Derivação da solução Schwarzschild - Derivation of the Schwarzschild solution

A solução de Schwarzschild descreve o espaço-tempo sob a influência de um objeto massivo, não rotativo e esférico simétrico. É considerada por alguns como uma das soluções mais simples e úteis para as equações de campo de Einstein .

Suposições e notação

Trabalhando em um gráfico de coordenadas com coordenadas rotuladas de 1 a 4 respectivamente, começamos com a métrica em sua forma mais geral (10 componentes independentes, cada um dos quais é uma função suave de 4 variáveis). A solução é considerada esfericamente simétrica, estática e a vácuo. Para os fins deste artigo, essas suposições podem ser declaradas da seguinte forma (consulte os links relevantes para definições precisas): ${\ displaystyle \ left (r, \ theta, \ phi, t \ right)}$

1. Um espaço - tempo esférico simétrico é aquele que é invariável sob rotações e tomando a imagem espelhada.
2. Um espaço - tempo estático é aquele em que todos os componentes métricos são independentes da coordenada de tempo (de modo que ) e a geometria do espaço-tempo permanece inalterada sob uma reversão de tempo . ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ partial} {\ partial t}} g _ {\ mu \ nu} = 0}$${\ displaystyle t \ rightarrow -t}$
3. Uma solução de vácuo é aquela que satisfaz a equação . A partir das equações de campo de Einstein (com constante cosmológica zero ), isso implica que, uma vez que a contração rende . ${\ displaystyle T_ {ab} = 0}$${\ displaystyle R_ {ab} = 0}$ ${\ displaystyle R_ {ab} - {\ tfrac {R} {2}} g_ {ab} = 0}$${\ displaystyle R = 0}$
4. A assinatura métrica usada aqui é (+, +, +, -).

Diagonalizando a métrica

A primeira simplificação a ser feita é diagonalizar a métrica. Sob a transformação de coordenadas , todos os componentes métricas deve permanecer o mesmo. Os componentes métricos ( ) mudam sob esta transformação como: ${\ displaystyle (r, \ theta, \ phi, t) \ rightarrow (r, \ theta, \ phi, -t)}$${\ displaystyle g _ {\ mu 4}}$${\ displaystyle \ mu \ neq 4}$

${\ displaystyle g _ {\ mu 4} '= {\ frac {\ partial x ^ {\ alpha}} {\ partial x ^ {' \ mu}}} {\ frac {\ partial x ^ {\ beta}} { \ parcial x ^ {'4}}} g _ {\ alpha \ beta} = - g _ {\ mu 4}}$ ( ) ${\ displaystyle \ mu \ neq 4}$

Mas, como esperamos (os componentes métricos permanecem os mesmos), isso significa que: ${\ displaystyle g '_ {\ mu 4} = g _ {\ mu 4}}$

${\ displaystyle g _ {\ mu 4} = \, 0}$ ( ) ${\ displaystyle \ mu \ neq 4}$

Da mesma forma, as transformações de coordenadas e respectivamente fornecem: ${\ displaystyle (r, \ theta, \ phi, t) \ rightarrow (r, \ theta, - \ phi, t)}$${\ displaystyle (r, \ theta, \ phi, t) \ rightarrow (r, - \ theta, \ phi, t)}$

${\ displaystyle g _ {\ mu 3} = \, 0}$ ( ) ${\ displaystyle \ mu \ neq 3}$

${\ displaystyle g _ {\ mu 2} = \, 0}$ ( ) ${\ displaystyle \ mu \ neq 2}$

Juntar tudo isso dá:

${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \, 0}$ ( ) ${\ displaystyle \ mu \ neq \ nu}$

e, portanto, a métrica deve estar no formato:

${\ displaystyle ds ^ {2} = \, g_ {11} \, dr ^ {2} + g_ {22} \, d \ theta ^ {2} + g_ {33} \, d \ phi ^ {2} + g_ {44} \, dt ^ {2}}$

onde os quatro componentes métricos são independentes da coordenada de tempo (pela suposição estática). ${\ displaystyle t}$

Simplificando os componentes

Em cada hipersuperfície de constante , constante e constante (ou seja, em cada linha radial), deve depender apenas (por simetria esférica). Portanto, é uma função de uma única variável: ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle g_ {11}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle g_ {11}}$

${\ displaystyle g_ {11} = A \ left (r \ right)}$

Um argumento semelhante aplicado ao mostra que: ${\ displaystyle g_ {44}}$

${\ displaystyle g_ {44} = B \ left (r \ right)}$

Nas hipersuperfícies de constante e constante , é necessário que a métrica seja a de uma esfera 2: ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle dl ^ {2} = r_ {0} ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2})}$

Escolhendo uma dessas hipersuperfícies (aquela com raio , digamos), os componentes métricos restritos a esta hipersuperfície (que denotamos por e ) devem permanecer inalterados sob rotações através de e (novamente, por simetria esférica). Comparar as formas da métrica nesta hipersuperfície dá: ${\ displaystyle r_ {0}}$${\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {22}}$${\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {33}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {22} \ left (d \ theta ^ {2} + {\ frac {{\ tilde {g}} _ {33}} {{\ tilde {g}} _ {22}}} \, d \ phi ^ {2} \ right) = r_ {0} ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ { 2})}$

que imediatamente produz:

${\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {22} = r_ {0} ^ {2}}$ e ${\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {33} = r_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}$

Mas isso é necessário para manter cada hipersuperfície; conseqüentemente,

${\ displaystyle g_ {22} = \, r ^ {2}}$ e ${\ displaystyle g_ {33} = \, r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}$

Uma maneira intuitiva alternativa de ver isso e deve ser a mesma que para um espaço-tempo plano é que esticar ou comprimir um material elástico de maneira esférica simétrica (radialmente) não mudará a distância angular entre dois pontos. ${\ displaystyle g_ {22}}$${\ displaystyle g_ {33}}$

Assim, a métrica pode ser colocada na forma:

${\ displaystyle ds ^ {2} = A \ left (r \ right) dr ^ {2} + r ^ {2} \, d \ theta ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} + B \ left (r \ right) dt ^ {2}}$

com e funções ainda indeterminadas de . Observe que se ou for igual a zero em algum ponto, a métrica seria singular naquele ponto. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Calculando os símbolos de Christoffel

Usando a métrica acima, encontramos os símbolos de Christoffel , onde estão os índices . O sinal denota uma derivada total de uma função. ${\ displaystyle (1,2,3,4) = (r, \ theta, \ phi, t)}$${\ displaystyle '}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {ik} ^ {1} = {\ begin {bmatrix} A '/ \ left (2A \ right) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -r / A & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r \ sin ^ {2} \ theta / A & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -B '/ \ left (2A \ right) \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {ik} ^ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 / r & 0 & 0 \\ 1 / r & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \ sin \ theta \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} }$

${\ displaystyle \ Gamma _ {ik} ^ {3} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 / r & 0 \\ 0 & 0 & \ cot \ theta & 0 \\ 1 / r & \ cot \ theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} }$

${\ displaystyle \ Gamma _ {ik} ^ {4} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & B '/ \ left (2B \ right) \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ B' / \ left (2B \ right) & 0 & 0 & 0 \ fim {bmatrix}}}$

Usando as equações de campo para encontrar A (r) e B (r)

Para determinar e , as equações de campo de vácuo são empregadas: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle R _ {\ alpha \ beta} = \, 0}$

Conseqüentemente:

${\ displaystyle {\ Gamma _ {\ beta \ alpha, \ rho} ^ {\ rho}} - \ Gamma _ {\ rho \ alpha, \ beta} ^ {\ rho} + \ Gamma _ {\ rho \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ beta \ alpha} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ beta \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ rho \ alpha} ^ {\ lambda} = 0 \ ,,}$

onde uma vírgula é usada para definir o índice que está sendo usado para a derivada. Apenas três dessas equações não são triviais e, após simplificação, tornam-se:

${\ displaystyle 4A'B ^ {2} -2rB''AB + rA'B'B + rB '^ {2} A = 0 \ ,,}$

${\ displaystyle rA'B + 2A ^ {2} B-2AB-rB'A = 0 \ ,,}$

${\ displaystyle -2rB''AB + rA'B'B + rB '^ {2} A-4B'AB = 0}$

(a quarta equação é apenas vezes a segunda equação), onde o primo significa a derivada r das funções. Subtrair a primeira e a terceira equações produz: ${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta}$

${\ displaystyle A'B + AB '= 0 \ Rightarrow A (r) B (r) = K}$

onde é uma constante real diferente de zero. Substituindo na segunda equação e arrumando dá: ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle A (r) B (r) \, = K}$

${\ displaystyle rA '= A (1-A)}$

que tem solução geral:

${\ displaystyle A (r) = \ left (1 + {\ frac {1} {Sr}} \ right) ^ {- 1}}$

para alguma constante real diferente de zero . Portanto, a métrica para uma solução de vácuo estática e esférica simétrica agora tem a forma: ${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 + {\ frac {1} {Sr}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d \ theta ^ {2 } + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}) + K \ left (1 + {\ frac {1} {Sr}} \ right) dt ^ {2}}$

Observe que o espaço-tempo representado pela métrica acima é assintoticamente plano , ou seja , à medida que a métrica se aproxima da métrica de Minkowski e a variedade do espaço-tempo se assemelha à do espaço de Minkowski . ${\ displaystyle r \ rightarrow \ infty}$

Usando a aproximação de campo fraco para encontrar K e S

Este diagrama fornece a rota para encontrar a solução de Schwarzschild usando a aproximação de campo fraco. A igualdade na segunda linha dá g ₄₄ = - c ² + 2 GM / r , assumindo que a solução desejada degenera para a métrica de Minkowski quando o movimento acontece longe do buraco negro ( r se aproxima do infinito positivo).

A geodésica da métrica (obtida onde é extremizada) deve, em algum limite (por exemplo, em direção à velocidade infinita da luz), concordar com as soluções do movimento newtoniano (por exemplo, obtido pelas equações de Lagrange ). (A métrica também deve se limitar ao espaço de Minkowski quando a massa que ela representa desaparecer.) ${\ displaystyle ds}$

${\ displaystyle 0 = \ delta \ int {\ frac {ds} {dt}} dt = \ delta \ int (KE + PE_ {g}) dt}$

(onde está a energia cinética e é a energia potencial devido à gravidade) As constantes e são totalmente determinadas por alguma variante desta abordagem; da aproximação de campo fraco chega-se ao resultado: ${\ displaystyle KE}$${\ displaystyle PE_ {g}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle g_ {44} = K \ left (1 + {\ frac {1} {Sr}} \ right) \ approx -c ^ {2} + {\ frac {2Gm} {r}} = - c ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2Gm} {c ^ {2} r}} \ right)}$

onde está a constante gravitacional , é a massa da fonte gravitacional e é a velocidade da luz. Verifica-se que: ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle K = \, - c ^ {2}}$ e ${\ displaystyle {\ frac {1} {S}} = - {\ frac {2Gm} {c ^ {2}}}}$

Conseqüentemente:

${\ displaystyle A (r) = \ left (1 - {\ frac {2Gm} {c ^ {2} r}} \ right) ^ {- 1}}$ e ${\ displaystyle B (r) = - c ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2Gm} {c ^ {2} r}} \ right)}$

Portanto, a métrica de Schwarzschild pode finalmente ser escrita na forma:

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2Gm} {c ^ {2} r}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}) - c ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2Gm} {c ^ {2} r}} \ direita) dt ^ {2}}$

Observe que:

${\ displaystyle {\ frac {2Gm} {c ^ {2}}} = r_ {s}}$

é a definição do raio de Schwarzschild para um objeto de massa , então a métrica de Schwarzschild pode ser reescrita na forma alternativa: ${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}) - c ^ {2} \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) dt ^ {2}}$

o que mostra que a métrica se torna singular ao se aproximar do horizonte de eventos (ou seja, ). A singularidade métrica não é física (embora haja uma singularidade física real em ), como pode ser mostrado usando uma transformação de coordenadas adequada (por exemplo, o sistema de coordenadas Kruskal-Szekeres ). ${\ displaystyle r \ rightarrow r_ {s}}$${\ displaystyle r = 0}$

Derivação alternativa usando física conhecida em casos especiais

A métrica de Schwarzschild também pode ser derivada usando a física conhecida para uma órbita circular e uma massa pontual temporariamente estacionária. Comece com a métrica com coeficientes que são coeficientes desconhecidos de : ${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle -c ^ {2} = \ left ({ds \ over d \ tau} \ right) ^ {2} = A (r) \ left ({dr \ over d \ tau} \ right) ^ {2 } + r ^ {2} \ left ({d \ phi \ over d \ tau} \ right) ^ {2} + B (r) \ left ({dt \ over d \ tau} \ right) ^ {2} .}$

Agora aplique a equação de Euler-Lagrange à integral do comprimento do arco. Uma vez que é constante, o integrando pode ser substituído por porque a equação EL é exatamente a mesma se o integrando for multiplicado por qualquer constante. A aplicação da equação EL com o integrando modificado produz: ${\ displaystyle {J = \ int _ {\ tau _ {1}} ^ {\ tau _ {2}} {\ sqrt {- \ left ({\ text {d}} s / {\ text {d}} \ tau \ direita) ^ {2}}} \, {\ text {d}} \ tau.}}$${\ displaystyle ds / d \ tau}$${\ displaystyle ({\ text {d}} s / {\ text {d}} \ tau) ^ {2},}$${\ displaystyle J}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} A '(r) {\ dot {r}} ^ {2} + 2r {\ dot {\ phi}} ^ {2} + B' (r) {\ ponto {t}} ^ {2} & = & 2A '(r) {\ ponto {r}} ^ {2} + 2A (r) {\ ddot {r}} \\ 0 & = & 2r {\ ponto {r} } {\ dot {\ phi}} + r ^ {2} {\ ddot {\ phi}} \\ 0 & = & B '(r) {\ dot {r}} {\ dot {t}} + B (r ) {\ ddot {t}} \ end {array}}}$

onde ponto denota diferenciação em relação a ${\ displaystyle \ tau.}$

Em uma órbita circular, então a primeira equação EL acima é equivalente a ${\ displaystyle {\ dot {r}} = {\ ddot {r}} = 0,}$

${\ displaystyle 2r {\ dot {\ phi}} ^ {2} + B '(r) {\ dot {t}} ^ {2} = 0 \ Leftrightarrow B' (r) = - 2r {\ dot {\ phi}} ^ {2} / {\ dot {t}} ^ {2} = - 2r (d \ phi / dt) ^ {2}.}$

A terceira lei do movimento de Kepler é

${\ displaystyle {\ frac {T ^ {2}} {r ^ {3}}} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {G (M + m)}}.}$

Em uma órbita circular, o período é igual, implicando ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle 2 \ pi / (d \ phi / dt),}$

${\ displaystyle \ left ({d \ phi \ over dt} \ right) ^ {2} = GM / r ^ {3}}$

desde o ponto de massa é insignificante em comparação com a massa do corpo central Assim, e integrando este rendimentos , onde é uma constante desconhecida de integração. pode ser determinado definindo em qual caso o espaço-tempo é plano e assim e ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M.}$${\ displaystyle B '(r) = - 2GM / r ^ {2}}$${\ displaystyle B (r) = 2GM / r + C,}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle M = 0,}$${\ displaystyle B (r) = - c ^ {2}.}$${\ displaystyle C = -c ^ {2}}$

${\ displaystyle B (r) = 2GM / rc ^ {2} = c ^ {2} (2GM / c ^ {2} r-1) = c ^ {2} (r_ {s} / r-1). }$

Quando o ponto de massa é temporariamente parado, e A equação métrica original torna-se e a primeira equação acima torna-se EL Quando o ponto de massa é temporariamente parado, é a aceleração da gravidade , Assim ${\ displaystyle {\ dot {r}} = 0}$${\ displaystyle {\ dot {\ phi}} = 0.}$${\ displaystyle {\ dot {t}} ^ {2} = - c ^ {2} / B (r)}$${\ displaystyle A (r) = B '(r) {\ dot {t}} ^ {2} / (2 {\ ddot {r}}).}$${\ displaystyle {\ ddot {r}}}$${\ displaystyle -MG / r ^ {2}.}$

${\ displaystyle A (r) = \ left ({\ frac {-2MG} {r ^ {2}}} \ right) \ left ({\ frac {-c ^ {2}} {2MG / rc ^ {2 }}} \ direita) \ esquerda (- {\ frac {r ^ {2}} {2MG}} \ direita) = {\ frac {1} {1-2MG / (rc ^ {2})}} = { \ frac {1} {1-r_ {s} / r}}.}$

Forma alternativa em coordenadas isotrópicas

A formulação original da métrica usa coordenadas anisotrópicas nas quais a velocidade da luz não é a mesma nas direções radial e transversal. Arthur Eddington forneceu formas alternativas em coordenadas isotrópicas . Para coordenadas esféricas isotrópicos , , , coordenadas e mantêm-se inalterados, e, em seguida, (fornecida ) ${\ displaystyle r_ {1}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle r \ geq {\ frac {2Gm} {c ^ {2}}}}$

${\ displaystyle r = r_ {1} \ left (1 + {\ frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} \ right) ^ {2}}$     ,       e ${\ displaystyle dr = dr_ {1} \ left (1 - {\ frac {(Gm) ^ {2}} {4c ^ {4} r_ {1} ^ {2}}} \ right)}$

${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {2Gm} {c ^ {2} r}} \ right) = \ left (1 - {\ frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} \ direita) ^ {2} / \ esquerda (1 + {\ frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} \ direita) ^ {2}}$

Então, para coordenadas retangulares isotrópicos , , , ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle x = r_ {1} \, \ sin (\ theta) \, \ cos (\ phi) \ quad,}$   ${\ displaystyle y = r_ {1} \, \ sin (\ theta) \, \ sin (\ phi) \ quad,}$   ${\ displaystyle z = r_ {1} \, \ cos (\ theta)}$

A métrica então se torna, em coordenadas retangulares isotrópicas:

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 + {\ frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} \ right) ^ {4} (dx ^ {2} + dy ^ {2 } + dz ^ {2}) - c ^ {2} dt ^ {2} \ left (1 - {\ frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} \ right) ^ {2} / \ left (1 + {\ frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} \ right) ^ {2}}$

Dispensando a suposição estática - teorema de Birkhoff

Ao derivar a métrica de Schwarzschild, foi assumido que a métrica era vácuo, esfericamente simétrica e estática . Na verdade, a suposição estática é mais forte do que o necessário, pois o teorema de Birkhoff afirma que qualquer solução de vácuo esfericamente simétrica das equações de campo de Einstein é estacionária ; então, obtém-se a solução de Schwarzschild. O teorema de Birkhoff tem como consequência que qualquer estrela pulsante que permaneça esfericamente simétrica não pode gerar ondas gravitacionais (já que a região exterior à estrela deve permanecer estática).

Veja também

• Karl Schwarzschild
• Kerr metric
• Reissner – Nordström métrica

Referências