Triângulo heroniano - Heronian triangle

Em geometria , um triângulo heroniano é um triângulo que tem comprimentos laterais e área que são todos inteiros . Os triângulos heronianos têm o nome de Herói de Alexandria . O termo é às vezes aplicado de forma mais ampla a triângulos cujos lados e áreas são todos números racionais , uma vez que é possível redimensionar os lados por um múltiplo comum para obter um triângulo que é heroniano no sentido acima.

Propriedades

Qualquer triângulo retângulo cujos comprimentos laterais são um triplo pitagórico é um triângulo heroniano, já que os comprimentos laterais de tal triângulo são inteiros , e sua área também é um inteiro, sendo metade do produto dos dois lados mais curtos do triângulo, em pelo menos um deles deve ser par.

Um triângulo com comprimentos laterais c , e e b  +  d e altura a .

Um exemplo de triângulo heroniano que não é retângulo é o triângulo isósceles com comprimentos laterais 5, 5 e 6, cuja área é 12. Este triângulo é obtido pela junção de duas cópias do triângulo retângulo com lados 3, 4, e 5 ao longo dos lados do comprimento 4. Essa abordagem funciona em geral, conforme ilustrado na imagem ao lado. Um pega um triplo pitagórico ( a , b , c ), com c sendo o maior, então outro ( a , d , e ), com e sendo o maior, constrói os triângulos com esses comprimentos laterais e os une ao longo dos lados do comprimento a , para obter um triângulo com comprimentos laterais inteiros c , e , e b  +  d , e com área

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} (b + d) a}$ (metade da base vezes a altura).

Se a for par, a área A é um inteiro. Menos obviamente, se a for ímpar, então A ainda é um inteiro, já que b e d devem ser pares, tornando b + d pares também.

Alguns triângulos Heronian não podem ser obtidos unindo dois triângulos retângulos com lados inteiros, conforme descrito acima. Por exemplo, um triângulo heroniano 5, 29, 30 com área 72 não pode ser construído a partir de dois triângulos pitagóricos inteiros, pois nenhuma de suas altitudes são inteiros. Além disso, nenhum triângulo pitagórico primitivo pode ser construído a partir de dois triângulos pitagóricos inteiros menores. Esses triângulos heronianos são conhecidos como indecomponíveis . No entanto, se permitirmos triplos pitagóricos com valores racionais, não necessariamente inteiros, então sempre existe uma decomposição em triângulos retângulos com lados racionais, porque cada altitude de um triângulo heroniano é racional (uma vez que é igual a duas vezes a área inteira dividida pela base inteira) . Assim, o triângulo heroniano com lados 5, 29, 30 pode ser construído a partir de triângulos pitagóricos racionais com lados 7/5, 24/5, 5 e 143/5, 24/5, 29. Observe que um triplo pitagórico com valores racionais é justo uma versão em escala de um triplo com valores inteiros.

Outras propriedades dos triângulos heronianos são as seguintes:

• O perímetro de um triângulo Heronian é sempre um número par. Assim, todo triângulo heroniano tem um número ímpar de lados de comprimento par, e todo triângulo heroniano primitivo tem exatamente um lado par.
• Os semiperimeter s de um triângulo Heronian com lados a , b e c nunca pode ser nobre. Isso pode ser visto pelo fato de que s (s − a) (s − b) (s − c) tem que ser um quadrado perfeito e se s é primo, então um dos outros termos deve ter s como um fator, mas isso é impossível, pois esses termos são todos menores do que s .
• A área de um triângulo heroniano é sempre divisível por 6.
• Todas as altitudes de um triângulo heroniano são racionais. Isso pode ser visto pelo fato de que a área de um triângulo é metade de um lado vezes sua altitude daquele lado, e um triângulo heroniano tem lados e área inteiros. Alguns triângulos Heronianos têm três altitudes não inteiras, por exemplo, o agudo (15, 34, 35) com área 252 e o obtuso (5, 29, 30) com área 72. Qualquer triângulo Heroniano com uma ou mais altitudes não inteiras pode ser escalado por um fator igual ao mínimo múltiplo comum dos denominadores das altitudes, a fim de obter um triângulo heroniano semelhante com três altitudes inteiras.
• Os triângulos heronianos que não têm altitude inteira ( indecomponíveis e não pitagóricos) têm lados que são todos divisíveis por primos na forma 4 k +1. No entanto, os triângulos heronianos decomponíveis devem ter dois lados que são a hipotenusa dos triângulos pitagóricos. Portanto, todos os triângulos heronianos que não são pitagóricos têm pelo menos dois lados que são divisíveis por primos na forma 4 k +1. Tudo o que resta são triângulos pitagóricos. Portanto, todos os triângulos heronianos têm pelo menos um lado divisível por primos na forma 4 k +1. Finalmente, se um triângulo heroniano tem apenas um lado divisível por primos da forma 4 k +1, ele deve ser pitagórico com o lado como hipotenusa e a hipotenusa deve ser divisível por 5 .
• Todas as bissetoras perpendiculares internas de um triângulo heroniano são racionais: para qualquer triângulo, elas são dadas por e onde os lados são a ≥ b ≥ ce a área é A ; em um triângulo Heronian, todos os a , b , c e A são inteiros.${\ displaystyle p_ {a} = {\ tfrac {2aA} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}},}$ ${\ displaystyle p_ {b} = {\ tfrac {2bA} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}},}$${\ displaystyle p_ {c} = {\ tfrac {2cA} {a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}}},}$
• Não há triângulos heronianos equiláteros.
• Não há triângulos Heronian com um comprimento lateral de 1 ou 2.
• Existe um número infinito de triângulos heronianos primitivos com um lado de comprimento igual a a, desde que a> 2.
• Não há triângulos Heronian cujos comprimentos laterais formem uma progressão geométrica .
• Se dois lados (mas não três) de um triângulo heroniano têm um fator comum, esse fator deve ser a soma de dois quadrados.
• Cada ângulo de um triângulo heroniano tem um seno racional. Isto resulta da fórmula área Área = (1/2) ab pecado C , em que a área e os lados um e b são números inteiros, e de forma equivalente para os outros ângulos.
• Cada ângulo de um triângulo heroniano tem um cosseno racional. Isso segue da lei dos cossenos , c ² = a ² + b ² - 2 ab cos C , em que os lados a , b e c são inteiros e, de forma equivalente, para os outros ângulos.
• Uma vez que todos os triângulos Heronianos têm senos e cossenos racionais de todos os ângulos, isso implica que cada ângulo oblíquo de um triângulo de Heron tem uma tangente racional, cotangente, secante e cossecante. Além disso, metade de cada ângulo tem uma tangente racional porque tan C / 2 = sen C / (1 + cos C) , e de forma equivalente para outros ângulos.
• Não há triângulos heronianos cujos três ângulos internos formem uma progressão aritmética. Isso ocorre porque todos os triângulos planos com ângulos em uma progressão aritmética devem ter um ângulo de 60 °, que não tem um seno racional.
• Qualquer quadrado inscrito em um triângulo heroniano tem lados racionais: para um triângulo geral, o quadrado inscrito no lado de comprimento a tem comprimento, onde A é a área do triângulo; em um triângulo heroniano, A e a são inteiros.${\ displaystyle {\ tfrac {2Aa} {a ^ {2} + 2A}}}$
• Cada triângulo heroniano tem um raio interno (raio de seu círculo inscrito): Para um triângulo geral, o raio interno é a razão da área para a metade do perímetro, e ambos são racionais em um triângulo heroniano.
• Todo triângulo heroniano tem um circumradius racional (o raio de seu círculo circunscrito): Para um triângulo geral, o circumradius é igual a um quarto do produto dos lados dividido pela área; em um triângulo heroniano, os lados e a área são inteiros.
• Em um triângulo heroniano, a distância do centróide a cada lado é racional, porque para todos os triângulos essa distância é a razão de duas vezes a área para três vezes o comprimento do lado. Isso pode ser generalizado afirmando que todos os centros associados aos triângulos Heronianos cujas coordenadas baricêntricas são razões racionais têm uma distância racional para cada lado. Esses centros incluem o circuncentro , o ortocentro , o centro dos nove pontos , o ponto simediano , o ponto Gergonne e o ponto Nagel .
• Todos os triângulos Heronian podem ser colocados em uma rede com cada vértice em um ponto da rede.

Fórmula exata para todos os triângulos Heronian

O matemático indiano Brahmagupta (598-668 DC) derivou a solução paramétrica de modo que cada triângulo heroniano tem lados proporcionais a:

${\ displaystyle a = n (m ^ {2} + k ^ {2})}$

${\ displaystyle b = m (n ^ {2} + k ^ {2})}$

${\ displaystyle c = (m + n) (mn-k ^ {2})}$

${\ displaystyle {\ text {Semiperimeter}} = s = (a + b + c) / 2 = mn (m + n)}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = mnk (m + n) (mn-k ^ {2})}$

${\ displaystyle {\ text {Inradius}} = k (mn-k ^ {2})}$

${\ displaystyle sa = n (mn-k ^ {2})}$

${\ displaystyle sb = m (mn-k ^ {2})}$

${\ displaystyle sc = (m + n) k ^ {2}}$

para inteiros m , n e k onde:

${\ displaystyle \ gcd {(m, n, k)} = 1}$

${\ displaystyle mn> k ^ {2} \ geq 1}$

${\ displaystyle m \ geq n \ geq 1}$.

O fator de proporcionalidade é geralmente um p ⁄ q racional     onde   q = mdc ( a, b, c ) reduz o triângulo heroniano gerado a seu primitivo   ep   aumenta este primitivo para o tamanho necessário. Por exemplo, tomando m = 36, n = 4 ek = 3 produz um triângulo com a = 5220, b = 900 ec = 5400, que é semelhante ao triângulo heroniano 5, 29, 30 e o fator de proporcionalidade usado tem p = 1 e q = 180.

O obstáculo para o uso computacional da solução paramétrica de Brahmagupta é o denominador q do fator de proporcionalidade. q só pode ser determinado calculando o maior divisor comum dos três lados (mdc ( a, b, c )) e introduz um elemento de imprevisibilidade no processo de geração. A maneira mais fácil de gerar listas de triângulos Heronianos é gerar todos os triângulos inteiros até um comprimento lateral máximo e testar uma área integral.

Algoritmos mais rápidos foram derivados por Kurz (2008) .

Existem infinitamente muitos triângulos heronianos não pitagóricos primitivos e indecomponíveis com valores inteiros para o inradius e todos os três exradii , incluindo os gerados por

${\ displaystyle a = 25n ^ {2} + 5n-5 = 5 (5n ^ {2} + n-1),}$

${\ displaystyle b = 25n ^ {3} -5n ^ {2} -7n + 3 = (5n + 3) (5n ^ {2} -4n + 1),}$

${\ displaystyle c = 25n ^ {3} + 20n ^ {2} -2n-4 = (5n-2) (5n ^ {2} + 6n + 2),}$

${\ displaystyle A = (5n-2) (5n + 3) (5n ^ {2} + n-1),}$

${\ displaystyle r = 5n-2,}$

${\ displaystyle r_ {a} = 5n + 3,}$

${\ displaystyle r_ {b} = 5n ^ {2} + n-1,}$

${\ displaystyle r_ {c} = A = (5n-2) (5n + 3) (5n ^ {2} + n-1).}$

Existem infinitamente muitos triângulos Heronianos que podem ser colocados em uma rede de tal forma que não apenas os vértices estão nos pontos da rede, como vale para todos os triângulos Heronianos, mas, adicionalmente, os centros do incircle e os círculos estão nos pontos da rede.

Veja também as fórmulas para triângulos Heronianos com um ângulo igual a duas vezes o outro , triângulos Heronianos com lados em progressão aritmética e triângulos Heronianos isósceles .

Todos os triângulos heronianos de tangentes de meio ângulo

Um triângulo com comprimentos laterais e ângulos internos rotulados. As maiúsculas A , B e C são os ângulos, e as minúsculas a , b e c são os lados opostos a eles.

A tangente da metade de qualquer ângulo interno de um triângulo heroniano é necessariamente racional; veja as propriedades acima. Esses meios ângulos são positivos e somam 90 ° ( π / 2 radianos) porque os ângulos internos ( A , B , C ) de qualquer triângulo somam 180 ° ( π radianos). Começa-se por escolha de r = tan ( A / 2) e s = tan ( B / 2) para ser qualquer número racional positivos que satisfazem rs <1 . O limite de 1 garante que o ângulo A / 2 + B / 2 seja menor que 90 ° e, portanto, que o ângulo C / 2 seja positivo. O valor t = tan ( C / 2) também será um número racional positivo porque

${\ displaystyle t = \ tan (C / 2) = \ cot (90 ^ {\ circ} -C / 2) = \ cot (A / 2 + B / 2) = {\ frac {1- \ tan (A / 2) \ tan (B / 2)} {\ tan (A / 2) + \ tan (B / 2)}} = {\ frac {1-rs} {r + s}} \ ,.}$

Podemos calcular o seno de qualquer ângulo usando a fórmula , então os senos de são respectivamente. Esses valores são racionais porque os valores de r , s e t são racionais. ${\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {2 \ tan (\ theta / 2)} {1+ \ tan ^ {2} (\ theta / 2)}}}$${\ displaystyle A, B, C}$${\ displaystyle {\ frac {2r} {1 + r ^ {2}}}, {\ frac {2s} {1 + s ^ {2}}}, {\ frac {2t} {1 + t ^ {2 }}} \ ,,}$

Usamos a Lei dos senos para concluir que os comprimentos dos lados do triângulo são proporcionais a esses senos. Os valores inteiros para os comprimentos dos lados são obtidos multiplicando os senos pelo mínimo múltiplo comum de seus denominadores e, em seguida, dividindo pelo maior fator comum dos resultados. Assim, calculamos os comprimentos laterais de um triângulo heroniano primitivo a partir de suas tangentes de meio ângulo.

Quando também é o caso em que r , s ou t é igual a 1, o ângulo interno correspondente será um ângulo reto e os três lados também definirão um triplo pitagórico .

Exemplos

A lista de triângulos heronianos de inteiros primitivos, ordenados por área e, se for o mesmo, por perímetro , começa como na tabela a seguir. "Primitivo" significa que o maior divisor comum dos três comprimentos laterais é igual a 1.

Listas de triângulos heronianos primitivos cujos lados não excedem 6.000.000 podem ser encontradas em "Listas de triângulos heronianos primitivos" . Sascha Kurz, Universidade de Bayreuth, Alemanha. Arquivado (PDF) do original em maio de 2016 . Retirado em 29 de março de 2016 .

Triângulos iguais

Uma forma é chamada de igual se sua área for igual a seu perímetro. Existem exatamente cinco triângulos heronianos iguais: aqueles com comprimentos laterais (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) e (9,10 , 17).

Triângulos Heronianos quase equiláteros

Visto que a área de um triângulo equilátero com lados racionais é um número irracional , nenhum triângulo equilátero é heroniano. No entanto, há uma sequência única de triângulos Heronianos que são "quase equiláteros" porque os três lados são da forma n  - 1, n , n  + 1. Um método para gerar todas as soluções para este problema com base em frações contínuas foi descrito em 1864 por Edward Sang e em 1880 Reinhold Hoppe deu uma expressão de forma fechada para as soluções. Os primeiros poucos exemplos desses triângulos quase equiláteros estão listados na tabela a seguir (sequência A003500 no OEIS ):

Os valores subsequentes de n podem ser encontrados multiplicando o valor anterior por 4 e, em seguida, subtraindo o valor anterior àquele (52 = 4 × 14 - 4, 194 = 4 × 52 - 14, etc.), assim:

${\ displaystyle n_ {t} = 4n_ {t-1} -n_ {t-2} \ ,,}$

onde t denota qualquer linha na tabela. Esta é uma sequência de Lucas . Como alternativa, a fórmula gera todos os n . Equivalentemente, seja A = área ey = raio interno, então, ${\ displaystyle (2 + {\ sqrt {3}}) ^ {t} + (2 - {\ sqrt {3}}) ^ {t}}$

${\ displaystyle {\ big (} (n-1) ^ {2} + n ^ {2} + (n + 1) ^ {2} {\ big)} ^ {2} -2 {\ big (} ( n-1) ^ {4} + n ^ {4} + (n + 1) ^ {4} {\ big)} = (6ny) ^ {2} = (4A) ^ {2}}$

onde { n , y } são soluções para n ²  - 12 y ²  = 4. Uma pequena transformação n = 2x produz uma equação de Pell convencional x ²  - 3 y ²  = 1, cujas soluções podem então ser derivadas da continuação regular expansão de fração para √ 3 .

A variável n tem a forma , onde k é 7, 97, 1351, 18817,…. Os números nesta sequência têm a propriedade de k inteiros consecutivos terem desvio padrão integral . ${\ displaystyle n = {\ sqrt {2 + 2k}}}$

Veja também

• Tetraedro heroniano
• Quadrilátero Brahmagupta
• Pentágono Robbins
• Triângulo inteiro # triângulos heronianos

Referências

links externos

• Weisstein, Eric W. "Triângulo de Heronian" . MathWorld .
• Enciclopédia online de sequências inteiras heronianas
• Wm. Fitch Cheney, Jr. (janeiro de 1929), "Heronian Triangles", Amer. Matemática. Mensalmente , 36 (1): 22–28, doi : 10.1080 / 00029890.1929.11986902 , JSTOR  2300173
• S. sh. Kozhegel'dinov (1994), "On fundamental Heronian triangles", Math. Notes , 55 (2): 151–6, doi : 10.1007 / BF02113294 , S2CID  115233024