Conjunto vazio - Empty set

O conjunto vazio é o conjunto que não contém elementos.

Em matemática , o conjunto vazio é o conjunto único sem elementos ; seu tamanho ou cardinalidade (contagem de elementos em um conjunto) é zero . Algumas teorias de conjunto axiomáticas garantem que o conjunto vazio existe incluindo um axioma de conjunto vazio , enquanto em outras teorias, sua existência pode ser deduzida. Muitas propriedades possíveis de conjuntos são vagamente verdadeiras para o conjunto vazio.

Qualquer conjunto diferente do conjunto vazio é chamado de não vazio .

Em alguns livros didáticos e popularizações, o conjunto vazio é referido como o "conjunto nulo". No entanto, conjunto nulo é uma noção distinta dentro do contexto da teoria da medida , em que descreve um conjunto de medida zero (que não é necessariamente vazio). O conjunto vazio também pode ser chamado de conjunto vazio .

Notação

Um símbolo para o conjunto vazio

Notações comuns para o conjunto vazio incluem "{}", " " e "∅". Os dois últimos símbolos foram introduzidos pelo grupo Bourbaki (especificamente André Weil ) em 1939, inspirados pela letra Ø nos alfabetos dinamarquês e norueguês . No passado, "0" era ocasionalmente usado como um símbolo para o conjunto vazio, mas agora isso é considerado um uso impróprio da notação.

O símbolo ∅ está disponível no ponto Unicode U + 2205. Pode ser codificado em HTML como ∅e como ∅. Ele pode ser codificado em LaTeX como \varnothing. O símbolo é codificado em LaTeX como . \emptyset

Ao escrever em idiomas como dinamarquês e norueguês, onde o caractere do conjunto vazio pode ser confundido com a letra alfabética Ø (como ao usar o símbolo em linguística), o caractere Unicode U + 29B0 CONJUNTO VAZIO REVERSO ⦰ pode ser usado em seu lugar.

Propriedades

Na teoria dos conjuntos axiomáticos padrão , pelo princípio da extensionalidade , dois conjuntos são iguais se eles têm os mesmos elementos. Como resultado, pode haver apenas um conjunto sem elementos, daí o uso de "o conjunto vazio" em vez de "um conjunto vazio".

A seguir lista o documento de algumas das propriedades mais notáveis ​​relacionadas ao conjunto vazio. Para obter mais informações sobre os símbolos matemáticos usados, consulte Lista de símbolos matemáticos .

Para qualquer conjunto A :

  • O conjunto vazio é um subconjunto de A :
  • A união de A com o conjunto vazio é A :
  • A interseção de A com o conjunto vazio é o conjunto vazio:
  • O produto cartesiano de A e o conjunto vazio é o conjunto vazio:

O conjunto vazio possui as seguintes propriedades:

  • Seu único subconjunto é o próprio conjunto vazio:
  • O conjunto de potência do conjunto vazio é o conjunto que contém apenas o conjunto vazio:
  • O número de elementos do conjunto vazio (ou seja, sua cardinalidade ) é zero:

A conexão entre o conjunto vazio e o zero vai além, entretanto: na definição teórica dos conjuntos padrão dos números naturais , os conjuntos são usados ​​para modelar os números naturais. Nesse contexto, zero é modelado pelo conjunto vazio.

Para qualquer propriedade P :

  • Para cada elemento de , a propriedade P mantém ( verdade vazia ).
  • Não há nenhum elemento para o qual a propriedade P seja válida.

Por outro lado, se para alguma propriedade P e algum conjunto V , as seguintes duas afirmações são válidas:

  • Para cada elemento de V, a propriedade P possui
  • Não há elemento de V para o qual a propriedade P é válida

então

Pela definição de subconjunto , o conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto Uma . Ou seja, cada elemento x de pertencer a um . Na verdade, se não fosse verdade que cada elemento da está em A , então não haveria pelo menos um elemento de que não está presente em A . Uma vez que existem elementos em tudo, não há nenhum elemento de que não está em A . Qualquer declaração que comece "para cada elemento de " não está fazendo nenhuma afirmação substantiva; é uma verdade vazia . Isso é freqüentemente parafraseado como "tudo é verdadeiro para os elementos do conjunto vazio".

Operações no conjunto vazio

Ao falar da soma dos elementos de um conjunto finito, somos inevitavelmente levados à convenção de que a soma dos elementos do conjunto vazio é zero. A razão para isso é que zero é o elemento de identidade para adição. Da mesma forma, o produto dos elementos do conjunto vazio deve ser considerado um (ver produto vazio ), uma vez que um é o elemento de identidade para a multiplicação.

Uma perturbação é uma permutação de um conjunto sem pontos fixos . O conjunto vazio pode ser considerado uma perturbação de si mesmo, porque tem apenas uma permutação ( ), e é vacuamente verdade que nenhum elemento (do conjunto vazio) pode ser encontrado que retenha sua posição original.

Em outras áreas da matemática

Números reais estendidos

Uma vez que o conjunto vazio não tem nenhum membro quando é considerado um subconjunto de qualquer conjunto ordenado , cada membro desse conjunto será um limite superior e um limite inferior para o conjunto vazio. Por exemplo, quando considerado como um subconjunto dos números reais, com sua ordem usual, representada pela reta do número real , cada número real é um limite superior e inferior para o conjunto vazio. Quando considerado como um subconjunto dos reais estendidos formados pela adição de dois "números" ou "pontos" aos números reais (ou seja , infinito negativo , denotado que é definido como menor do que qualquer outro número real estendido, e infinito positivo , denotado que é definido para ser maior do que qualquer outro número real estendido), temos que:

e

Ou seja, o menor limite superior (sup ou supremo ) do conjunto vazio é infinito negativo, enquanto o maior limite inferior (inf ou infimum ) é infinito positivo. Por analogia com o anterior, no domínio dos reais estendidos, o infinito negativo é o elemento de identidade para os operadores máximo e supremo, enquanto o infinito positivo é o elemento de identidade para os operadores mínimo e mínimo.

Topologia

Em qualquer espaço topológico X , o conjunto vazio é aberto por definição, como é X . Uma vez que o complemento de um conjunto aberto é fechado e o conjunto vazio e X são complementos um do outro, o conjunto vazio também é fechado, tornando-o um conjunto clopen . Além disso, o conjunto vazio é compacto pelo fato de que todo conjunto finito é compacto.

O fechamento do conjunto vazio está vazio. Isso é conhecido como "preservação de uniões nulas ".

Teoria da categoria

Se for um conjunto, então existe precisamente uma função de para a função vazia . Como resultado, o conjunto vazio é o objeto inicial único da categoria de conjuntos e funções.

O conjunto vazio pode ser transformado em um espaço topológico , denominado espaço vazio, de apenas uma maneira: definindo o conjunto vazio a ser aberto . Este espaço topológico vazio é o único objeto inicial na categoria de espaços topológicos com mapas contínuos . Na verdade, é um objeto inicial estrito : apenas o conjunto vazio tem uma função para o conjunto vazio.

Teoria de conjuntos

Na construção de von Neumann dos ordinais , 0 é definido como o conjunto vazio e o sucessor de um ordinal é definido como . Assim, temos , , , e assim por diante. A construção de von Neumann, junto com o axioma do infinito , que garante a existência de pelo menos um conjunto infinito, pode ser usada para construir o conjunto dos números naturais , de forma que os axiomas da aritmética de Peano sejam satisfeitos.

Existência questionada

Teoria dos conjuntos axiomáticos

Na teoria dos conjuntos de Zermelo , a existência do conjunto vazio é assegurada pelo axioma do conjunto vazio , e sua singularidade segue do axioma da extensionalidade . No entanto, o axioma do conjunto vazio pode ser mostrado redundante de pelo menos duas maneiras:

Questões filosóficas

Embora o conjunto vazio seja um conceito matemático padrão e amplamente aceito, ele permanece uma curiosidade ontológica , cujo significado e utilidade são debatidos por filósofos e lógicos.

O conjunto vazio não é a mesma coisa que nada ; antes, é um conjunto sem nada dentro dele e um conjunto é sempre alguma coisa . Esse problema pode ser superado vendo um conjunto como uma bolsa - uma bolsa vazia sem dúvida ainda existe. Darling (2004) explica que o conjunto vazio não é nada, mas sim "o conjunto de todos os triângulos com quatro lados, o conjunto de todos os números que são maiores do que nove, mas menores do que oito, e o conjunto de todos os movimentos iniciais no xadrez que envolvem um rei . "

O silogismo popular

Nada é melhor do que a felicidade eterna; um sanduíche de presunto é melhor do que nada; portanto, um sanduíche de presunto é melhor do que a felicidade eterna

é freqüentemente usado para demonstrar a relação filosófica entre o conceito de nada e o conjunto vazio. Darling escreve que o contraste pode ser visto reescrevendo as afirmações "Nada é melhor do que a felicidade eterna" e "[Um] sanduíche de presunto é melhor do que nada" em um tom matemático. De acordo com Darling, o primeiro é equivalente a "O conjunto de todas as coisas que são melhores do que a felicidade eterna é " e o último a "O conjunto {sanduíche de presunto} é melhor do que o conjunto ". O primeiro compara elementos de conjuntos, enquanto o segundo compara os próprios conjuntos.

Jonathan Lowe argumenta que, embora o conjunto vazio:

"foi, sem dúvida, um marco importante na história da matemática, ... não devemos supor que sua utilidade no cálculo dependa de realmente denotar algum objeto."

também é o caso de:

"Tudo o que sempre somos informados sobre o conjunto vazio é que ele (1) é um conjunto, (2) não tem membros e (3) é único entre os conjuntos por não ter membros. No entanto, há muitas coisas que ' não têm membros, no sentido teórico do conjunto, ou seja, todos os não-conjuntos. É perfeitamente claro por que essas coisas não têm membros, pois não são conjuntos. O que não está claro é como pode haver, exclusivamente entre os conjuntos, um conjunto que não tem membros. Não podemos conjurar tal entidade por mera estipulação. "

George Boolos argumentou que muito do que foi obtido até agora pela teoria dos conjuntos pode ser facilmente obtido pela quantificação plural sobre os indivíduos, sem reificar conjuntos como entidades singulares tendo outras entidades como membros.

Veja também

Referências

Leitura adicional

links externos