Continuum (topologia) - Continuum (topology)

No campo matemático da topologia de conjuntos de pontos , um continuum (plural: "continua") é um espaço métrico conectado compacto não vazio ou, com menos frequência, um espaço de Hausdorff conectado compacto . A teoria do contínuo é o ramo da topologia dedicado ao estudo dos contínuos.

Definições

Um continuum que contém mais de um ponto é denominado não degenerado .
Um subconjunto Um de um continuum X de tal forma que um si é um continuum é chamado um subcontinuum de X . Um homeomorfos espaço para um subcontinuum do plano euclidiano R ² é chamado uma série contínua plana .
Um contínuo X é homogéneo se para cada dois pontos x e y em X , existe uma homeomorphism h : X → X tal que h ( x ) = y .
Um continuum de Peano é um continuum conectado localmente em cada ponto.
Um continuum indecomponível é um continuum que não pode ser representado como a união de dois subcontinua adequados. Um continuum X é hereditariamente indecomponível se todo subcontínuo de X for indecomponível.
A dimensão de um continuum geralmente significa sua dimensão topológica . Um continuum unidimensional é freqüentemente chamado de curva .

Um arco é um espaço homeomórfico ao intervalo fechado [0,1]. Se h : [0,1] → X é um homeomorfismo e h (0) = p e h (1) = q então p e q são chamados de pontos finais de X ; também se diz que X é um arco de p a q . Um arco é o tipo mais simples e familiar de um continuum. É unidimensional, conectado em arco e conectado localmente.
A curva senoidal do topologista é um subconjunto do plano que é a união do gráfico da função f ( x ) = sin (1 / x ), 0 < x ≤ 1 com o segmento −1 ≤ y ≤ 1 do y - eixo. É um continuum unidimensional que não é conectado em arco e é desconectado localmente nos pontos ao longo do eixo y .
O círculo de Varsóvia é obtido "fechando" a curva senoidal do topologista por um arco que conecta (0, -1) e (1, sen (1)). É um continuum unidimensional cujos grupos de homotopia são todos triviais, mas não é um espaço contraível .

Círculo de varsóvia

Uma n- célula é um espaço homeomórfico à bola fechada no espaço euclidiano R ⁿ . É contraível e é o exemplo mais simples de um continuum n- dimensional.
Uma n -sfera é um espaço homeomórfico à n-esfera padrão no espaço euclidiano ( n + 1) -dimensional. É um continuum homogêneo n- dimensional que não é contraível e, portanto, diferente de uma célula n .
O cubo de Hilbert é um continuum de dimensão infinita.
Os solenóides estão entre os exemplos mais simples de contínuos homogêneos indecomponíveis. Eles não estão conectados em arco nem localmente.
O tapete Sierpinski , também conhecido como curva universal de Sierpinski , é um continuum planar unidimensional de Peano que contém uma imagem homeomórfica de qualquer continuum planar unidimensional.
O pseudo-arco é um continuum planar hereditariamente indecomponível homogêneo.

Existem duas técnicas fundamentais para construir contínuos, por meio de interseções aninhadas e limites inversos .

Se { X _n } é uma família aninhada de contínuos, ou seja, X _n ⊇ X _{n +1} , então sua interseção é um contínuo.

Se {( X _n , f _n )} é uma sequência inversa de contínuos X _n , chamados de espaços de coordenadas , juntamente com mapas contínuos f _n : X _{n +1} → X _n , chamados de mapas de ligação , então seu limite inverso é um continuum.

Um produto finito ou contável de contínuos é um continuum.

Sam B. Nadler, Jr, teoria do Continuum. Uma introdução . Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker. ISBN 0-8247-8659-9 .

Problemas abertos na teoria do contínuo
Exemplos na teoria do contínuo
Continuum Theory and Topological Dynamics , M. Barge e J. Kennedy, em Open Problems in Topology, J. van Mill e GM Reed (Editores) Elsevier Science Publishers BV (North-Holland), 1990.
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