "completa" se Cauchy-convergência (para redes) de convergência. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

Nota: Uma seqüência exibindo Cauchy-convergência é chamado de seqüência cauchy para enfatizar que não pode ser convergente.

Uma série de elementos Σ b _k numa etiqueta ( L )

• Convergência (de sequência soma parcial)
• Cauchy-convergência (de sequência soma parcial)
• convergência incondicional

Implicações:

  - convergência incondicional convergência (por definição). ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

... em um espaço normal ( N )

• Absolute-convergência (convergência de)${\ Displaystyle \ sum | b_ {k} |}$

Implicações:

  - Absolute-convergência de Cauchy-convergência absoluta convergência de algum agrupamento ¹ . ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

  - Portanto: N é Banach (completa) se absoluto-convergência convergência. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

  - Absolute-convergência e convergência juntos convergência incondicional. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

  - convergência incondicional absoluta convergência, mesmo que N é Banach. ${\ Displaystyle \ não \ Rightarrow}$

  - Se N é um espaço euclidiano, então convergência incondicional absoluta convergência. ${\ Displaystyle \ equiv}$

¹ Nota: "agrupamento" refere-se a uma série resultante do agrupamento de (mas não reordenação) termos da série original. Um agrupamento de uma série corresponde assim a uma subsequência de suas somas parciais.

Uma sequência de funções { f _n } a partir de um conjunto ( S ) para um espaço topológico ( Y )

• convergência pontual

... a partir de um conjunto ( S ) para um espaço uniforme ( U )

• convergência uniforme
• Pointwise Cauchy-convergência
• Uniforme Cauchy-convergência

Implicações são casos dos anteriores, com excepção:

  - Convergência uniforme tanto convergência pontual e uniforme Cauchy-convergência. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

  - Uniforme Cauchy-convergência e convergência pontual de uma subsequência convergência uniforme. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

... de um espaço topológico ( X ) a um espaço uniforme ( U )

Para muitos modos "globais" de convergência, existem correspondentes noções de um ) "local" e b ) convergência "compacto", que são dadas, exigindo convergência de ocorrer um ) em algum bairro de cada ponto, ou b ) em todos os compactos subconjuntos de X . Exemplos:

• Convergência uniforme local (ou seja, convergência uniforme em uma vizinhança de cada ponto)
• Compacto (uniforme) convergência (isto é, a convergência uniforme em todos os subconjuntos compactos)
• outros exemplos deste padrão abaixo.

Implicações:

  - "global" modos de convergência implica os correspondentes "locais" e modos "compactos" de convergência. Por exemplo:

      Convergência uniforme tanto convergência uniforme local e convergência compacto (uniforme). ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

  - modos de "local" de convergência tendem a implicar modos "compactos" de convergência. Por exemplo,

      Convergência uniforme local compacto (uniforme) de convergência. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

  - Se é localmente compacto, as converses para tais tendem a manter: ${\ Displaystyle X}$

      Convergência uniforme local compacto (uniforme) de convergência. ${\ Displaystyle \ equiv}$

... a partir de um espaço de medida (S, μ) para os números complexos (C)

• Quase em toda parte convergência
• convergência quase uniforme
• L ^p convergência
• Convergência na medida
• Convergência em distribuição

Implicações:

  - Convergência pontual em quase toda parte convergência. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

  - Convergência uniforme convergência quase uniforme. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

  - Quase todos os lugares convergência convergência na medida. (Em um espaço medida finita) ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

  - convergência Quase uniforme convergência na medida. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

  - L ^p convergência convergência na medida. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

  - Convergência na medida convergência na distribuição se μ é uma medida de probabilidade e as funções são integráveis. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

Uma série de funções Σ g _{de k} a partir de um conjunto ( S ) para uma TAG ( L )

• Pointwise convergência (de sequência soma parcial)
• Convergência uniforme (de sequência soma parcial)
• Pontual de Cauchy-convergência (de sequência soma parcial)
• Uniforme de Cauchy-convergência (de sequência soma parcial)
• convergência pontual incondicional
• convergência uniforme incondicional

Implicações são todos os casos dos anteriores.

... a partir de um conjunto ( S ) para um espaço normal ( N )

Geralmente, substituindo "convergência" por "absoluta convergência" significa um está se referindo a convergência da série de funções não negativas no lugar de . ${\ Displaystyle \ Sigma | g_ {k} |}$${\ Displaystyle \ Sigma g_ {k}}$

• Pointwise absoluta convergência (convergência pontual de )${\ Displaystyle \ Sigma | g_ {k} |}$
• Uniforme absoluto-convergência (convergência uniforme de)${\ Displaystyle \ Sigma | g_ {k} |}$
• Convergência normal (convergência da série de normas uniformes )${\ Displaystyle \ Sigma || g_ {k} || _ {u}}$

Implicações são casos dos anteriores, com excepção:

  - Normal convergência uniforme absoluta convergência ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

... de um espaço topológico ( X ) a um TAG ( G )

• Convergência uniforme local (sequência de soma parcial)
• Compacto (uniforme) convergência (de sequência soma parcial)

Implicações são todos os casos dos anteriores.

... a partir de um espaço topológico ( X ) a um espaço normal ( N )

• uniforme local absoluta convergência
• Compacto (uniforme) absoluto-convergência
• convergência normal de local
• convergência normais Compact

Implicações (principalmente casos dos anteriores):

  - Uniforme absoluta convergência tanto uniforme absoluta convergência local e compacto (uniforme) absoluta convergência. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

      Convergência normal tanto convergência normais local e convergência normais compacto. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

  - local de convergência normais uniforme locais absoluta convergência. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

      Compacto normal de convergência compacto (uniforme) absoluto-convergência. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

  - uniforme local absoluta convergência compacto (uniforme) absoluta convergência. ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

      Convergência normais local convergência normal, compacto ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

  - Se X é localmente compacto:

      Uniforme local absoluta convergência compacto (uniforme) absoluta convergência. ${\ Displaystyle \ equiv}$

      Convergência normais local convergência normal, compacto ${\ Displaystyle \ equiv}$

Veja também

• Limite de uma sequência
• Convergência das medidas
• Convergência de variáveis aleatórias :
  • na distribuição
  • em probabilidade
  • quase certo
  • certo
  • em média