Operação binária iterada - Iterated binary operation

Em matemática , uma operação binária iterada é uma extensão de uma operação binária em um conjunto S para uma função em sequências finitas de elementos de S por meio de aplicação repetida. Os exemplos comuns incluem a extensão da operação de adição à operação de soma e a extensão da operação de multiplicação à operação de produto . Outras operações, por exemplo, o conjunto de operações teóricas união e interseção , também são frequentemente iteradas , mas as iterações não recebem nomes separados. Na impressão, o somatório e o produto são representados por símbolos especiais; mas outros operadores iterados freqüentemente são denotados por variantes maiores do símbolo do operador binário comum. Assim, as iterações das quatro operações mencionadas acima são denotadas

{\ displaystyle \ sum, \ \ prod, \ \ bigcup,}

e , respectivamente.

{\ displaystyle \ bigcap}

De maneira mais geral, a iteração de uma função binária é geralmente denotada por uma barra: a iteração de sobre a sequência é denotada por , seguindo a notação para reduzir no formalismo de Bird-Meertens . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2} \ ldots, a_ {n})}$ ${\ displaystyle f / (a_ {1}, a_ {2} \ ldots, a_ {n})}$

Em geral, há mais de uma maneira de estender uma operação binária para operar em sequências finitas, dependendo se o operador é associativo e se o operador tem elementos de identidade .

Definição

Designam por um _{j , k} , com j ≥ 0 e k ≥ j , a sequência finita de comprimento k - j de elementos de S , com os membros ( um _i ), para j ≤ i < k . Observe que se k = j , a sequência está vazia.

Para f : S × S , defina uma nova função F _l em sequências não vazias finitas de elementos de S , onde

{\ displaystyle F_ {l} (\ mathbf {a} _ {0, k}) = {\ begin {cases} a_ {0}, & k = 1 \\ f (F_ {l} (\ mathbf {a} _ {0, k-1}), a_ {k-1}), & k> 1. \ end {cases}}}

Da mesma forma, defina

{\ displaystyle F_ {r} (\ mathbf {a} _ {0, k}) = {\ begin {cases} a_ {0}, & k = 1 \\ f (a_ {0}, F_ {r} (\ mathbf {a} _ {1, k})), & k> 1. \ end {cases}}}

Se f tem uma identidade única à esquerda e , a definição de F _l pode ser modificada para operar em sequências vazias, definindo o valor de F _l em uma sequência vazia como e (o caso de base anterior em sequências de comprimento 1 torna-se redundante). Da mesma forma, F _r pode ser modificado para operar em sequências vazias se f tiver uma identidade única correta.

Se f é associativa, então F _l é igual a F _r , e podemos simplesmente escrever F . Além disso, se um elemento de identidade e existe, então ele é único (ver Monóide ).

Se f for comutativo e associativo, então F pode operar em qualquer multiconjunto finito não vazio aplicando-o a uma enumeração arbitrária do multiconjunto. Se f por outro lado tem um elemento de identidade e , em seguida, esta é definida como sendo o valor de F em um multiconjunto vazio. Se f for idempotente, então as definições acima podem ser estendidas para conjuntos finitos .

Se S também está equipado com uma métrica ou, mais geralmente, com topologia que é Hausdorff , de modo que o conceito de um limite de uma sequência é definido em S , então uma iteração infinita em uma sequência contável em S é definida exatamente quando a sequência correspondente de iterações finitas convergem. Assim, por exemplo, se a ₀ , a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... é uma seqüência infinita de números reais , então o produto infinito é definido, e igual a se e somente se esse limite existe. ${\ textstyle \ prod _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i}}$ ${\ textstyle \ lim \ limits _ {n \ to \ infty} \ prod _ {i = 0} ^ {n} a_ {i},}$

Operação binária não associativa

A operação binária geral não associativa é dada por um magma . O ato de iterar em uma operação binária não associativa pode ser representado como uma árvore binária .

Notação

Operações binárias iteradas são usadas para representar uma operação que será repetida em um conjunto sujeito a algumas restrições. Normalmente, o limite inferior de uma restrição é escrito sob o símbolo e o limite superior sobre o símbolo, embora eles também possam ser escritos como sobrescritos e subscritos em notação compacta. A interpolação é realizada sobre inteiros positivos do limite inferior para o superior, para produzir o conjunto que será substituído no índice (abaixo denotado como i ) para as operações repetidas. É possível especificar a associação ao conjunto ou outras restrições lógicas no lugar de índices explícitos, a fim de especificar implicitamente quais elementos de um conjunto devem ser usados.

Notações comuns incluem a grande S IGMA ( repetido s hum ) e grande P i ( repetido p roduto ) notações.

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} i = 0 + 1 + 2 + \ dots + (n-1)}

{\ displaystyle \ prod _ {i = 0} ^ {n-1} i = 0 \ vezes 1 \ vezes 2 \ vezes \ pontos \ vezes (n-1)}

Embora os operadores binários incluindo, mas não se limitando a, união exclusiva ou e conjunto possam ser usados

Seja S um conjunto de conjuntos

{\ displaystyle \ bigcup _ {s \ in S} s_ {i} = s_ {1} \ cup s_ {2} \ cup \ dots \ cup s_ {N}.}

Seja S um conjunto de proposições lógicas

{\ displaystyle \ bigoplus _ {s \ in S} s_ {i} = s_ {1} \ oplus s_ {2} \ oplus \ dots \ oplus s_ {N}.}

Seja S um conjunto de multivetores em uma álgebra / álgebra geométrica de Clifford

{\ displaystyle \ bigwedge _ {s \ in S} s_ {i} = s_ {1} \ wedge s_ {2} \ wedge \ dots \ wedge s_ {N},}

{\ displaystyle \ prod _ {s \ in S} s_ {i} = s_ {1} s_ {2} \ dots s_ {N}.}

Nota como no exemplo acima, sem limite superior é utilizado, uma vez que é suficiente para expressar que os elementos são elementos do conjunto S . ${\ displaystyle s_ {i}}$

É também para produzir uma operação repetida dada uma série de restrições unidas por uma conjunção (e) , por exemplo:

{\ displaystyle \ sum _ {(i \ in 2 \ mathbb {N}) \ wedge (i \ leq n)} i = 0 + 2 + 4 + \ dots + n,}

que também pode ser denotado

{\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {i \ in 2 \ mathbb {N}} {i \ leq n}} i = 0 + 2 + 4 + \ dots + n.}

Veja também

Referências

^ Saunders MacLane (1971). Categorias para o Matemático Operário . Nova York: Springer-Verlag. p. 142. ISBN 0387900357.
^ Weisstein, Eric W. "União" . mathworld.wolfram.com . Wolfram Mathworld . Página visitada em 30 de janeiro de 2018 .

links externos

[IBO1-1] Saunders MacLane (1971). Categorias para o Matemático Operário . Nova York: Springer-Verlag. p. 142. ISBN 0387900357.

[2] Weisstein, Eric W. "União" . mathworld.wolfram.com . Wolfram Mathworld . Página visitada em 30 de janeiro de 2018 .

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