Produto interno Frobenius - Frobenius inner product

Em matemática , o produto interno de Frobenius é uma operação binária que pega duas matrizes e retorna um número. Freqüentemente é denotado . A operação é um produto interno de componentes de duas matrizes como se fossem vetores. As duas matrizes devem ter a mesma dimensão - mesmo número de linhas e colunas, mas não estão restritas a serem matrizes quadradas . ${\ displaystyle \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}}}$

Definição

Dadas duas número complexo -valued n × m matrizes A e B , como escrito explicitamente

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & \ cdots & A_ {1m} \\ A_ {21} & A_ {22} & \ cdots & A_ {2m} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {n1} & A_ {n2} & \ cdots & A_ {nm} \\\ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {B} = {\ begin { pmatrix} B_ {11} & B_ {12} & \ cdots & B_ {1m} \\ B_ {21} & B_ {22} & \ cdots & B_ {2m} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ B_ {n1} & B_ {n2} & \ cdots & B_ {nm} \\\ end {pmatrix}}}$

o produto interno Frobenius é definido como,

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} = \ sum _ {i, j} {\ overline {A_ {ij}}} B_ {ij} \ , = \ mathrm {Tr} \ left ({\ overline {\ mathbf {A} ^ {T}}} \ mathbf {B} \ right) \ equiv \ mathrm {Tr} \ left (\ mathbf {A} ^ { \! \ dagger} \ mathbf {B} \ right)}$

onde a sobrelinha denota o conjugado complexo e denota o conjugado de Hermit . Explicitamente, essa soma é ${\ displaystyle \ dagger}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} = & {\ overline {A}} _ {11} B_ {11} + {\ overline {A}} _ {12} B_ {12} + \ cdots + {\ overline {A}} _ {1m} B_ {1m} \\ & + {\ overline {A}} _ {21} B_ {21} + {\ overline {A}} _ {22} B_ {22} + \ cdots + {\ overline {A}} _ {2m} B_ {2m} \\ & \ vdots \\ & + {\ overline {A}} _ {n1} B_ {n1} + {\ overline {A}} _ {n2} B_ {n2} + \ cdots + {\ overline {A}} _ {nm} B_ {nm} \\\ fim {alinhado}}}$

O cálculo é muito semelhante ao produto escalar , que por sua vez é um exemplo de produto interno.

Relação com outros produtos

Se A e B são matrizes com valor real , o produto interno de Frobenius é a soma das entradas do produto de Hadamard . Se as matrizes forem vetorizadas (ou seja, convertidas em vetores de coluna, denotados por " "), então ${\ displaystyle \ mathrm {vec} (\ cdot)}$

${\ displaystyle \ mathrm {vec} (\ mathbf {A}) = {\ begin {pmatrix} A_ {11} \\ A_ {12} \\\ vdots \\ A_ {21} \\ A_ {22} \\ \ vdots \\ A_ {nm} \ end {pmatriz}}, \ quad \ mathrm {vec} (\ mathbf {B}) = {\ begin {pmatrix} B_ {11} \\ B_ {12} \\\ vdots \\ B_ {21} \\ B_ {22} \\\ vdots \\ B_ {nm} \ end {pmatriz}} \ ,,}$${\ displaystyle \ quad {\ overline {\ mathrm {vec} (\ mathbf {A})}} ^ {T} \ mathrm {vec} (\ mathbf {B}) = {\ begin {pmatrix} {\ overline { A}} _ {11} & {\ overline {A}} _ {12} & \ cdots & {\ overline {A}} _ {21} & {\ overline {A}} _ {22} & \ cdots & {\ overline {A}} _ {nm} \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatrix} B_ {11} \\ B_ {12} \\\ vdots \\ B_ {21} \\ B_ {22} \ \\ vdots \\ B_ {nm} \ end {pmatrix}}}$

Portanto

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} = {\ overline {\ mathrm {vec} (\ mathbf {A})}} ^ {T} \ mathrm {vec} (\ mathbf {B}) \ ,.}$

Propriedades

É uma forma sesquilinear , para quatro matrizes de valores complexos A , B , C , D e dois números complexos a e b :

${\ displaystyle \ langle a \ mathbf {A}, b \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} = {\ overline {a}} b \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}}}$

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {A} + \ mathbf {C}, \ mathbf {B} + \ mathbf {D} \ rangle _ {\ mathrm {F}} = \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf { B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} + \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {D} \ rangle _ {\ mathrm {F}} + \ langle \ mathbf {C}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} + \ langle \ mathbf {C}, \ mathbf {D} \ rangle _ {\ mathrm {F}}}$

Além disso, a troca das matrizes resulta em conjugação complexa:

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {B}, \ mathbf {A} \ rangle _ {\ mathrm {F}} = {\ overline {\ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}}}}}$

Para a mesma matriz,

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {A} \ rangle _ {\ mathrm {F}} \ geq 0 \ ,.}$

Norma Frobenius

O produto interno induz a norma Frobenius

${\ displaystyle \ | \ mathbf {A} \ | _ {\ mathrm {F}} = {\ sqrt {\ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {A} \ rangle _ {\ mathrm {F}}}} \ ,.}$

Exemplos

Matrizes de valor real

Para duas matrizes de valor real, se

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 1 & -1 & 2 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {B} = {\ begin {pmatrix} 8 & -3 & 2 \\ 4 & 1 & -5 \ end {pmatrix}}}$

então

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} & = 2 \ cdot 8 + 0 \ cdot (-3) +6 \ cdot 2 + 1 \ cdot 4 + (- 1) \ cdot 1 + 2 \ cdot (-5) \\ & = 21 \ end {alinhado}}}$

Matrizes de valor complexo

Para duas matrizes de valor complexo, se

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} 1 + i & -2i \\ 3 & -5 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {B} = {\ begin {pmatrix} -2 & 3i \\ 4-3i & 6 \ end {pmatriz}}}$

então

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} & = (1-i) \ cdot (-2) + (2i) \ cdot 3i + 3 \ cdot (4-3i) + (- 5) \ cdot 6 \\ & = - 26-7i \ end {alinhado}}}$

enquanto

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ langle \ mathbf {B}, \ mathbf {A} \ rangle _ {\ mathrm {F}} & = (- 2) \ cdot (1 + i) + (- 3i) \ cdot (-2i) + (4 + 3i) \ cdot 3 + 6 \ cdot (-5) \\ & = - 26 + 7i \ end {alinhado}}}$

Os produtos internos de Frobenius de A consigo mesmo, e B com ele mesmo, são respectivamente

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {A} \ rangle _ {\ mathrm {F}} = 2 + 4 + 9 + 25 = 40}$${\ displaystyle \ qquad \ langle \ mathbf {B}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} = 4 + 9 + 25 + 36 = 74}$

Veja também

• Produto Hadamard (matrizes)
• Produto interno Hilbert-Schmidt
• Produto Kronecker
• Análise de matriz
• Multiplicação da matriz
• Norma matricial
• Produto tensorial dos espaços de Hilbert - o produto interno de Frobenius é o caso especial onde os espaços vetoriais são reais ou complexos de dimensão finita com o produto interno euclidiano usual