Bóson de Goldstone - Goldstone boson

Na física das partículas e da matéria condensada , os bósons de Goldstone ou bósons de Nambu – Goldstone ( NGBs ) são bósons que aparecem necessariamente em modelos que exibem quebra espontânea de simetrias contínuas . Eles foram descobertos por Yoichiro Nambu na física de partículas no contexto do mecanismo de supercondutividade BCS , e posteriormente elucidados por Jeffrey Goldstone , e sistematicamente generalizados no contexto da teoria quântica de campos . Na física da matéria condensada, tais bósons sãoquasipartículas e são conhecidas como modos de Anderson-Bogoliubov.

Esses bósons spinless correspondem aos geradores de simetria interna quebrados espontaneamente, e são caracterizados pelos seus números quânticos . Eles se transformam de forma não linear (mudam) sob a ação desses geradores e, portanto, podem ser excitados do vácuo assimétrico por esses geradores. Assim, eles podem ser pensados como as excitações do campo nas direções de simetria quebradas no espaço do grupo - e não têm massa se a simetria espontaneamente quebrada também não for quebrada explicitamente .

Se, em vez disso, a simetria não for exata, ou seja, se ela for explicitamente quebrada, bem como espontaneamente quebrada, então os bósons de Nambu-Goldstone não são sem massa, embora eles normalmente permaneçam relativamente leves; eles são então chamados de bósons pseudo-Goldstone ou bósons pseudo-Nambu-Goldstone (abreviados PNGBs ).

Teorema de Goldstone

O teorema de Goldstone examina uma simetria contínua genérica que é quebrada espontaneamente ; isto é, suas correntes são conservadas, mas o estado fundamental não é invariável sob a ação das cargas correspondentes. Então, necessariamente, novas partículas escalares sem massa (ou leves, se a simetria não for exata) aparecem no espectro de excitações possíveis. Existe uma partícula escalar - chamada de bóson Nambu-Goldstone - para cada gerador de simetria que é quebrada, ou seja, que não preserva o estado fundamental . O modo Nambu – Goldstone é uma flutuação de comprimento de onda longo do parâmetro de ordem correspondente .

Em virtude de suas propriedades especiais em acoplamento ao vácuo da respectiva teoria de quebra de simetria, bósons de Goldstone desaparecendo momentum ("soft") envolvidos em amplitudes teóricas de campo fazem tais amplitudes desaparecerem ("zeros de Adler").

Exemplos

Natural

Nos fluidos , o fônon é longitudinal e é o bóson de Goldstone da simetria galileana quebrada espontaneamente . Nos sólidos , a situação é mais complicada; os bósons de Goldstone são os fônons longitudinais e transversais e, por acaso, são os bósons de Goldstone da simetria galileana, translacional e rotacional espontaneamente quebrada, sem nenhuma correspondência um-para-um simples entre os modos Goldstone e as simetrias quebradas.
Em ímãs , a simetria rotacional original (presente na ausência de um campo magnético externo) é quebrada espontaneamente de modo que a magnetização aponta para uma direção específica. Os bósons de Goldstone são os magnons , ou seja, ondas de spin nas quais a direção da magnetização local oscila.
Os píons são os bósons pseudo-Goldstone que resultam da quebra espontânea das simetrias de sabor quiral da QCD efetuada pela condensação do quark devido à forte interação. Essas simetrias são posteriormente quebradas explicitamente pelas massas dos quarks, de modo que os píons não são sem massa, mas sua massa é significativamente menor do que as massas típicas dos hadrões.
Os componentes de polarização longitudinal dos bósons W e Z correspondem aos bósons de Goldstone da parte quebrada espontaneamente da simetria eletrofraca SU (2) ⊗ U (1) , os quais, entretanto, não são observáveis. Como essa simetria é medida, os três possíveis bósons de Goldstone são absorvidos pelos três bósons de calibre correspondentes aos três geradores quebrados; isso dá a esses três bósons calibre uma massa e o terceiro grau de liberdade de polarização associado. Isso é descrito no Modelo Padrão por meio do mecanismo de Higgs . Um fenômeno análogo ocorre na supercondutividade , que serviu de fonte original de inspiração para Nambu, a saber, o fóton desenvolve uma massa dinâmica (expressa como exclusão de fluxo magnético de um supercondutor), cf. a teoria de Ginzburg-Landau .

Teoria

Considere um campo escalar complexo $ϕ$ , com a restrição de que , uma constante. Uma maneira de impor uma restrição desse tipo é incluir um termo de interação potencial em sua densidade Lagrangiana , ${\ displaystyle \ phi ^ {*} \ phi = v ^ {2}}$

{\ displaystyle \ lambda (\ phi ^ {*} \ phi -v ^ {2}) ^ {2} ~,}

e tomando o limite como $λ \to \infty$ . Isso é chamado de "modelo σ não linear Abeliano".

A restrição, e a ação, abaixo, são invariantes sob uma transformação de fase U (1), $δϕ = i εϕ$ . O campo pode ser redefinido para fornecer um campo escalar real (ou seja, uma partícula de spin zero) $θ$ sem qualquer restrição por

{\ displaystyle \ phi = ve ^ {i \ theta}}

onde $θ$ é o bóson de Nambu-Goldstone (na verdade é) e a transformação de simetria U (1) afeta uma mudança em $θ$ , a saber ${\ displaystyle v \ theta}$

{\ displaystyle \ delta \ theta = \ epsilon ~,}

mas não preserva o estado fundamental $| 0〉$ (ou seja, a transformação infinitesimal acima não o aniquila - a marca registrada da invariância), como é evidente na carga da corrente abaixo.

Assim, o vácuo é degenerado e não invariante sob a ação da simetria quebrada espontaneamente.

A densidade Lagrangiana correspondente é dada por

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} (\ parcial ^ {\ mu} \ phi ^ {*}) \ parcial _ {\ mu} \ phi -m ^ {2 } \ phi ^ {*} \ phi = {\ frac {1} {2}} (- ive ^ {- i \ theta} \ parcial ^ {\ mu} \ theta) (ive ^ {i \ theta} \ parcial _ {\ mu} \ theta) -m ^ {2} v ^ {2},}

e assim

{\ displaystyle = {\ frac {v ^ {2}} {2}} (\ parcial ^ {\ mu} \ theta) (\ parcial _ {\ mu} \ theta) -m ^ {2} v ^ {2 } ~.}

Observe que o termo constante na densidade Lagrangiana não tem significado físico, e o outro termo nele é simplesmente o termo cinético para um escalar sem massa. ${\ displaystyle m ^ {2} v ^ {2}}$

A corrente U (1) conservada induzida por simetria é

{\ displaystyle J _ {\ mu} = v ^ {2} \ partial _ {\ mu} \ theta ~.}

A carga, Q , resultante dessa corrente muda $θ$ e o estado fundamental para um novo estado fundamental degenerado. Assim, um vácuo com $〈 θ 〉 = 0$ mudará para um vácuo diferente com $〈 θ 〉 = ε$ . A corrente conecta o vácuo original com o estado do bóson Nambu – Goldstone, $〈0 | J 0 (0) | θ 〉 \neq 0$ .

Em geral, em uma teoria com vários campos escalares, $ϕ j$ , o modo de Nambu-Goldstone $ϕ g$ é sem massa e parametriza a curva de possíveis (degenerados) estados de vácuo. Sua marca registrada sob a transformação de simetria quebrada é a expectativa de vácuo de não $desaparecimento$ $〈 δϕ g 〉$ , um parâmetro de ordem , para o desaparecimento $〈 ϕ g 〉 = 0$ , em algum estado fundamental | 0〉 escolhido no mínimo do potencial, $〈\partial V / \partial ϕ i 〉 = 0$ . Em princípio, o vácuo deve ser o mínimo do potencial efetivo que leva em consideração os efeitos quânticos, porém é igual ao potencial clássico para a primeira aproximação. A simetria determina que todas as variações do potencial com respeito aos campos em todas as direções de simetria desapareçam. O valor do vácuo da variação de primeira ordem em qualquer direção desaparece como acabamos de ver; enquanto o valor do vácuo da variação de segunda ordem também deve desaparecer, como segue. O desaparecimento dos valores de vácuo dos incrementos de transformação de simetria de campo não adiciona nenhuma informação nova.

Em contraste, no entanto, as expectativas de vácuo que não se apagam de incrementos de transformação , $〈 δϕ g 〉$ , especificam os autovetores nulos relevantes (Goldstone) da matriz de massa ,

${\ displaystyle \ left \ langle {\ partial ^ {2} V \ over \ partial \ phi _ {i} \ partial \ phi _ {j}} \ right \ rangle \ langle \ delta \ phi _ {j} \ rangle = 0 ~,}$

e, portanto, os valores próprios de massa zero correspondentes.

Argumento de Goldstone

O princípio por trás do argumento de Goldstone é que o estado fundamental não é único. Normalmente, por conservação de corrente, o operador de carga para qualquer corrente de simetria é independente do tempo,

{\ displaystyle {d \ over dt} Q = {d \ over dt} \ int _ {x} J ^ {0} (x) = 0.}

Agir com o operador de carga no vácuo ou aniquila o vácuo , se for simétrico; caso contrário, se não , como é o caso na quebra espontânea de simetria, ele produz um estado de frequência zero a partir dele, por meio de seu recurso de transformação de deslocamento ilustrado acima. Na verdade, aqui, a própria carga está mal definida, cf. o argumento Fabri – Picasso abaixo.

Mas seus comutadores com campos mais bem comportados, ou seja, os deslocamentos de transformação não $desaparecendo$ $〈 δϕ g 〉$ , são, no entanto, invariantes no tempo ,

{\ displaystyle {\ frac {d \ langle \ delta \ phi _ {g} \ rangle} {dt}} = 0,}

gerando assim um $δ (k 0)$ em sua transformada de Fourier. (Isso garante que, inserir um conjunto completo de estados intermediários em um comutador de corrente que não se apaga pode levar ao desaparecimento da evolução no tempo apenas quando um ou mais desses estados não tem massa.)

Assim, se o vácuo não é invariante sob a simetria, a ação do operador de carga produz um estado diferente do vácuo escolhido, mas que tem frequência zero. Esta é uma oscilação de comprimento de onda longo de um campo que é quase estacionário: existem estados físicos com frequência zero, $k 0$ , de modo que a teoria não pode ter uma lacuna de massa .

Este argumento é ainda mais esclarecido tomando o limite com cuidado. Se um operador de carga aproximada atuando em uma região enorme, mas finita, $A$ é aplicado ao vácuo,

{\ displaystyle {d \ over dt} Q_ {A} = {d \ over dt} \ int _ {x} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2A ^ {2}}}} J ^ {0} (x) = - \ int _ {x} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2A ^ {2}}}} \ nabla \ cdot J = \ int _ {x} \ nabla \ left (e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2A ^ {2}}}} \ right) \ cdot J,}

um estado com derivado de tempo de aproximadamente desaparecimento é produzido,

{\ displaystyle \ left \ | {d \ over dt} Q_ {A} | 0 \ rangle \ right \ | \ approx {\ frac {1} {A}} \ left \ | Q_ {A} | 0 \ rangle \ certo \ |.}

Assumindo uma lacuna de massa que não se apaga $m 0$ , a frequência de qualquer estado como o acima, que é ortogonal ao vácuo, é de pelo menos $m 0$ ,

{\ displaystyle \ left \ | {\ frac {d} {dt}} | \ theta \ rangle \ right \ | = \ | H | \ theta \ rangle \ | \ geq m_ {0} \ || \ theta \ rangle \ |.}

Permitir que $A$ se torne grande leva a uma contradição. Consequentemente $m$ ₀ = 0. No entanto, este argumento falha quando a simetria é medida, porque então o gerador de simetria está apenas realizando uma transformação de calibre. Um estado transformado de medidor é o mesmo estado exato, de modo que atuar com um gerador de simetria não o tira do vácuo.

Teorema de Fabri – Picasso.

Q

não existe propriamente no espaço de Hilbert, a menos que

Q | 0〉 = 0

.

O argumento requer que tanto o vácuo quanto a carga $Q$ sejam invariantes translacionalmente, $P | 0〉 = 0$ , $[P, Q] = 0$ .

Considere a função de correlação da carga com ela mesma,

{\ displaystyle {\ begin {align} \ langle 0 | QQ | 0 \ rangle & = \ int d ^ {3} x \ langle 0 | j_ {0} (x) Q | 0 \ rangle \\ & = \ int d ^ {3} x \ left \ langle 0 \ left | e ^ {iPx} j_ {0} (0) e ^ {- iPx} Q \ right | 0 \ right \ rangle \\ & = \ int d ^ { 3} x \ left \ langle 0 \ left | e ^ {iPx} j_ {0} (0) e ^ {- iPx} Qe ^ {iPx} e ^ {- iPx} \ right | 0 \ right \ rangle \\ & = \ int d ^ {3} x \ left \ langle 0 \ left | j_ {0} (0) Q \ right | 0 \ right \ rangle \ end {alinhado}}}

portanto, o integrando do lado direito não depende da posição.

Assim, seu valor é proporcional ao volume total do espaço, - a menos que a simetria seja contínua, $Q$ $| 0〉 = 0$ . Consequentemente, $Q$ não existe propriamente no espaço de Hilbert. ${\ displaystyle \ | Q | 0 \ rangle \ | ^ {2} = \ infty}$

Infrapartículas

Existe uma lacuna discutível no teorema. Se alguém ler o teorema cuidadosamente, ele apenas afirma que existem estados não- vácuo com energias arbitrariamente pequenas. Tome por exemplo um modelo quiral N = 1 super QCD com um VEV squark diferente de zero que é conforme no IR . A simetria quiral é uma simetria global que é (parcialmente) quebrada espontaneamente. Alguns dos "bósons de Goldstone" associados a essa quebra de simetria espontânea são carregados sob o grupo de calibre contínuo e, portanto, esses bósons compostos têm um espectro de massa contínuo com massas arbitrariamente pequenas, mas ainda não há nenhum bóson de Goldstone com massa exatamente zero . Em outras palavras, os bósons de Goldstone são infra-partículas .

Teorias não relativísticas

Uma versão do teorema de Goldstone também se aplica a teorias não relativísticas (e também teorias relativísticas com simetrias de espaço-tempo quebradas espontaneamente, como simetria de Lorentz ou simetria conforme, invariância rotacional ou translacional).

Essencialmente, ele afirma que, para cada simetria quebrada espontaneamente, corresponde alguma quase - partícula sem lacuna de energia - a versão não relativística da lacuna de massa . (Observe que a energia aqui é realmente $H - μN - α \to \cdot P \to$ e não $H.$ ) No entanto, dois geradores diferentes espontaneamente quebrados podem agora dar origem ao mesmo bóson de Nambu-Goldstone. Por exemplo, em um superfluido , tanto a simetria do número de partículas U (1) quanto a simetria Galileana são quebradas espontaneamente. No entanto, o fônon é o bóson Goldstone para ambos.

Em geral, o fônon é efetivamente o bóson Nambu-Goldstone para a simetria Galileana / Lorentz quebrada espontaneamente . No entanto, em contraste com o caso de quebra de simetria interna, quando as simetrias do espaço-tempo são quebradas, o parâmetro de ordem não precisa ser um campo escalar, mas pode ser um campo tensor, e os modos sem massa independentes correspondentes podem agora ser menores do que o número de espontaneamente geradores quebrados, porque os modos Goldstone agora podem ser linearmente dependentes entre si: por exemplo, os modos Goldstone para alguns geradores podem ser expressos como gradientes de modos Goldstone para outros geradores quebrados.

Férmions Nambu-Goldstone

Simetrias fermiônicas globais espontaneamente quebradas, que ocorrem em alguns modelos supersimétricos , levam a férmions Nambu-Goldstone , ou goldstinos . Estes têm spin 1 ⁄ 2 , em vez de 0, e carregam todos os números quânticos dos respectivos geradores de supersimetria quebrados espontaneamente.

A quebra espontânea da supersimetria esmaga ("reduz") estruturas supermultipletas nas realizações não lineares características da supersimetria quebrada, de modo que goldstinos são superparceiros de todas as partículas na teoria, de qualquer spin , e os únicos superparceiros, nesse caso. Ou seja, duas partículas não goldstino estão conectadas apenas a goldstinos por meio de transformações de supersimetria, e não entre si, mesmo que estivessem conectadas antes da quebra da supersimetria. Como resultado, as massas e multiplicidades de spin de tais partículas são arbitrárias.

Veja também

Notas

Referências

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[1] Nambu, Y (1960). "Quasipartículas e invariância de calibre na teoria da supercondutividade". Revisão física . 117 (3): 648–663. Bibcode : 1960PhRv..117..648N . doi : 10.1103 / PhysRev.117.648 .

[2] Goldstone, J (1961). "Teorias de campo com soluções de supercondutor" . Nuovo Cimento . 19 (1): 154–164. Bibcode : 1961NCim ... 19..154G . doi : 10.1007 / BF02812722 .

[3] Goldstone, J; Salam, Abdus; Weinberg, Steven (1962). "Simetrias quebradas". Revisão física . 127 (3): 965–970. Bibcode : 1962PhRv..127..965G . doi : 10.1103 / PhysRev.127.965 .

[4] PW Anderson (1958). "Estados excitados coerentes na teoria da supercondutividade: invariância de calibre e o efeito de Meissner". 110 (4): 827. Citar diário requer |journal=( ajuda )

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[6] NN Bogoliubov; VV Tolmachev; DV Shirkov (1958). "Um Novo Método na Teoria da Supercondutividade". Citar diário requer |journal=( ajuda )CS1 maint: usa o parâmetro de autores ( link )

[9] Prova de Scholarpedia

[10] Veja mecanismo de Higgs .

[11] Fabri, E e Picasso, LE (1966), "Quantum Field Theory and Approximate Symmetries", Phys. Rev. Lett. 16 (1966) 408 doi : 10.1103 / PhysRevLett.16.408.2

[12] Volkov, DV; Akulov, V (1973). “O neutrino é uma partícula de goldstone?”. Letras de Física . B46 (1): 109-110. Bibcode : 1973PhLB ... 46..109V . doi : 10.1016 / 0370-2693 (73) 90490-5 .

[13] Salam, A; et al. (1974). "On Goldstone Fermion". Letras de Física . B49 (5): 465–467. Bibcode : 1974PhLB ... 49..465S . doi : 10.1016 / 0370-2693 (74) 90637-6 .

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