Triângulo dourado (matemática) - Golden triangle (mathematics)

Um triângulo dourado. A proporção a / b é a proporção áurea φ. O ângulo do vértice é . Os ângulos da base são de 72 ° cada.${\ displaystyle \ theta = 36 ^ {\ circ}}$

Gnomon dourado.

Um triângulo dourado , também chamado de triângulo sublime , é um triângulo isósceles em que o lado duplicado está na proporção áurea do lado da base: ${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle {a \ over b} = \ varphi = {1 + {\ sqrt {5}} \ over 2} \ approx 1.618 ~ 034 ~.}$

Ângulos

• O ângulo do vértice é:

${\ displaystyle \ theta = 2 \ arcsin {b \ over 2a} = 2 \ arcsin {1 \ over 2 \ varphi} = 2 \ arcsin {{{\ sqrt {5}} - 1} \ over 4} = {\ pi \ over 5} ~ {\ text {rad}} = 36 ^ {\ circ}.}$

Portanto, o triângulo dourado é um triângulo agudo (isósceles).

• Uma vez que os ângulos de um triângulo somam radianos, cada um dos ângulos de base (CBX e CXB) é:${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ beta = {{\ pi - {\ pi \ over 5}} \ over 2} ~ {\ text {rad}} = {2 \ pi \ over 5} ~ {\ text {rad}} = 72 ^ {\ circ}.}$

Observação:

${\ displaystyle \ beta = \ arccos \ left ({\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {4}} \ right) \, {\ text {rad}} = {2 \ pi \ over 5} ~ {\ text {rad}} = 72 ^ {\ circ}.}$

• O triângulo dourado é identificado exclusivamente como o único triângulo a ter seus três ângulos na proporção 1: 2: 2 (36 °, 72 °, 72 °).

Em outras figuras geométricas

• Os triângulos dourados podem ser encontrados nas pontas dos pentagramas regulares .
• Os triângulos dourados também podem ser encontrados em um decágono regular , um polígono equiangular e equilátero de dez lados , conectando quaisquer dois vértices adjacentes ao centro. Isso ocorre porque: 180 (10−2) / 10 = 144 ° é o ângulo interno, e dividindo -o ao meio através do vértice até o centro: 144/2 = 72 °.
• Além disso, triângulos dourados são encontrados nas redes de várias estrelações de dodecaedros e icosaedros .

Espiral logarítmica

Triângulos dourados inscritos em uma espiral logarítmica

O triângulo dourado é usado para formar alguns pontos de uma espiral logarítmica . Ao dividir ao meio um dos ângulos da base, um novo ponto é criado que, por sua vez, forma outro triângulo dourado. O processo de bissecção pode ser continuado indefinidamente, criando um número infinito de triângulos dourados. Uma espiral logarítmica pode ser desenhada através dos vértices. Essa espiral também é conhecida como espiral equiangular, termo cunhado por René Descartes . "Se uma linha reta é desenhada do pólo a qualquer ponto da curva, ela corta a curva precisamente no mesmo ângulo", portanto equiangular .

Gnomon dourado

Triângulo dourado dividido ao meio em triângulos de Robinson: um triângulo dourado e um gnômon dourado.

Pentagrama regular . Cada canto é um triângulo dourado. A figura também contém cinco gnomos dourados "grandes", formados pela união ao "pequeno" pentágono central de dois cantos que não são adjacentes um ao outro. Desenhar os cinco lados do pentágono "grande" em torno do pentagrama resulta em cinco gnomos dourados "pequenos".

Intimamente relacionado ao triângulo dourado está o gnômon dourado , que é o triângulo isósceles no qual a proporção dos comprimentos laterais iguais ao comprimento da base é o recíproco da proporção áurea . ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ varphi}}}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

"O triângulo dourado tem uma proporção do comprimento da base para o comprimento do lado igual à seção dourada φ, enquanto o gnômon dourado tem uma proporção do comprimento do lado para o comprimento da base igual à seção dourada φ."

${\ displaystyle {a '\ over b'} = {1 \ over \ varphi} = {{{\ sqrt {5}} - 1} \ over 2} \ aproximadamente 0,618034.}$

Ângulos

(As distâncias AX e CX são ambas a ′ = a = φ, e a distância AC é b ′ = φ², como pode ser visto na figura.)

• O ângulo de vértice AXC é:

${\ displaystyle \ theta '= 2 \ arcsin {b' \ over {2a '}} = 2 \ arcsin {{\ varphi ^ {2}} \ over {2 \ varphi}} = 2 \ arcsin {{1+ { \ sqrt {5}}} \ over 4} = {3 \ pi \ over 5} ~ {\ text {rad}} = 108 ^ {\ circ}.}$

Conseqüentemente, o gnômon dourado é um triângulo obtuso (isósceles).

${\ displaystyle (}$Observação: ${\ displaystyle \ theta '= \ arccos \ left ({\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {4}} \ right) \, {\ text {rad}} = {3 \ pi \ over 5 } ~ {\ text {rad}} = 108 ^ {\ circ}.)}$

• Uma vez que os ângulos do triângulo AXC somam radianos, cada um dos ângulos de base CAX e ACX é:${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ beta '= \ theta = {\ pi - {3 \ pi \ over 5} \ over 2} ~ {\ text {rad}} = {\ pi \ over 5} ~ {\ text {rad}} = 36 ^ {\ circ}.}$

Observação: ${\ displaystyle \ beta '= \ theta = \ arccos \ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {4}} \ right) \, {\ text {rad}} = {\ pi \ acima de 5} ~ {\ text {rad}} = 36 ^ {\ circ}.}$

• O gnômon dourado é identificado exclusivamente como um triângulo com seus três ângulos na proporção 1: 1: 3 (36 °, 36 °, 108 °). Seus ângulos de base são de 36 ° cada, que é o mesmo que o vértice do triângulo dourado.

Bissecções

• Cortando um de seus ângulos de base em 2 ângulos iguais, um triângulo dourado pode ser dividido em um triângulo dourado e um gnômon dourado.
• Cortando seu ângulo de vértice em 2 ângulos, sendo um duas vezes o outro, um gnômon dourado pode ser dividido ao meio em um triângulo dourado e um gnômon dourado.
• Um gnômon dourado e um triângulo dourado com seus lados iguais combinando em comprimento, também são chamados de triângulos obtusos e agudos de Robinson.

Tilings

• Um triângulo dourado e dois gnomos dourados lado a lado um pentágono regular .
• Esses triângulos isósceles podem ser usados ​​para produzir telhas de Penrose . Os ladrilhos de Penrose são feitos de pipas e dardos. Uma pipa é feita de dois triângulos dourados e um dardo é feito de dois gnomos.

Veja também

• Retângulo dourado
• Losango dourado
• Triângulo Kepler
• Triângulo dourado de Kimberling
• Alaúde de Pitágoras
• Pentagrama
• Triângulo dourado (composição)

Referências

links externos

• Weisstein, Eric W. "Triângulo de ouro" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Golden gnomon" . MathWorld .
• Triângulos de Robinson na Tilings Encyclopedia
• Triângulo dourado de acordo com Euclides
• A extraordinária reciprocidade de triângulos dourados em Tartapelago de Giorgio Pietrocola