Função beta - Beta function

Em matemática , a função beta , também chamada de integral de Euler do primeiro tipo, é uma função especial intimamente relacionada à função gama e aos coeficientes binomiais . É definido pela integral

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \, dt}$

para entradas de números complexos x , y tais que Re x > 0, Re y > 0 .

A função beta foi estudada por Euler e Legendre e recebeu o nome de Jacques Binet ; seu símbolo Β é um beta capital grego .

Propriedades

A função beta é simétrica , o que significa que

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (y, x)}$

para todas as entradas x e y .

Uma propriedade-chave da função beta é a sua estreita relação com a função gama :

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}.}$

(Uma prova é fornecida abaixo em § Relação com a função gama .)

A função beta também está intimamente relacionada aos coeficientes binomiais . Quando x (ou y , por simetria) é um número inteiro positivo, segue-se da definição da função gama Γ que

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ dfrac {(x-1)!} {(x + y-1) _ {x}}} = {\ frac {x + y} {xy }} \ cdot {\ frac {1} {\ binom {x + y} {x}}}.}$

Relação com a função gama

Uma derivação simples da relação pode ser encontrada no livro The Gamma Function , de Emil Artin , página 18-19. Para derivar essa relação, escreva o produto de dois fatoriais como ${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = \ int _ {u = 0} ^ {\ infty} \ e ^ {- u} u ^ {x-1} \, du \ cdot \ int _ {v = 0} ^ {\ infty} \ e ^ {- v} v ^ {y-1} \, dv \\ [6pt] & = \ int _ {v = 0} ^ { \ infty} \ int _ {u = 0} ^ {\ infty} \ e ^ {- uv} u ^ {x-1} v ^ {y-1} \, du \, dv. \ end {alinhado}} }$

Mudar as variáveis ​​por u = zt e v = z (1 - t ) produz

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = \ int _ {z = 0} ^ {\ infty} \ int _ {t = 0} ^ {1} e ^ {- z} (zt) ^ {x-1} (z (1-t)) ^ {y-1} z \, dt \, dz \\ [6pt] & = \ int _ {z = 0} ^ {\ infty} e ^ {- z} z ^ {x + y-1} \, dz \ cdot \ int _ {t = 0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y- 1} \, dt \\ & = \ Gamma (x + y) \ cdot \ mathrm {B} (x, y). \ End {alinhado}}}$

Dividir os dois lados por dá o resultado desejado. ${\ displaystyle \ Gamma (x + y)}$

A identidade declarada pode ser vista como um caso particular da identidade para o integral de uma convolução . Tirando

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} f (u) &: = e ^ {- u} u ^ {x-1} 1 _ {\ mathbb {R} _ {+}} \\ g (u) &: = e ^ {- u} u ^ {y-1} 1 _ {\ mathbb {R} _ {+}}, \ end {alinhado}}}$

um tem:

${\ displaystyle \ Gamma (x) \ Gamma (y) = \ int _ {\ mathbb {R}} f (u) \, du \ cdot \ int _ {\ mathbb {R}} g (u) \, du = \ int _ {\ mathbb {R}} (f * g) (u) \, du = \ mathrm {B} (x, y) \, \ Gamma (x + y).}$

Derivados

Nós temos

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ left ({\ frac {\ Gamma '(x) } {\ Gamma (x)}} - {\ frac {\ Gamma '(x + y)} {\ Gamma (x + y)}} \ right) = \ mathrm {B} (x, y) {\ big (} \ psi (x) - \ psi (x + y) {\ big)},}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {m}}} \ mathrm {B} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = \ mathrm {B} ( x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) {\ big (} \ psi (x_ {m}) - \ psi (\ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k }) {\ big)}, 1 \ leq m \ leq n}$

Aproximação

A aproximação de Stirling dá a fórmula assintótica

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) \ sim {\ sqrt {2 \ pi}} {\ frac {x ^ {x-1/2} y ^ {y-1/2}} {({ x + y}) ^ {x + y-1/2}}}}$

para x grande e y grande . Se, por outro lado, x é grande e y é fixo, então

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) \ sim \ Gamma (y) \, x ^ {- y}.}$

Outras identidades e fórmulas

A integral que define a função beta pode ser reescrita de várias maneiras, incluindo as seguintes:

onde na última identidade n é qualquer número real positivo. (Pode-se mover da primeira integral para a segunda substituindo .) ${\ displaystyle t = \ tan ^ {2} (\ theta)}$

A função beta pode ser escrita como uma soma infinita

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(1-x) _ {n}} {(y + n) n!} }}$(onde está o fatorial crescente )${\ displaystyle (x) _ {n}}$

e como um produto infinito

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {x + y} {xy}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ dfrac {xy} {n (x + y + n)}} \ direita) ^ {- 1}.}$

A função beta satisfaz várias identidades análogas às identidades correspondentes para coeficientes binomiais, incluindo uma versão da identidade de Pascal

e uma recorrência simples em uma coordenada:

Pois , a função beta pode ser escrita em termos de uma convolução envolvendo a função de potência truncada t ↦ t${\ displaystyle x, y \ geq 1}$ ^x
₊:

Avaliações em pontos específicos podem simplificar significativamente; por exemplo,

e

Ao tomar esta última fórmula, pode-se concluir em particular que Γ (1/2) = √ π . Pode-se também generalizar a última fórmula em uma identidade bivariada para um produto de funções beta: ${\ displaystyle x = {\ frac {1} {2}}}$

A integral de Euler para a função beta pode ser convertida em uma integral sobre o contorno C de Pochhammer como

${\ displaystyle \ left (1-e ^ {2 \ pi i \ alpha} \ right) \ left (1-e ^ {2 \ pi i \ beta} \ right) \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta ) = \ int _ {C} t ^ {\ alpha -1} (1-t) ^ {\ beta -1} \, dt.}$

Esta integral de contorno de Pochhammer converge para todos os valores de α e β e, portanto, dá a continuação analítica da função beta.

Assim como a função gama para inteiros descreve os fatoriais , a função beta pode definir um coeficiente binomial após ajustar os índices:

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {1} {(n + 1) \ mathrm {B} (n-k + 1, k + 1)}}.}$

Além disso, para o inteiro n , Β pode ser fatorado para fornecer uma função de interpolação de forma fechada para valores contínuos de k :

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = (- 1) ^ {n} \, n! \ cdot {\ frac {\ sin (\ pi k)} {\ pi \ displaystyle \ prod _ {i = 0} ^ {n} (ki)}}.}$

Função beta recíproca

A função beta recíproca é a função sobre a forma

${\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {1} {\ mathrm {B} (x, y)}}}$

Curiosamente, suas representações integrais estão intimamente relacionadas como a integral definida das funções trigonométricas com o produto de seu poder e ângulo múltiplo :

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {x-1} \ theta \ sin y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ sin {\ frac {y \ pi} {2}}} {2 ^ {x-1} x \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x + y + 1} {2}}, {\ frac {x-y + 1} {2} }\direito)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {x-1} \ theta \ cos y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ cos {\ frac {y \ pi} {2}}} {2 ^ {x-1} x \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x + y + 1} {2}}, {\ frac {x-y + 1} {2} }\direito)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos ^ {x-1} \ theta \ sin y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi \ cos {\ frac {y \ pi} {2}}} {2 ^ {x-1} x \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x + y + 1} {2}}, {\ frac {x-y + 1} {2} }\direito)}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^ {x-1} \ theta \ cos y \ theta ~ d \ theta = {\ frac {\ pi} {2 ^ {x} x \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x + y + 1} {2}}, {\ frac {x-y + 1} {2}} \ right)}}}$

Função beta incompleta

A função beta incompleta , uma generalização da função beta, é definida como

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a, b) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {a-1} \, (1-t) ^ {b-1} \, dt.}$

Para x = 1 , a função beta incompleta coincide com a função beta completa. A relação entre as duas funções é como aquela entre a função gama e sua generalização, a função gama incompleta .

A função beta incompleta regularizada (ou função beta regularizada, para abreviar) é definida em termos da função beta incompleta e da função beta completa:

${\ displaystyle I_ {x} (a, b) = {\ frac {\ mathrm {B} (x; \, a, b)} {\ mathrm {B} (a, b)}}.}$

A função beta incompleta regularizado é a função de distribuição cumulativa da distribuição beta , e está relacionada com a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória X na sequência de uma distribuição binomial com probabilidade de sucesso único P e o número de tentativas de Bernoulli n : ${\ displaystyle F (k; \, n, p)}$

${\ displaystyle F (k; \, n, p) = \ Pr \ left (X \ leq k \ right) = I_ {1-p} (nk, k + 1) = 1-I_ {p} (k + 1, nk).}$

Propriedades

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} I_ {0} (a, b) & = 0 \\ I_ {1} (a, b) & = 1 \\ I_ {x} (a, 1) & = x ^ {a} \\ I_ {x} (1, b) & = 1- (1-x) ^ {b} \\ I_ {x} (a, b) & = 1-I_ {1-x} (b , a) \\ I_ {x} (a + 1, b) & = I_ {x} (a, b) - {\ frac {x ^ {a} (1-x) ^ {b}} {a \ mathrm {B} (a, b)}} \\ I_ {x} (a, b + 1) & = I_ {x} (a, b) + {\ frac {x ^ {a} (1-x) ^ {b}} {b \ mathrm {B} (a, b)}} \\\ mathrm {B} (x; a, b) & = (- 1) ^ {a} \ mathrm {B} \ left ({\ frac {x} {x-1}}; a, 1-ab \ direita) \ end {alinhado}}}$

Função beta multivariada

A função beta pode ser estendida a uma função com mais de dois argumentos:

${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots \ alpha _ {n}) = {\ frac {\ Gamma (\ alpha _ {1}) \, \ Gamma (\ alpha _ {2}) \ cdots \ Gamma (\ alpha _ {n})} {\ Gamma (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n}) }}.}$

Esta função beta multivariada é usada na definição da distribuição de Dirichlet . Sua relação com a função beta é análoga à relação entre coeficientes multinomiais e coeficientes binomiais.

Formulários

A função beta é útil para calcular e representar a amplitude de espalhamento para trajetórias de Regge . Além disso, foi a primeira amplitude de espalhamento conhecida na teoria das cordas , inicialmente conjecturada por Gabriele Veneziano . Também ocorre na teoria do processo de fixação preferencial , uma espécie de processo de urna estocástica . A função beta também é importante em estatísticas, por exemplo, para a distribuição Beta e distribuição Beta principal . Como brevemente aludido anteriormente, a função beta está intimamente ligada à função gama e desempenha um papel importante no cálculo .

Implementação de software

Mesmo se não estiverem disponíveis diretamente, os valores completos e incompletos da função beta podem ser calculados usando funções comumente incluídas em planilhas ou sistemas de álgebra de computador . No Excel , por exemplo, o valor beta completo pode ser calculado a partir da GammaLnfunção:

Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

Um valor beta incompleto pode ser calculado como:

Value = BetaDist(x, a, b) * Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b)).

Esses resultados seguem as propriedades listadas acima .

Da mesma forma, betainc(função beta incompleta) em MATLAB e GNU Octave , pbeta(probabilidade de distribuição beta) em R , ou special.betaincno pacote SciPy do Python calcula a função beta incompleta regularizada - que é, de fato, a distribuição beta cumulativa - e assim, para obter a função beta incompleta real, deve-se multiplicar o resultado de pelo resultado retornado pela função correspondente . No Mathematica , e dê e , respectivamente. betaincbetaBeta[x, a, b]BetaRegularized[x, a, b]${\ displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a, b)}$${\ displaystyle I_ {x} (a, b)}$

Veja também

• Distribuição beta e distribuição beta principal , duas distribuições de probabilidade relacionadas à função beta
• Soma de Jacobi , o análogo da função beta sobre campos finitos .
• Nörlund – Integral de arroz
• Distribuição Yule-Simon

Referências

• Askey, RA ; Roy, R. (2010), "Beta function" , em Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Zelen, M .; Severo, NC (1972), "26. Probability functions", em Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (eds.), Manual de funções matemáticas com fórmulas, gráficos e tabelas matemáticas , Nova York: Dover Publications , pp.  925-995 , ISBN 978-0-486-61272-0
• Davis, Philip J. (1972), "6. Gamma function and related functions", em Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (eds.), Manual de funções matemáticas com fórmulas, gráficos e tabelas matemáticas , Nova York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0
• Paris, RB (2010), "Incomplete beta functions" , in Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Pressione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 6.1 Gamma Function, Beta Function, Factorials" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

links externos

• "Beta-function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Avaliação da função beta usando a transformada de Laplace no PlanetMath .
• Valores arbitrariamente precisos podem ser obtidos a partir de:
  • The Wolfram Functions Site : Evaluate Beta Regularized Incomplete Beta
  • danielsoper.com: Calculadora de Função Beta Incompleta , Calculadora de Função Beta Incompleta Regularizada