Introdução a Lattices e Ordem -Introduction to Lattices and Order
Introdução a Lattices and Order é um livro de matemática sobre a teoria da ordem de Brian A. Davey e Hilary Priestley . Foi publicado pela Cambridge University Press em sua série Cambridge Mathematical Textbooks em 1990, com uma segunda edição em 2002. A segunda edição é significativamente diferente em seus tópicos e organização, e foi revisada para incorporar desenvolvimentos recentes na área, especialmente em seu aplicações à ciência da computação . O Comitê da Lista de Bibliotecas Básicas da Mathematical Association of America sugeriu sua inclusão em bibliotecas de matemática de graduação.
Tópicos
Ambas as edições do livro têm 11 capítulos; no segundo livro, eles são organizados com os quatro primeiros fornecendo uma referência geral para matemáticos e cientistas da computação, e os sete restantes enfocando material mais especializado para lógicos, topologistas e teóricos de rede.
A primeira diz respeito capítulo conjuntos parcialmente ordenada , com exemplo fundamental dada pelas funções parciais ordenadas pela relação subconjunto em seus gráficos , e tampas conceitos fundamentais, incluindo a parte superior e elementos de fundo e superior e conjuntos inferiores . Essas idéias levam ao segundo capítulo, sobre reticulados , no qual cada dois elementos (ou em reticulados completos , cada conjunto) tem um maior limite inferior e um mínimo superior. Este capítulo inclui a construção de uma rede a partir dos conjuntos inferiores de qualquer ordem parcial e o teorema de Knaster-Tarski construindo uma rede a partir dos pontos fixos de funções de preservação de ordem em uma rede completa. O capítulo três diz respeito à análise de conceito formal , sua construção de "redes de conceito" a partir de coleções de objetos e suas propriedades, com cada elemento de rede representando um conjunto de objetos e um conjunto de propriedades mantidas por esses objetos, e a universalidade dessa construção na formação redes completas. O quarto capítulo introdutório trata de classes especiais de reticulados, incluindo reticulados modulares , reticulados distributivos e reticulados booleanos .
Na segunda parte do livro, o capítulo 5 diz respeito ao teorema de que toda rede booleana finita é isomórfica à rede de subconjuntos de um conjunto finito e (menos trivialmente) ao teorema de representação de Birkhoff de acordo com o qual toda rede distributiva finita é isomórfica à rede de conjuntos inferiores de uma ordem parcial finita. O Capítulo 6 cobre as relações de congruência nas redes. Os tópicos do capítulo 7 incluem operações de fechamento e conexões de Galois em ordens parciais, e a conclusão de Dedekind – MacNeille de uma ordem parcial na menor rede completa que a contém. Os próximos dois capítulos tratam de ordens parciais completas , seus teoremas de ponto fixo, sistemas de informação e suas aplicações à semântica denotacional . O capítulo 10 discute os equivalentes teóricos da ordem do axioma de escolha , incluindo extensões dos teoremas de representação do capítulo 5 para redes infinitas, e o capítulo final discute a representação de redes com espaços topológicos, incluindo o teorema de representação de Stone para álgebras booleanas e a teoria da dualidade para redes distributivas .
Dois apêndices fornecem informações básicas sobre a topologia necessária para o capítulo final e uma bibliografia comentada.
Público e recepção
Este livro destina-se a alunos de pós-graduação iniciantes, embora também possa ser usado por alunos de graduação avançados. Seus muitos exercícios o tornam adequado como um livro-texto do curso e servem tanto para preencher os detalhes da exposição no livro, quanto para fornecer indicações para tópicos adicionais. Embora alguma sofisticação matemática seja exigida de seus leitores, os principais pré-requisitos são matemática discreta , álgebra abstrata e teoria dos grupos .
Escrevendo a primeira edição, o revisor Josef Niederle chama de "um excelente livro", "atualizado e claro". Da mesma forma, Thomas S. Blyth elogia a primeira edição como "um relato bem escrito, satisfatório, informativo e estimulante de aplicativos que são de grande interesse" e, em uma revisão atualizada, escreve que a segunda edição é tão boa quanto a primeira. Da mesma forma, embora Jon Cohen tenha alguns problemas com a ordenação e seleção de tópicos (particularmente a inclusão de congruências às custas de uma visão teórica de categorias do assunto), ele conclui que o livro é "uma introdução maravilhosa e acessível à teoria da rede , de igual interesse para cientistas da computação e matemáticos ".
Tanto Blyth quanto Cohen observam o uso hábil do livro do LaTeX para criar seus diagramas e suas descrições úteis de como os diagramas foram feitos.