Método Frobenius - Frobenius method

Na matemática , o método de Frobenius , em homenagem a Ferdinand Georg Frobenius , é uma maneira de encontrar uma solução de série infinita para uma equação diferencial ordinária de segunda ordem da forma

{\ displaystyle z ^ {2} u '' + p (z) zu '+ q (z) u = 0}

com

{\ displaystyle u '\ equiv {{du} \ over {dz}}}

e

{\ displaystyle u '' \ equiv {{d ^ {2} u} \ over {dz ^ {2}}}}

na vizinhança do ponto singular regular . Pode-se dividir por para obter uma equação diferencial da forma ${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle z ^ {2}}$

{\ displaystyle u '' + {p (z) \ over z} u '+ {q (z) \ over z ^ {2}} u = 0}

que não será solucionável com métodos de série de potências regulares se p ( z ) / z ou q ( z ) / z ² não forem analíticos em z = 0. O método de Frobenius permite criar uma solução de série de potências para tal equação diferencial , desde que p ( z ) eq ( z ) sejam eles próprios analíticos em 0 ou, sendo analíticos em outro lugar, ambos os seus limites em 0 existem (e são finitos).

Explicação

O método de Frobenius é buscar uma solução de série de potências da forma

{\ displaystyle u (z) = z ^ {r} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k}, \ qquad (A_ {0} \ neq 0)}

Diferenciando:

{\ displaystyle u '(z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-1}}

{\ displaystyle u '' (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r-1) (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-2}}

Substituindo a diferenciação acima em nosso ODE original:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} & z ^ {2} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r-1) (k + r) A_ {k} z ^ {k + r- 2} + zp (z) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-1} + q (z) \ sum _ {k = 0 } ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r-1) (k + r) A_ {k} z ^ {k + r} + p (z) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r} + q (z) \ sum _ { k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} [(k + r-1) (k + r) A_ {k} z ^ {k + r} + p (z) (k + r) A_ {k} z ^ {k + r} + q (z) A_ {k} z ^ {k + r}] \ \ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left [(k + r-1) (k + r) + p (z) (k + r) + q (z) \ right] A_ {k} z ^ {k + r} \\ & = \ left [r (r-1) + p (z) r + q (z) \ right] A_ {0} z ^ {r} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left [(k + r-1) (k + r) + p (z) (k + r) + q (z) \ right] A_ {k} z ^ { k + r} = 0 \ end {alinhado}}}

A expressão

{\ displaystyle r \ left (r-1 \ right) + p \ left (0 \ right) r + q \ left (0 \ right) = I (r)}

é conhecido como polinômio indicial , que é quadrático em r . A definição geral do polinômio indicial é o coeficiente da menor potência de z na série infinita. Neste caso acontece que este é o r- ésimo coeficiente, mas é possível que o menor expoente possível seja r - 2, r - 1 ou, outra coisa dependendo da equação diferencial dada. É importante ter em mente esse detalhe. No processo de sincronizar todas as séries da equação diferencial para começar com o mesmo valor de índice (que na expressão acima é k = 1), pode-se terminar com expressões complicadas. No entanto, ao resolver as raízes indiciais, a atenção se concentra apenas no coeficiente da potência mais baixa de z .

Usando isso, a expressão geral do coeficiente de z ^{k + r} é

{\ displaystyle I (k + r) A_ {k} + \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} {(j + r) p ^ {(kj)} (0) + q ^ {(kj )} (0) \ over (kj)!} A_ {j},}

Esses coeficientes devem ser zero, uma vez que devem ser soluções da equação diferencial, então

{\ displaystyle I (k + r) A_ {k} + \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} {(j + r) p ^ {(kj)} (0) + q ^ {(kj )} (0) \ over (kj)!} A_ {j} = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} {(j + r) p ^ {(kj)} (0) + q ^ {(kj)} (0) \ over (kj)! } A_ {j} = - I (k + r) A_ {k}}

{\ displaystyle {1 \ over -I (k + r)} \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} {(j + r) p ^ {(kj)} (0) + q ^ {( kj)} (0) \ over (kj)!} A_ {j} = A_ {k}}

A solução em série com A _k acima,

{\ displaystyle U_ {r} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r}}

satisfaz

{\ displaystyle z ^ {2} U_ {r} (z) '' + p (z) zU_ {r} (z) '+ q (z) U_ {r} (z) = I (r) z ^ { r}}

Se escolhermos uma das raízes do polinômio indicial para r em U _r ( z ), obteremos uma solução para a equação diferencial. Se a diferença entre as raízes não for um número inteiro, obtemos outra solução linearmente independente na outra raiz.

Exemplo

Vamos resolver

{\ displaystyle z ^ {2} f '' - zf '+ (1-z) f = 0 \,}

Divida por z ² para dar

{\ displaystyle f '' - {1 \ over z} f '+ {1-z \ over z ^ {2}} f = f' '- {1 \ over z} f' + \ left ({1 \ over z ^ {2}} - {1 \ sobre z} \ direita) f = 0}

que tem a singularidade necessária em z = 0.

Use a solução em série

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} f & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r} \\ f '& = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-1} \\ f '' & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {k + r-2} \ end {alinhado}}}

Agora, substituindo

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} & (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {k + r-2} - { \ frac {1} {z}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-1} + \ left ({\ frac {1} {z ^ {2}}} - {\ frac {1} {z}} \ right) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {k + r-2} - {\ frac {1} {z}} \ soma _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-1} + {\ frac {1} {z ^ {2}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r} - {\ frac {1} {z}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ { k + r} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {k + r-2} - \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-2} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r-2} - \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r-1} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} ( k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {k + r-2} - \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ { k + r-2} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r-2} - \ sum _ {k-1 = 0} ^ {\ infty} A_ {k-1} z ^ {k-1 + r-1} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {k + r-2} - \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-2} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r-2} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} A_ {k-1} z ^ {k + r-2} \\ & = \ left \ {\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left ((k + r) (k + r-1) - (k + r) +1 \ right) A_ {k} z ^ { k + r-2} \ direita \} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} A_ {k-1} z ^ {k + r-2} \\ & = \ esquerda \ {\ esquerda (r (r-1) - r + 1 \ right) A_ {0} z ^ {r-2} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ((k + r) (k + r-1) - (k + r) +1 \ right) A_ {k} z ^ {k + r-2} \ right \} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} A_ {k-1} z ^ {k + r -2} \\ & = (r-1) ^ {2} A_ {0} z ^ {r-2} + \ left \ {\ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (k + r- 1) ^ {2} A_ {k} z ^ {k + r-2} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} A_ {k-1} z ^ {k + r-2} \ right \} \\ & = (r-1) ^ {2} A_ {0} z ^ {r-2} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ((k + r-1) ^ {2} A_ {k} -A_ {k-1} \ right) z ^ {k + r-2} \ end {alinhado}}}

De ( r - 1) ² = 0, obtemos uma raiz dupla de 1. Usando essa raiz, definimos o coeficiente de z ^{k + r - 2} como zero (para ser uma solução), o que nos dá:

{\ displaystyle (k + 1-1) ^ {2} A_ {k} -A_ {k-1} = k ^ {2} A_ {k} -A_ {k-1} = 0}

portanto, temos a relação de recorrência:

{\ displaystyle A_ {k} = {\ frac {A_ {k-1}} {k ^ {2}}}}

Dadas algumas condições iniciais, podemos resolver a recorrência inteiramente ou obter uma solução na forma de série de potências.

Como a razão dos coeficientes é uma função racional , a série de potências pode ser escrita como uma série hipergeométrica generalizada . ${\ displaystyle A_ {k} / A_ {k-1}}$

Raízes separadas por um inteiro

O exemplo anterior envolveu um polinômio indicial com uma raiz repetida, o que dá apenas uma solução para a equação diferencial fornecida. Em geral, o método de Frobenius fornece duas soluções independentes, desde que as raízes da equação indicial não sejam separadas por um inteiro (incluindo zero).

Se a raiz é repetida ou as raízes diferem por um número inteiro, a segunda solução pode ser encontrada usando:

{\ displaystyle y_ {2} = Cy_ {1} \ ln x + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} B_ {k} x ^ {k + r_ {2}}}

onde é a primeira solução (com base na raiz maior no caso de raízes desiguais), é a raiz menor, e a constante $C$ e os coeficientes devem ser determinados. Depois de escolhido (por exemplo, definindo-o para 1), $C$ e o são determinados até, mas não incluindo , o que pode ser definido arbitrariamente. Isso, então, determina o resto do Em alguns casos, a constante $C$ deve ser zero. Por exemplo, considere a seguinte equação diferencial (equação de Kummer com $a$ $= 1$ e $b$ $= 2$ ): ${\ displaystyle y_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle r_ {2}}$ ${\ displaystyle B_ {k}}$ ${\ displaystyle B_ {0}}$ ${\ displaystyle B_ {k}}$ ${\ displaystyle B_ {r_ {1} -r_ {2}}}$ ${\ displaystyle B_ {k}.}$

{\ displaystyle zu '' + (2-z) u'-u = 0}

As raízes da equação indicial são -1 e 0. Duas soluções independentes são e assim vemos que o logaritmo não aparece em nenhuma solução. A solução tem uma série de potências começando com a potência zero. Em uma série de potências começando com a relação de recorrência, não coloca nenhuma restrição no coeficiente para o termo que pode ser definido arbitrariamente. Se for definido como zero, então com esta equação diferencial todos os outros coeficientes serão zero e obteremos a solução 1 / $z$ . ${\ displaystyle 1 / z}$ ${\ displaystyle (e ^ {z}) / z,}$ ${\ displaystyle (e ^ {z} -1) / z}$ ${\ displaystyle z ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle z ^ {0},}$