Matriz Frobenius - Frobenius matrix

Uma matriz de Frobenius é um tipo especial de matriz quadrada da matemática numérica . Uma matriz é uma matriz de Frobenius se tiver as três propriedades a seguir:

• todas as entradas na diagonal principal são uns
• as entradas abaixo da diagonal principal de no máximo uma coluna são arbitrárias
• todas as outras entradas são zero

A matriz a seguir é um exemplo.

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & a_ {32} & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & a_ {n2} & 0 & \ cdots & 1 \ end {pmatrix}}}$

As matrizes de Frobenius são invertíveis . O inverso de uma matriz de Frobenius é novamente uma matriz de Frobenius, igual à matriz original com sinais alterados fora da diagonal principal. O inverso do exemplo acima é, portanto:

${\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & -a_ {32} & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & -a_ {n2} & 0 & \ cdots & 1 \ end {pmatrix}}}$

As matrizes de Frobenius têm o nome de Ferdinand Georg Frobenius .

O termo matriz de Frobenius também pode ser usado para uma forma de matriz alternativa que difere de uma matriz de identidade apenas nos elementos de uma única linha precedendo a entrada diagonal dessa linha (em oposição à definição acima que tem a matriz diferente da matriz de identidade em uma única coluna abaixo da diagonal). A matriz a seguir é um exemplo desta forma alternativa mostrando uma matriz 4 por 4 com sua 3ª linha diferindo da matriz identidade.

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ a_ {31} & a_ {32} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

Um nome alternativo para esta última forma de matrizes de Frobenius é matriz de transformação de Gauss , após Carl Friedrich Gauss . Eles são usados ​​no processo de eliminação gaussiana para representar as transformações gaussianas.

Se uma matriz é multiplicada da esquerda (multiplicada à esquerda) com uma matriz de transformação de Gauss, uma combinação linear das linhas anteriores é adicionada à linha dada da matriz (no exemplo mostrado acima, uma combinação linear das linhas 1 e 2 ser adicionado à linha 3). A multiplicação com a matriz inversa subtrai a combinação linear correspondente da linha fornecida. Isso corresponde a uma das operações elementares de eliminação gaussiana (além da operação de transpor as linhas e multiplicar uma linha por um múltiplo escalar).

Veja também

• Matriz elementar , um caso especial de uma matriz de Frobenius com apenas um fora da diagonal diferente de zero

Notas

Referências

• Gene H. Golub e Charles F. Van Loan (1996). Matrix Computations , terceira edição, Johns Hopkins University Press. ISBN  0-8018-5413-X (capa dura), ISBN  0-8018-5414-8 (capa dura ).

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