Isometria (geometria Riemanniana) - Isometry (Riemannian geometry)

Em matemática , uma isometría de um colector é qualquer mapeamento (lisa) de que colector em si, ou em outro colector que preserva a noção de distância entre os pontos. A definição de uma isometría requer a noção de uma métrica no colector; um tubo de distribuição com uma métrica (definida positiva) é um colector de Riemannian , um com uma métrica indefinido é uma variedade pseudoriemanniana . Assim, isometries são estudados em geometria Riemannianos .

Um isometría local, a partir de uma ( pseudo -) Riemaniano multiplicado para outro é um mapa que puxa para trás o tensor de métrica no segundo colector para o tensor de métrica no primeiro. Quando tal mapa é também um difeomorfismo , tal mapa é chamado de isometria (ou isomorfismo isométrico ), e fornece uma noção de isomorfismo ( "mesmice") na categoria Rm de variedades de Riemann.

Definição

Vamos e ser dois (pseudo-) variedades de Riemann, e deixe ser um difeomorfismo. Em seguida, é chamado de isometria (ou isomorfismo isométrico ) se ${\ Displaystyle R = (H, G)}$${\ '= (M', G ') displaystyle R}$${\ Displaystyle f: R \ R '}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle g = f ^ {*} g', \,}$

onde denota a retirada do posto (0, 2) tensor métrico por . De forma equivalente, em termos do empurrar para a frente , temos que para quaisquer dois campos de vectores sobre (isto é, secções do feixe tangente ), ${\ Displaystyle f ^ {*} g '}$${\ Displaystyle g '}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f _ {*}}$${\ Displaystyle v, w}$${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {T} M}$

${\ Displaystyle g (v, w) = g '\ left (f _ {*} v, f _ {*} w \ right). \,}$

Se é um difeomorfismo local, de tal forma que , em seguida, é chamado de isometria locais . ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g = f ^ {*} g '}$${\ Displaystyle f}$

Veja também

• grupo isometria
• Myers-Steenrod teorema

Referências

• Lee, Jeffrey M. (2000). Geometria Diferencial, Análise e Física .