Determinante funcional - Functional determinant

Na análise funcional , um ramo da matemática , às vezes é possível generalizar a noção do determinante de uma matriz quadrada de ordem finita (representando uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita para si mesmo) para o caso de dimensão infinita de um operador linear S mapeando um espaço funcional V para si mesmo. A quantidade det correspondente ( S ) é chamado o determinante funcional de S .

Existem várias fórmulas para o determinante funcional. Todos eles se baseiam no fato de que o determinante de uma matriz finita é igual ao produto dos autovalores da matriz. Uma definição matematicamente rigorosa é por meio da função zeta do operador ,

${\ displaystyle \ zeta _ {S} (a) = \ operatorname {tr} \, S ^ {- a} \ ,,}$

onde tr representa o traço funcional : o determinante é então definido por

${\ displaystyle \ det S = e ^ {- \ zeta _ {S} '(0)} \ ,,}$

onde a função zeta no ponto s = 0 é definida pela continuação analítica . Outra generalização possível, frequentemente usada por físicos ao usar o formalismo integral de caminho de Feynman na teoria quântica de campos (QFT), usa uma integração funcional :

${\ displaystyle \ det S \ propto \ left (\ int _ {V} {\ mathcal {D}} \ phi \; e ^ {- \ langle \ phi, S \ phi \ rangle} \ right) ^ {- 2 } \ ,.}$

Esta integral de caminho só é bem definida até alguma constante multiplicativa divergente. Para dar-lhe um significado rigoroso, ele deve ser dividido por outro determinante funcional, cancelando assim efetivamente as "constantes" problemáticas.

Essas são agora, aparentemente, duas definições diferentes para o determinante funcional, uma vinda da teoria quântica de campos e outra vinda da teoria espectral . Cada um envolve algum tipo de regularização : na definição popular em física, dois determinantes só podem ser comparados um com o outro; em matemática, a função zeta foi usada. Osgood, Phillips & Sarnak (1988) mostraram que os resultados obtidos pela comparação de dois determinantes funcionais no formalismo QFT estão de acordo com os resultados obtidos pelo determinante funcional zeta.

Definindo fórmulas

Versão integral do caminho

Para um operador S auto-adjunto positivo em um espaço euclidiano de dimensão finita V , a fórmula

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {\ det S}}} = \ int _ {V} e ^ {- \ pi \ langle x, Sx \ rangle} \, dx}$

detém.

O problema é encontrar uma maneira de dar sentido ao determinante de um operador S em um espaço de função dimensional infinito. Uma abordagem, favorecida na teoria quântica de campos, em que o espaço funcional consiste em caminhos contínuos em um intervalo fechado, é tentar formalmente calcular a integral

${\ displaystyle \ int _ {V} e ^ {- \ pi \ langle \ phi, S \ phi \ rangle} \, {\ mathcal {D}} \ phi}$

onde V é o espaço funcional e o produto interno L ² , e a medida de Wiener . A suposição básica em S é que ele deve ser auto-adjunto e ter espectro discreto λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ , ... com um conjunto correspondente de autofunções f ₁ , f ₂ , f ₃ , ... que são completas em L ² (como seria, por exemplo, o caso para o segundo operador derivado em um intervalo compacto Ω). Isso significa que todas as funções φ podem ser escritas como combinações lineares das funções f _i : ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ phi}$

${\ displaystyle | \ phi \ rangle = \ sum _ {i} c_ {i} | f_ {i} \ rangle \ quad {\ text {com}} c_ {i} = \ langle f_ {i} | \ phi \ rangle.}$

Portanto, o produto interno no exponencial pode ser escrito como

${\ displaystyle \ langle \ phi | S | \ phi \ rangle = \ sum _ {i, j} c_ {i} ^ {*} c_ {j} \ langle f_ {i} | S | f_ {j} \ rangle = \ sum _ {i, j} c_ {i} ^ {*} c_ {j} \ delta _ {ij} \ lambda _ {i} = \ sum _ {i} | c_ {i} | ^ {2} \ lambda _ {i}.}$

Na base das funções f _i , a integração funcional se reduz a uma integração de todas as funções básicas. Formalmente, supondo que nossa intuição do caso de dimensão finita seja transportada para o cenário de dimensão infinita, a medida deve ser igual a

${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ phi = \ prod _ {i} {\ frac {dc_ {i}} {2 \ pi}}.}$

Isso torna a integral funcional um produto das integrais gaussianas :

${\ displaystyle \ int _ {V} {\ mathcal {D}} \ phi \; e ^ {- \ langle \ phi | S | \ phi \ rangle} = \ prod _ {i} \ int _ {- \ infty } ^ {+ \ infty} {\ frac {dc_ {i}} {2 \ pi}} e ^ {- \ lambda _ {i} c_ {i} ^ {2}}.}$

As integrais podem então ser avaliadas, dando

${\ displaystyle \ int _ {V} {\ mathcal {D}} \ phi \; e ^ {- \ langle \ phi | S | \ phi \ rangle} = \ prod _ {i} {\ frac {1} { 2 {\ sqrt {\ pi \ lambda _ {i}}}}} = {\ frac {N} {\ sqrt {\ prod _ {i} \ lambda _ {i}}}}}$

onde N é uma constante infinita que precisa ser tratada por algum procedimento de regularização. O produto de todos os valores próprios é igual ao determinante para espaços de dimensão finita, e definimos formalmente que este é o caso também em nosso caso de dimensão infinita. Isso resulta na fórmula

${\ displaystyle \ int _ {V} {\ mathcal {D}} \ phi \; e ^ {- \ langle \ phi | S | \ phi \ rangle} \ propto {\ frac {1} {\ sqrt {\ det S}}}.}$

Se todas as quantidades convergem em um sentido apropriado, então o determinante funcional pode ser descrito como um limite clássico (Watson e Whittaker). Caso contrário, é necessário realizar algum tipo de regularização . O mais popular deles para calcular determinantes funcionais é a regularização da função zeta . Por exemplo, isso permite o cálculo do determinante dos operadores Laplace e Dirac em uma variedade Riemanniana , usando a função zeta Minakshisundaram – Pleijel . Caso contrário, também é possível considerar o quociente de dois determinantes, fazendo com que as constantes divergentes se cancelem.

Versão da função Zeta

Seja S um operador diferencial elíptico com coeficientes suaves que é positivo nas funções de suporte compacto . Ou seja, existe uma constante c > 0 tal que

${\ displaystyle \ langle \ phi, S \ phi \ rangle \ geq c \ langle \ phi, \ phi \ rangle}$

para todas as funções suaves com suporte compacto φ. Então S tem uma extensão auto-adjunta para um operador em L ² com limite inferior c . Os valores próprios de S podem ser arranjados em uma sequência

${\ displaystyle 0 <\ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ cdots, \ qquad \ lambda _ {n} \ to \ infty.}$

Então, a função zeta de S é definida pela série:

${\ displaystyle \ zeta _ {S} (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {s}}}.}$

Sabe-se que ζ _S tem extensão meromórfica para todo o plano. Além disso, embora seja possível definir a função zeta em situações mais gerais, a função zeta de um operador diferencial elíptico (ou operador pseudodiferencial) é regular em .${\ displaystyle s = 0}$

Formalmente, diferenciar esta série termo a termo dá

${\ displaystyle \ zeta _ {S} '(s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {- \ ln \ lambda _ {n}} {\ lambda _ {n} ^ { s}}},}$

e assim, se o determinante funcional for bem definido, então deve ser dado por

${\ displaystyle \ det S = \ exp \ left (- \ zeta _ {S} '(0) \ right).}$

Uma vez que a continuação analítica da função zeta é regular em zero, isso pode ser rigorosamente adotado como uma definição do determinante.

Este tipo de determinante funcional Zeta-regularizado também aparece ao avaliar somas da forma , integração sobre a dá que pode ser considerado como o logaritmo do determinante para um oscilador Harmônico este último valor é apenas igual , onde está a zeta de Hurwitz função . ${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + a)}}}$${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ ln (n + a)}$${\ displaystyle - \ partial _ {s} \ zeta _ {H} (0, a)}$${\ displaystyle \ zeta _ {H} (s, a)}$

Exemplo prático

O infinito potencial bem

Vamos calcular o determinante do seguinte operador que descreve o movimento de uma partícula de mecânica quântica em um poço de potencial infinito :

${\ displaystyle \ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ right) \ qquad (x \ in [0, L]),}$

onde A é a profundidade do potencial e L é o comprimento do poço. Vamos calcular esse determinante diagonalizando o operador e multiplicando os autovalores . Para não termos que nos preocupar com a constante divergente desinteressante, calcularemos o quociente entre os determinantes do operador com profundidade A e o operador com profundidade A = 0. Os autovalores deste potencial são iguais a

${\ displaystyle \ lambda _ {n} = {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}} + A \ qquad (n \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}).}$

Isso significa que

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ right)}} = \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {{\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2 }} {L ^ {2}}} + A} {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}}} = \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (1 + {\ frac {L ^ {2} A} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ right).}$

Agora podemos usar a representação infinita do produto de Euler para a função seno :

${\ displaystyle \ sin z = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \direito)}$

a partir da qual uma fórmula semelhante para a função seno hiperbólica pode ser derivada:

${\ displaystyle \ sinh z = -i \ sin iz = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {z ^ {2}} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ right).}$

Aplicando isso, descobrimos que

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ right)}} = \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (1 + {\ frac {L ^ {2} A} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ sinh L {\ sqrt {A}}} {L {\ sqrt {A}}}}.}$

Outra forma de calcular o determinante funcional

Para potenciais unidimensionais, existe um atalho que produz o determinante funcional. Baseia-se na consideração da seguinte expressão:

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {1} (x) -m \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {2} (x) -m \ right)}}}$

onde m é uma constante complexa . Esta expressão é uma função meromórfica de m , tendo zeros quando m é igual a um autovalor do operador com potencial V ₁ ( x ) e um pólo quando m é um autovalor do operador com potencial V ₂ ( x ). Agora consideramos as funções ψ^m
₁e ψ^m
₂ com

${\ displaystyle \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {i} (x) -m \ right) \ psi _ {i} ^ {m} (x ) = 0}$

obedecendo às condições de contorno

${\ displaystyle \ psi _ {i} ^ {m} (0) = 0, \ quad \ qquad {\ frac {d \ psi _ {i} ^ {m}} {dx}} (0) = 1.}$

Se construirmos a função

${\ displaystyle \ Delta (m) = {\ frac {\ psi _ {1} ^ {m} (L)} {\ psi _ {2} ^ {m} (L)}},}$

que também é uma função meromórfica de m , vemos que ela tem exatamente os mesmos pólos e zeros que o quociente de determinantes que estamos tentando calcular: se m é um autovalor do operador número um, então ψ^m
₁( x ) será uma autofunção deste, o que significa ψ^m
₁( L ) = 0 ; e analogamente para o denominador. Pelo teorema de Liouville , duas funções meromórficas com os mesmos zeros e pólos devem ser proporcionais uma à outra. No nosso caso, a constante de proporcionalidade acaba sendo um, e obtemos

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {1} (x) -m \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {2} (x) -m \ right)}} = {\ frac {\ psi _ {1} ^ {m} (L)} {\ psi _ {2} ^ {m} (L)}}}$

para todos os valores de m . Para m = 0, obtemos

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {1} (x) \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {2} (x) \ direita)}} = {\ frac {\ psi _ {1} ^ {0} (L)} {\ psi _ {2} ^ {0} (L)}}.}$

O potencial infinito bem revisitado

O problema da seção anterior pode ser resolvido mais facilmente com esse formalismo. As funções ψ⁰
_i( x ) obedecer

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ right) \ psi _ {1} ^ {0} = 0, \ qquad \ psi _ {1} ^ {0} (0) = 0 \ quad, \ qquad {\ frac {d \ psi _ {1} ^ {0}} {dx}} (0) = 1, \\ & - {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi _ {2} ^ {0} = 0, \ qquad \ psi _ {2} ^ {0} (0) = 0 , \ qquad {\ frac {d \ psi _ {2} ^ {0}} {dx}} (0) = 1, \ end {alinhado}}}$

produzindo as seguintes soluções:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & \ psi _ {1} ^ {0} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {A}}} \ sinh x {\ sqrt {A}}, \ \ & \ psi _ {2} ^ {0} (x) = x. \ end {alinhado}}}$

Isso dá a expressão final

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ right)}} = {\ frac {\ sinh L {\ sqrt {A}}} {L {\ sqrt {A}}}}.}$

Veja também

• Fredholm determinante
• Método Fujikawa
• Fantasma Faddeev-Popov

Notas

Referências

• Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators , ISBN 978-3-540-20062-8
• Branson, Thomas P. (2007), "Q-curvatura, invariantes espectrais e teoria da representação", Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications , 3 : Paper 090, 31, arXiv : 0709.2471 , Bibcode : 2007SIGMA ... 3 ..090B , doi : 10.3842 / SIGMA.2007.090 , ISSN  1815-0659 , MR  2366932 , S2CID  14629173
• Branson, Thomas P. (1993), The funcional determinant , Lecture Notes Series, 4 , Seul: Centro de Pesquisa de Análise Global do Instituto de Pesquisa de Matemática da Universidade Nacional de Seul, MR  1325463
• Hörmander, Lars (1968), "A função espectral de um operador elíptico", Acta Mathematica , 121 : 193-218, doi : 10.1007 / BF02391913 , ISSN  0001-5962 , MR  0609014
• Osgood, B .; Phillips, R .; Sarnak, Peter (1988), "Extremals of determinants of Laplacians", Journal of Functional Analysis , 80 (1): 148-211, doi : 10.1016 / 0022-1236 (88) 90070-5 , ISSN  0022-1236 , MR  0960228
• Ray, DB; Singer, IM (1971), " R -torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds", Advances in Mathematics , 7 (2): 145–210, doi : 10.1016 / 0001-8708 (71) 90045-4 , MR  0295381
• Seeley, RT (1967), "Complex powers of an elliptic operator", Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 288-307, MR  0237943
• Shubin, MA (1987), Operadores pseudodiferenciais e teoria espectral , Springer Series in Soviet Mathematics, Berlim, Nova York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13621-7, MR  0883081