Equação de difusão - Diffusion equation

A equação de difusão é uma equação diferencial parcial parabólica . Na física, descreve o comportamento macroscópico de muitas micropartículas no movimento browniano , resultante dos movimentos aleatórios e colisões das partículas (ver as leis de difusão de Fick ). Em matemática, está relacionado aos processos de Markov , como passeios aleatórios , e aplicado em muitos outros campos, como ciência dos materiais , teoria da informação e biofísica . A equação de difusão é um caso especial de equação de convecção-difusão , quando a velocidade em massa é zero.

Declaração

A equação geralmente é escrita como:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot {\ big [} D (\ phi, \ mathbf {r}) \ \ nabla \ phi (\ mathbf {r}, t) {\ big]},}$

onde $ϕ (r, t)$ é a densidade do material difundido no local $r$ e no tempo $t$ e $D (ϕ, r)$ é o coeficiente de difusão coletivo para a densidade $ϕ$ no local $r$ ; e $\nabla$ representa o operador diferencial vetorial del . Se o coeficiente de difusão depende da densidade, a equação é não linear, caso contrário, é linear.

A equação acima se aplica quando o coeficiente de difusão é isotrópico ; no caso de difusão anisotrópica, $D$ é uma matriz simétrica positiva definida , e a equação é escrita (para difusão tridimensional) como:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ { 3} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ left [D_ {ij} (\ phi, \ mathbf {r}) {\ frac {\ partial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ parcial x_ {j}}} \ direita]}$

Se $D$ for constante, a equação se reduz à seguinte equação diferencial linear :

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = D \ nabla ^ {2} \ phi (\ mathbf {r}, t),}

que é idêntica à equação do calor .

Origem histórica

A equação de difusão de partículas foi derivada originalmente por Adolf Fick em 1855.

Derivação

A equação de difusão pode ser derivada trivialmente da equação de continuidade , que afirma que uma mudança na densidade em qualquer parte do sistema é devido à entrada e saída de material para dentro e para fora dessa parte do sistema. Efetivamente, nenhum material é criado ou destruído:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = 0,}

onde j é o fluxo do material em difusão. A equação de difusão pode ser obtida facilmente a partir disso quando combinada com a primeira lei de Fick fenomenológica , que afirma que o fluxo do material em difusão em qualquer parte do sistema é proporcional ao gradiente de densidade local:

{\ displaystyle \ mathbf {j} = -D (\ phi, \ mathbf {r}) \, \ nabla \ phi (\ mathbf {r}, t).}

Se a deriva deve ser levada em consideração, a equação de Smoluchowski fornece uma generalização apropriada.

Discretização

A equação de difusão é contínua no espaço e no tempo. Pode-se discretizar o espaço, o tempo ou tanto o espaço quanto o tempo, que surgem na aplicação. Apenas discretizar o tempo corresponde apenas a obter fatias de tempo do sistema contínuo, e nenhum fenômeno novo surge. Ao discretizar apenas o espaço, a função de Green torna-se o kernel gaussiano discreto , em vez do kernel gaussiano contínuo . Ao discretizar o tempo e o espaço, obtém-se o passeio aleatório .

Discretização (imagem)

A regra do produto é usada para reescrever a equação de difusão do tensor anisotrópico, em esquemas de discretização padrão, porque a discretização direta da equação de difusão com apenas diferenças centrais espaciais de primeira ordem leva a artefatos tabuleiro de xadrez. A equação de difusão reescrita usada na filtragem de imagens:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot \ left [D (\ phi, \ mathbf {r}) \ right] \ nabla \ phi (\ mathbf {r}, t) + {\ rm {tr}} {\ Big [} D (\ phi, \ mathbf {r}) {\ big (} \ nabla \ nabla ^ {T} \ phi (\ mathbf {r}, t) {\ big)} {\ Big]}}$

onde "tr" denota o traço do tensor de 2ª classificação e o sobrescrito " T " denota transposição , em que na filtragem de imagem D ( ϕ , r ) são matrizes simétricas construídas a partir dos autovetores dos tensores da estrutura da imagem . As derivadas espaciais podem então ser aproximadas por duas diferenças finitas centrais de primeira ordem e uma de segunda ordem . O algoritmo de difusão resultante pode ser escrito como uma convolução de imagem com um kernel variável (estêncil) de tamanho 3 × 3 em 2D e 3 × 3 × 3 em 3D.

Veja também

Referências

Leitura adicional

Carslaw, HS e Jaeger, JC (1959). Condução de calor em sólidos . Oxford: Clarendon Press
Crank, J. (1956). The Mathematics of Diffusion . Oxford: Clarendon Press
Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Métodos matemáticos de física (2ª ed.), Nova York: WA Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1
Thambynayagam, RK M (2011). The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers . McGraw-Hill

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