Fator de Lorentz - Lorentz factor

O fator de Lorentz ou termo de Lorentz é uma quantidade que expressa o quanto as medidas de tempo, comprimento e outras propriedades físicas mudam para um objeto enquanto esse objeto está se movendo. A expressão aparece em várias equações da relatividade especial e surge nas derivações das transformações de Lorentz . O nome se origina de seu aparecimento anterior na eletrodinâmica Lorentziana - em homenagem ao físico holandês Hendrik Lorentz .

Geralmente é denotado γ (a letra grega minúscula gama ). Às vezes (especialmente na discussão do movimento superluminal ) o fator é escrito como Γ (grego maiúsculo-gama) em vez de γ .

Definição

O fator de Lorentz γ é definido como

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}}$,

Onde:

• v é a velocidade relativa entre os referenciais inerciais,
• c é a velocidade da luz no vácuo ,
• β é a razão de v para c ,
• t é coordenar o tempo ,
• τ é o tempo adequado para um observador (medindo intervalos de tempo no próprio referencial do observador).

Este é o formulário usado com mais frequência na prática, embora não seja o único (veja abaixo os formulários alternativos).

Para complementar a definição, alguns autores definem a recíproca

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ ={\sqrt {1-{\beta }^{2}}};}$

veja a fórmula de adição de velocidade .

Ocorrência

A seguir está uma lista de fórmulas da relatividade especial que usam γ como uma abreviação:

• A transformação de Lorentz : o caso mais simples é um aumento na direção x (formas mais gerais, incluindo direções arbitrárias e rotações não listadas aqui), que descreve como as coordenadas do espaço-tempo mudam de um quadro inercial usando as coordenadas ( x , y , z , t ) para outro ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) com velocidade relativa v :
  $${\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right),}$$

  
  $${\displaystyle x'=\gamma \left(x-vt\right).}$$

  

Corolários das transformações acima são os resultados:

• Dilatação do tempo : O tempo (∆ t ′ ) entre dois tiques, medido no quadro em que o relógio está se movendo, é maior do que o tempo (∆ t ) entre esses tiques medido no quadro restante do relógio:
  $${\displaystyle \Delta t'=\gamma \Delta t.}$$

  
• Contração de comprimento : O comprimento (∆ x ′ ) de um objeto, medido no quadro em que está se movendo, é mais curto do que seu comprimento (∆ x ) em seu próprio quadro de repouso:
  $${\displaystyle \Delta x'=\Delta x/\gamma .}$$

  

A aplicação da conservação de momento e energia leva a estes resultados:

• Massa relativística : A massa m de um objeto em movimento é dependentee a massa de repouso m ₀ :${\displaystyle \gamma }$
  $${\displaystyle m=\gamma m_{0}.}$$

  
• Momento relativístico : Arelação do momento relativísticoassume a mesma forma que para o momento clássico, mas usando a massa relativística acima:
  $${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}.}$$

  
• Energia cinética relativística : Arelação de energia cinética relativísticaassume a forma ligeiramente modificada:
  $${\displaystyle E_{k}=E-E_{0}=(\gamma -1)m_{0}c^{2}}$$

  
  Como é uma função de , o limite não relativístico dá , como esperado das considerações newtonianas.${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\tfrac {v}{c}}}$${\textstyle \lim _{c\to \infty }E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$

Valores numéricos

Fator de Lorentz γ em função da velocidade. Seu valor inicial é 1 (quando v = 0); e conforme a velocidade se aproxima, a velocidade da luz ( v → c ) γ aumenta sem limite ( γ → ∞).

α (fator de Lorentz inverso) em função da velocidade - um arco circular.

Na tabela abaixo, a coluna da esquerda mostra as velocidades como diferentes frações da velocidade da luz (ou seja, em unidades de c ). A coluna do meio mostra o fator de Lorentz correspondente, o final é o recíproco. Os valores em negrito são exatos.

Velocidade (unidades de c), ${\displaystyle \beta =v/c}$	Fator de Lorentz, ${\displaystyle \gamma }$	Recíproca, ${\displaystyle 1/\gamma }$
0,000	1,000	1,000
0,050	1.001	0,999
0,100	1,005	0,995
0,150	1.011	0,989
0,200	1.021	0,980
0,250	1.033	0,968
0,300	1.048	0,954
0,400	1.091	0,917
0,500	1,155	0,866
0,600	1.250	0,800
0,700	1.400	0,714
0,750	1.512	0,661
0,800	1.667	0,600
0,866	2.000	0,500
0,900	2.294	0,436
0,990	7.089	0,141
0,999	22.366	0,045
0,99995	100,00	0,010

Representações alternativas

Existem outras maneiras de escrever o fator. Acima, a velocidade v foi usada, mas variáveis ​​relacionadas como momentum e rapidez também podem ser convenientes.

Momentum

Resolver a equação do momento relativístico anterior para γ leva a

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}}$.

Essa forma raramente é usada, embora apareça na distribuição Maxwell-Jüttner .

Rapidez

Aplicando a definição de rapidez como o ângulo hiperbólico : ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \tanh \varphi =\beta }$

também leva a γ (pelo uso de identidades hiperbólicas ):

${\displaystyle \gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}$

Usando a propriedade da transformação de Lorentz , pode-se mostrar que a rapidez é aditiva, uma propriedade útil que a velocidade não possui. Assim, o parâmetro de rapidez forma um grupo de um parâmetro , uma base para modelos físicos.

Expansão em série (velocidade)

O fator Lorentz tem a série Maclaurin :

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+{\tfrac {63}{256}}\beta ^{10}+\cdots ,\\\end{aligned}}}$

que é um caso especial de uma série binomial .

A aproximação γ ≈ 1 +1/2 β ² pode ser usado para calcular efeitos relativísticos em baixas velocidades. Ele se mantém dentro de 1% de erro para v <0,4 c ( v <120.000 km / s), e dentro de 0,1% de erro para v <0,22  c ( v <66.000 km / s).

As versões truncadas dessa série também permitem que os físicos provem que a relatividade especial se reduz à mecânica newtoniana em baixas velocidades. Por exemplo, na relatividade especial, as duas equações a seguir são válidas:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {p}}&=\gamma m{\vec {v}},\\E&=\gamma mc^{2}.\end{aligned}}}$

Para γ ≈ 1 e γ ≈ 1 +1/2 β ² , respectivamente, estes reduzem aos seus equivalentes newtonianos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=m\mathbf {v} ,\\E&=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}.\end{aligned}}}$

A equação do fator de Lorentz também pode ser invertida para render

${\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}.}$

Isso tem uma forma assintótica

${\displaystyle \beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots }$.

Os primeiros dois termos são usados ​​ocasionalmente para calcular rapidamente as velocidades a partir de grandes valores de γ . A aproximação β ≈ 1 -1/2 γ ⁻² mantém-se dentro da tolerância de 1% para γ > 2, e dentro da tolerância de 0,1% para γ > 3,5.

Aplicações em astronomia

O modelo padrão de explosões de raios gama de longa duração (GRBs) afirma que essas explosões são ultrarrelativísticas (inicial maior que aproximadamente 100), o que é invocado para explicar o chamado problema de "compactação": ausente esta expansão ultrarrelativística , o material ejetado seria opticamente espesso para emparelhar a produção em energias espectrais de pico típicas de alguns 100 keV, enquanto a emissão imediata é observada como não térmica. ${\displaystyle \gamma }$

As partículas subatômicas chamadas múons viajam a uma velocidade tal que têm um fator de Lorentz relativamente alto e, portanto, experimentam uma dilatação extrema do tempo . Por exemplo, múons geralmente têm uma vida útil média de cerca de2,2 μs, que significa múons gerados a partir de colisões de raios cósmicos a cerca de 10 km na atmosfera, deveriam ser não detectáveis ​​no solo devido à sua taxa de decaimento. No entanto, foi descoberto que ~ 10% dos múons ainda são detectados na superfície, provando assim que, para serem detectáveis, suas taxas de decaimento diminuíram em relação ao nosso referencial inercial.

Veja também

• Quadro de referência inercial
• Pseudorapidez
• Velocidade adequada

Referências

links externos

• Merrifield, Michael. "γ - Fator de Lorentz (e dilatação do tempo)" . Sessenta símbolos . Brady Haran para a Universidade de Nottingham .
• Merrifield, Michael. "γ2 - Gamma Reloaded" . Sessenta símbolos . Brady Haran para a Universidade de Nottingham .