Distribuição secante hiperbólica - Hyperbolic secant distribution

secante hiperbólica

Função densidade de probabilidade
Função de distribuição cumulativa
Parâmetros	Nenhum
Apoiar	${\ displaystyle x \ in (- \ infty; + \ infty) \!}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \; \ operatorname {sech} \! \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \, x \ right) \!}$
CDF	${\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} \ arctan \! \ left [\ exp \! \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \, x \ right) \ right] \! }$
Mau	${\ displaystyle 0}$
Mediana	${\ displaystyle 0}$
Modo	${\ displaystyle 0}$
Variância	${\ displaystyle 1}$
Skewness	${\ displaystyle 0}$
Ex. curtose	${\ displaystyle 2}$
Entropia	4 / π K ${\ displaystyle \; \ aprox. 1.16624}$
MGF	${\ displaystyle \ sec (t) \!}$ para ${\ displaystyle | t | <{\ frac {\ pi} {2}} \!}$
CF	${\ displaystyle \ operatorname {sech} (t) \!}$ para ${\ displaystyle | t | <{\ frac {\ pi} {2}} \!}$

Em teoria de probabilidade e estatística , a distribuição de secante hiperbólica é uma distribuição de probabilidade contínua cuja função de densidade de probabilidade e função característica são proporcionais à função de secante hiperbólica . A função secante hiperbólica é equivalente ao cosseno hiperbólico recíproco e, portanto, essa distribuição também é chamada de distribuição cosh inversa .

A generalização da distribuição dá origem à distribuição Meixner , também conhecida como Família Exponencial Natural - Secante Hiperbólica Generalizada ou distribuição NEF-GHS .

Explicação

Uma variável aleatória segue uma distribuição secante hiperbólica se sua função de densidade de probabilidade (pdf) pode ser relacionada à seguinte forma padrão de função de densidade por uma transformação de localização e deslocamento:

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2}} \; \ operatorname {sech} \! \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \, x \ right) \ !, }$

onde "sech" denota a função secante hiperbólica. A função de distribuição cumulativa (cdf) da distribuição padrão é uma versão escalonada e deslocada da função Gudermanniana ,

${\ displaystyle F (x) = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {\ pi}} \ arctan \! \ left [\ operatorname {sinh} \! \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \, x \ right) \ right] \ !,}$

${\ displaystyle = {\ frac {2} {\ pi}} \ arctan \! \ left [\ exp \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \, x \ right) \ right] \ !. }$

onde "arctan" é a função tangente inversa (circular) . O cdf inverso (ou função quantil) é

${\ displaystyle F ^ {- 1} (p) = - {\ frac {2} {\ pi}} \, \ operatorname {arsinh} \! \ left [\ cot (\ pi \, p) \ right] \ !,}$

${\ displaystyle = {\ frac {2} {\ pi}} \, \ ln \! \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \, p \ right) \ right] \ !.}$

onde "arsinh" é a função seno hiperbólica inversa e "cot" é a função cotangente (circular) .

A distribuição secante hiperbólica compartilha muitas propriedades com a distribuição normal padrão : é simétrica com variância unitária e média zero , mediana e moda , e sua fdp é proporcional à sua função característica. No entanto, a distribuição secante hiperbólica é leptocúrtica ; ou seja, tem um pico mais agudo próximo à média e caudas mais pesadas, em comparação com a distribuição normal padrão.

Johnson et al. (1995) coloca esta distribuição no contexto de uma classe de formas generalizadas de distribuição logística , mas usa uma parametrização diferente da distribuição padrão em comparação com aquela aqui. Ding (2014) mostra três ocorrências da distribuição secante hiperbólica na modelagem estatística e inferência.

Generalizações

Convolução

Considerando a soma (em escala) de variáveis ​​aleatórias secantes hiperbólicas independentes e distribuídas de forma idêntica : ${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle X = {\ frac {1} {\ sqrt {r}}} \; (X_ {1} + X_ {2} + \; ... \; + X_ {r})}$

então, no limite, a distribuição de tenderá para a distribuição normal , de acordo com o teorema do limite central . ${\ displaystyle r \ to \ infty}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle N (0,1)}$

Isso permite que uma família conveniente de distribuições seja definida com propriedades intermediárias entre a secante hiperbólica e a distribuição normal, controlada pelo parâmetro de forma , que pode ser estendido para valores não inteiros por meio da função característica${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ varphi (t) = {\ big (} \ operatorname {sech} (t / {\ sqrt {r}}) {\ big)} ^ {r}}$

Os momentos podem ser facilmente calculados a partir da função característica. O excesso de curtose é encontrado . ${\ displaystyle 2 / r}$

Enviesamento

Uma forma distorcida da distribuição pode ser obtida multiplicando pelo exponencial e normalizando, para dar a distribuição ${\ displaystyle e ^ {\ theta x}, | {\ theta} | <{\ pi} / 2}$

${\ displaystyle f (x) = \ cos \ theta \; {\ frac {e ^ {\ theta x}} {2 \ operatorname {cosh} ({\ frac {\ pi x} {2}})}}}$

onde o valor do parâmetro corresponde à distribuição original. ${\ displaystyle \ theta = 0}$

Localização e escala

A distribuição (e suas generalizações) também pode ser modificada e escalonada trivialmente da maneira usual para dar uma família de escala de localização correspondente

Tudo acima

Permitir todos os quatro ajustes acima dá distribuição com quatro parâmetros, controlando forma, inclinação, localização e escala, respectivamente, chamada de distribuição de Meixner após Josef Meixner que investigou a família pela primeira vez, ou distribuição NEF-GHS ( família exponencial natural - generalizada Distribuição de secante hiperbólica).

Losev (1989) estudou independentemente a curva assimétrica (enviesada) , que usa apenas dois parâmetros . Eles têm que ser positivos ou negativos, sendo a secante e sua forma mais remodelada. ${\ displaystyle h (x) = {\ frac {1} {\ exp (-ax) + \ exp (bx)}}}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle a = b}$${\ displaystyle h (x) ^ {r}}$

Em matemática financeira, a distribuição de Meixner foi usada para modelar movimentos não gaussianos dos preços das ações, com aplicações que incluem a precificação de opções.

Referências

• Baten, WD (1934). “A lei da probabilidade para a soma de n variáveis ​​independentes, cada uma sujeita à lei ” ${\ displaystyle (2h) ^ {- 1} \ operatorname {sech} (\ pi x / 2h)}$ . Boletim da American Mathematical Society . 40 (4): 284–290. doi : 10.1090 / S0002-9904-1934-05852-X .
• Talacko, J. (1956). "Distribuições de vantagens e seu papel na teoria das variáveis ​​estocásticas de Wiener". Trabajos de Estadistica . 7 (2): 159–174. doi : 10.1007 / BF03003994 .
• Devroye, Luc (1986). Geração de variável aleatória não uniforme . Nova York: Springer-Verlag. Seção IX.7.2.
• Smyth, GK (1994). "Uma nota sobre a modelagem de correlações cruzadas: regressão secante hiperbólica" (PDF) . Biometrika . 81 (2): 396–402. doi : 10.1093 / biomet / 81.2.396 .
• Matthias J. Fischer (2013), Generalized Hyperbolic Secant Distributions: With Applications to Finance , Springer. ISBN   3642451381 . Livros do Google