Solução fundamental - Fundamental solution

Em matemática , uma solução fundamental para um operador diferencial parcial linear $L$ é uma formulação na linguagem da teoria da distribuição da ideia mais antiga de uma função de Green (embora, ao contrário das funções de Green, as soluções fundamentais não tratem das condições de contorno).

Em termos da "função" delta de Dirac $δ (x)$ , uma solução fundamental $F$ é uma solução da equação não homogênea

LF = δ (x)

.

Aqui $F$ é, a priori, apenas considerado uma distribuição .

Este conceito tem sido utilizado há muito tempo pelo Laplaciano em duas e três dimensões. Foi investigado para todas as dimensões do Laplaciano por Marcel Riesz .

A existência de uma solução fundamental para qualquer operador com coeficientes constantes - o caso mais importante, diretamente ligado à possibilidade de usar a convolução para resolver um lado direito arbitrário - foi mostrada por Bernard Malgrange e Leon Ehrenpreis . No contexto da análise funcional , as soluções fundamentais são geralmente desenvolvidas por meio da alternativa de Fredholm e exploradas na teoria de Fredholm .

Exemplo

Considere a seguinte equação diferencial $Lf = sin (x)$ com

{\ displaystyle L = {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}}.}

As soluções fundamentais podem ser obtidas resolvendo $LF = δ (x)$ , explicitamente,

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} F (x) = \ delta (x) ~.}

Já que para a função $H de$ Heaviside temos

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} H (x) = \ delta (x) ~,}

existe uma solução

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} F (x) = H (x) + C ~.}

Aqui, $C$ é uma constante arbitrária introduzida pela integração. Por conveniência, defina $C = -1/2$ .

Depois de integrar e escolher a nova constante de integração como zero, um tem ${\ displaystyle {\ frac {dF} {dx}}}$

{\ displaystyle F (x) = xH (x) - {\ frac {1} {2}} x = {\ frac {1} {2}} | x | ~.}

Motivação

Uma vez encontrada a solução fundamental, é fácil encontrar uma solução para a equação original, por meio da convolução da solução fundamental e do lado direito desejado.

Soluções fundamentais também desempenham um papel importante na solução numérica de equações diferenciais parciais pelo método dos elementos de fronteira .

Aplicação ao exemplo

Considere o operador $L$ e a equação diferencial mencionada no exemplo,

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f (x) = \ sin (x) ~.}

Podemos encontrar a solução da equação original por convolução (denotada por um asterisco) do lado direito com a solução fundamental : ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle \ sin (x)}$ ${\ displaystyle F (x) = {\ frac {| x |} {2}}}$

{\ displaystyle f (x) = (F * \ sin) (x): = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2}} | xy | \ sin (y) \ dy ~.}

Isso mostra que alguns cuidados devem ser tomados ao trabalhar com funções que não têm regularidade suficiente (por exemplo, suporte compacto, integrabilidade L ¹ ), uma vez que sabemos que a solução desejada é $f (x) = -sin (x)$ , enquanto o anterior integral diverge para todo $x$ . As duas expressões para $f$ são, no entanto, iguais como distribuições.

Um exemplo que funciona mais claramente

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f (x) = I (x) ~,}

onde $I$ é a função característica (indicador) do intervalo de unidade $[0,1]$ . Nesse caso, pode-se verificar prontamente que a convolução $I * F$ com $F (x) = | x | / 2$ é uma solução, isto é, tem a segunda derivado igual a $eu$ .

Prova de que a convolução é uma solução

Denotar a convolução de funções $F$ e $g$ como $F * g$ . Digamos que estejamos tentando encontrar a solução de $Lf = g (x)$ . Queremos provar que $F * g$ é uma solução da equação anterior, ou seja, queremos provar que $L (F * g) = g$ . Ao aplicar o operador diferencial, $L$ , à convolução, sabe-se que

{\ displaystyle L (F * g) = (LF) * g ~,}

desde que $L$ tenha coeficientes constantes.

Se $F$ é a solução fundamental, o lado direito da equação se reduz a

{\ displaystyle \ delta * g ~.}

Mas, uma vez que a função delta é um elemento de identidade para convolução, isso é simplesmente $g (x)$ . Resumindo,

{\ displaystyle L (F * g) = (LF) * g = \ delta (x) * g (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (xy) g (y) dy = g (x) ~.}

Portanto, se $F$ é a solução fundamental, a convolução $F * g$ é uma solução de $Lf = g (x)$ . Isso não significa que seja a única solução. Diversas soluções para diferentes condições iniciais podem ser encontradas.