Distribuição log-logística - Log-logistic distribution

Logística

Função densidade de probabilidade ${\ displaystyle \ alpha = 1,}$ valores de como mostrado na legenda ${\ displaystyle \ beta}$
Função de distribuição cumulativa ${\ displaystyle \ alpha = 1,}$ valores de como mostrado na legenda ${\ displaystyle \ beta}$
Parâmetros	${\ displaystyle \ alpha> 0}$ forma de escala ${\ displaystyle \ beta> 0}$
Apoiar	${\ displaystyle x \ in [0, \ infty)}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {(\ beta / \ alpha) (x / \ alpha) ^ {\ beta -1}} {\ left (1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta} \ right) ^ { 2}}}}$
CDF	${\ displaystyle {1 \ over 1+ (x / \ alpha) ^ {- \ beta}}}$
Mau	${\ displaystyle {\ alpha \, \ pi / \ beta \ over \ sin (\ pi / \ beta)}}$ se , senão indefinido ${\ displaystyle \ beta> 1}$
Mediana	${\ displaystyle \ alpha \,}$
Modo	${\ displaystyle \ alpha \ left ({\ frac {\ beta -1} {\ beta +1}} \ right) ^ {1 / \ beta}}$ se , 0 caso contrário ${\ displaystyle \ beta> 1}$
Variância	Veja o texto principal
MGF	${\ displaystyle \ beta \ alpha ^ {- \ beta} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {tx} x ^ {\ beta -1}} {(1+ (x / \ alfa) ^ {\ beta}) ^ {2}}} dx}$${\ displaystyle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(\ alpha t) ^ {n}} {n!}} \ mathrm {B} (1 + {\ frac {n} {\ beta}}, 1 - {\ frac {n} {\ beta}})}$ onde está a função Beta . ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$
CF	${\ displaystyle \ beta \ alpha ^ {- \ beta} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {itx} x ^ {\ beta -1}} {(1+ (x / \ alfa) ^ {\ beta}) ^ {2}}} dx}$${\ displaystyle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(i \ alpha t) ^ {n}} {n!}} \ mathrm {B} (1 + {\ frac {n } {\ beta}}, 1 - {\ frac {n} {\ beta}})}$ onde está a função Beta . ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$

Em probabilidade e estatística , a distribuição log-logística (conhecida como distribuição Fisk em economia ) é uma distribuição de probabilidade contínua para uma variável aleatória não negativa . É utilizado na análise de sobrevida como modelo paramétrico para eventos cuja taxa aumenta inicialmente e diminui posteriormente, como, por exemplo, taxa de mortalidade por câncer após diagnóstico ou tratamento. Também tem sido usado na hidrologia para modelar o fluxo e precipitação dos rios , na economia como um modelo simples de distribuição de riqueza ou renda e em redes para modelar os tempos de transmissão de dados considerando tanto a rede quanto o software.

A distribuição log-logística é a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória cujo logaritmo tem uma distribuição logística . É semelhante em formato à distribuição log-normal, mas tem caudas mais pesadas . Ao contrário do log-normal, sua função de distribuição cumulativa pode ser escrita de forma fechada .

Caracterização

Existem várias parametrizações diferentes da distribuição em uso. O mostrado aqui fornece parâmetros razoavelmente interpretáveis ​​e uma forma simples para a função de distribuição cumulativa . O parâmetro é um parâmetro de escala e também é a mediana da distribuição. O parâmetro é um parâmetro de forma . A distribuição é unimodal quando e sua dispersão diminui à medida que aumenta. ${\ displaystyle \ alpha> 0}$${\ displaystyle \ beta> 0}$${\ displaystyle \ beta> 1}$${\ displaystyle \ beta}$

A função de distribuição cumulativa é

${\ displaystyle {\ begin {align} F (x; \ alpha, \ beta) & = {1 \ over 1+ (x / \ alpha) ^ {- \ beta}} \\ [5pt] & = {(x / \ alpha) ^ {\ beta} \ over 1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta}} \\ [5pt] & = {x ^ {\ beta} \ over \ alpha ^ {\ beta} + x ^ {\ beta}} \ end {alinhado}}}$

onde , , ${\ displaystyle x> 0}$${\ displaystyle \ alpha> 0}$${\ displaystyle \ beta> 0.}$

A função de densidade de probabilidade é

${\ displaystyle f (x; \ alpha, \ beta) = {\ frac {(\ beta / \ alpha) (x / \ alpha) ^ {\ beta -1}} {\ left (1+ (x / \ alpha ) ^ {\ beta} \ right) ^ {2}}}}$

Parametrização alternativa

Uma parametrização alternativa é dada pelo par em analogia com a distribuição logística: ${\ displaystyle \ mu, s}$

${\ displaystyle \ mu = \ ln (\ alpha)}$

${\ displaystyle s = 1 / \ beta}$

Propriedades

Momentos

O primeiro momento bruto existe apenas quando é dado por ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k <\ beta,}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {E} (X ^ {k}) & = \ alpha ^ {k} \ operatorname {B} (1-k / \ beta, 1 + k / \ beta) \ \ [5pt] & = \ alpha ^ {k} \, {k \ pi / \ beta \ over \ sin (k \ pi / \ beta)} \ end {alinhado}}}$

onde B é a função beta . Expressões para a média , variância , assimetria e curtose podem ser derivadas disso. Escrevendo por conveniência, o meio é ${\ displaystyle b = \ pi / \ beta}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ alpha b / \ sin b, \ quad \ beta> 1,}$

e a variação é

${\ displaystyle \ operatorname {Var} (X) = \ alpha ^ {2} \ left (2b / \ sin 2b-b ^ {2} / \ sin ^ {2} b \ right), \ quad \ beta> 2 .}$

As expressões explícitas para a assimetria e curtose são longas. Como tende para o infinito, a média tende para , a variância e a assimetria tendem a zero e o excesso de curtose tende a 6/5 (ver também distribuições relacionadas abaixo). ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ alpha}$

Quantil

A função quantil (função de distribuição cumulativa inversa) é:

${\ displaystyle F ^ {- 1} (p; \ alpha, \ beta) = \ alpha \ left ({\ frac {p} {1-p}} \ right) ^ {1 / \ beta}.}$

Conclui-se que a mediana é , o quartil inferior é e o quartil superior é . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle 3 ^ {- 1 / \ beta} \ alpha}$${\ displaystyle 3 ^ {1 / \ beta} \ alpha}$

Formulários

Função de perigo . valores de como mostrado na legenda ${\ displaystyle \ alpha = 1,}$${\ displaystyle \ beta}$

Análise de sobrevivência

A distribuição log-logística fornece um modelo paramétrico para análise de sobrevivência . Ao contrário da distribuição Weibull mais comumente usada , ela pode ter uma função de risco não monotônica : quando a função de risco é unimodal (quando  ≤ 1, o risco diminui monotonicamente). O fato de que a função de distribuição cumulativa pode ser escrita na forma fechada é particularmente útil para a análise de dados de sobrevivência com censura . A distribuição log-logística pode ser usada como a base de um modelo de tempo de falha acelerado , permitindo diferir entre os grupos ou, mais geralmente, introduzindo covariáveis ​​que afetam, mas não modelando como uma função linear das covariáveis. ${\ displaystyle \ beta> 1,}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ log (\ alpha)}$

A função de sobrevivência é

${\ displaystyle S (t) = 1-F (t) = [1+ (t / \ alpha) ^ {\ beta}] ^ {- 1}, \,}$

e assim a função de risco é

${\ displaystyle h (t) = {\ frac {f (t)} {S (t)}} = {\ frac {(\ beta / \ alpha) (t / \ alpha) ^ {\ beta -1}} {1+ (t / \ alpha) ^ {\ beta}}}.}$

A distribuição log-logística com parâmetro de forma é a distribuição marginal dos inter-tempos em um processo de contagem com distribuição geométrica . ${\ displaystyle \ beta = 1}$

Hidrologia

Distribuição log-logística cumulativa ajustada para chuvas máximas de um dia em outubro usando CumFreq , consulte também Ajuste de distribuição

A distribuição log-logística tem sido usada em hidrologia para modelar taxas de fluxo de riachos e precipitação.

Valores extremos, como precipitação máxima em um dia e vazão do rio por mês ou por ano, geralmente seguem uma distribuição log-normal . A distribuição log-normal, no entanto, precisa de uma aproximação numérica. Como a distribuição log-logística, que pode ser resolvida analiticamente, é semelhante à distribuição log-normal, ela pode ser usada em seu lugar.

A imagem azul ilustra um exemplo de ajuste da distribuição log-logística às chuvas máximas classificadas em um dia de outubro e mostra o cinturão de confiança de 90% com base na distribuição binomial . Os dados de precipitação são representados pela posição de plotagem r / ( n +1) como parte da análise de frequência cumulativa .

Economia

A logística-logística tem sido utilizada como um modelo simples de distribuição de riqueza ou renda na economia , onde é conhecida como distribuição Fisk. Seu coeficiente de Gini é . ${\ displaystyle 1 / \ beta}$

Networking

A logística-logística tem sido usada como um modelo para o período de tempo que começa quando alguns dados deixam um aplicativo de usuário de software em um computador e a resposta é recebida pelo mesmo aplicativo depois de viajar e ser processada por outros computadores, aplicativos e rede segmentos, a maioria ou todos eles sem garantias rígidas em tempo real (por exemplo, quando um aplicativo está exibindo dados provenientes de um sensor remoto conectado à Internet). Tem se mostrado um modelo probabilístico mais acurado para isso do que a distribuição log-normal ou outros, desde que mudanças abruptas de regime nas sequências daqueles tempos sejam apropriadamente detectadas.

Distribuições relacionadas

• Se então ${\ displaystyle X \ sim LL (\ alpha, \ beta)}$${\ displaystyle kX \ sim LL (k \ alpha, \ beta).}$
• ${\ displaystyle LL (\ alpha, \ beta) \ sim {\ textrm {Dagum}} (1, \ alpha, \ beta)}$ ( Distribuição Dagum ).
• ${\ displaystyle LL (\ alpha, \ beta) \ sim {\ textrm {SinghMaddala}} (1, \ alpha, \ beta)}$ ( Distribuição Singh-Maddala ).
• ${\ displaystyle {\ textrm {LL}} (\ gamma, \ sigma) \ sim \ beta '(1,1, \ gamma, \ sigma)}$ ( Distribuição beta principal ).
• Se X tem uma distribuição log-logística com parâmetro de escala e parâmetro de forma, então Y  = log ( X ) tem uma distribuição logística com parâmetro de localização e parâmetro de escala ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ log (\ alpha)}$${\ displaystyle 1 / \ beta.}$
• À medida que o parâmetro de forma da distribuição log-logística aumenta, sua forma cada vez mais se assemelha a de uma distribuição logística (muito estreita) . Informalmente: ${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle LL (\ alpha, \ beta) \ para L (\ alpha, \ alpha / \ beta) \ quad {\ text {as}} \ quad \ beta \ to \ infty.}$

• A distribuição log-logística com parâmetro de forma e parâmetro de escala é a mesma que a distribuição de Pareto generalizada com parâmetro de localização , parâmetro de forma e parâmetro de escala ${\ displaystyle \ beta = 1}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ mu = 0}$${\ displaystyle \ xi = 1}$${\ displaystyle \ alpha:}$

${\ displaystyle LL (\ alpha, 1) = GPD (1, \ alpha, 1).}$

• A adição de outro parâmetro (um parâmetro de deslocamento) resulta formalmente em uma distribuição log-logística deslocada , mas isso geralmente é considerado em uma parametrização diferente para que a distribuição possa ser limitada acima ou abaixo.

Generalizações

Várias distribuições diferentes são às vezes chamadas de distribuição log-logística generalizada , pois contêm a log-logística como um caso especial. Isso inclui a distribuição Burr Type XII (também conhecida como distribuição Singh – Maddala ) e a distribuição Dagum , ambas as quais incluem um segundo parâmetro de forma. Ambos são, por sua vez, casos especiais da distribuição beta generalizada ainda mais geral do segundo tipo . Outra generalização mais direta da logística-logística é a distribuição log-logística deslocada .

Outra distribuição log-logística generalizada é a transformação logarítmica da distribuição metalog , na qual as expansões das séries de potências em termos de são substituídas por parâmetros de distribuição logística e . A distribuição log-metalog resultante é altamente flexível em forma, tem formato simples e fechado de PDF e função de quantil , pode ser ajustada a dados com mínimos quadrados lineares e inclui a distribuição log-logística como um caso especial. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma}$

Veja também

• Distribuições de probabilidade: lista de distribuições importantes com suporte em intervalos semi-infinitos

Referências