Pilha algébrica - Algebraic stack

Em matemática, uma pilha algébrica é uma vasta generalização de espaços algébricos , ou esquemas , que são fundamentais para estudar a teoria dos módulos . Muitos espaços de módulos são construídos usando técnicas específicas para pilhas algébricas, como o teorema da representabilidade de Artin , que é usado para construir o espaço de módulos de curvas algébricas pontiagudas e a pilha de módulos de curvas elípticas . Originalmente, eles foram introduzidos por Grothendieck para rastrear automorfismos em espaços de módulos, uma técnica que permite tratar esses espaços de módulos como se seus esquemas subjacentes ou espaços algébricos fossem lisos . Mas, por meio de muitas generalizações, a noção de pilhas algébricas foi finalmente descoberta por Michael Artin . ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$

Definição

Motivação

Um dos exemplos motivadores de uma pilha algébrica é considerar um esquema grupóide sobre um esquema fixo . Por exemplo, se (onde é o regime do grupo de raízes da unidade), , é o mapa de projecção, é a acção grupo${\ displaystyle (R, U, s, t, m)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R = \ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle U = \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}}$${\ displaystyle s = {\ text {pr}} _ {U}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ zeta _ {n} \ cdot (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = (\ zeta _ {n} x_ {1}, \ ldots, \ zeta _ {n} x_ {n })}$

e é o mapa de multiplicação${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle m: (\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}) \ times _ {\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}} (\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}) \ a \ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}}$

em . Então, dado um -scheme , o esquema grupóide forma um grupóide (onde estão seus functores associados). Além disso, esta construção é funcional na formação de um 2-functor contravariante${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ pi: X \ to S}$${\ displaystyle (R (X), U (X), s, t, m)}$${\ displaystyle R, U}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} / S)}$

${\ displaystyle (R (-), U (-), s, t, m): (\ mathrm {Sch} / S) ^ {\ mathrm {op}} \ to {\ text {Cat}}}$

onde está a 2 categorias de pequenas categorias . Outra maneira de ver isso é como uma categoria fibrosa por meio da construção Grothendieck . Obtendo as condições técnicas corretas, como a topologia Grothendieck em , dá a definição de uma pilha algébrica. Por exemplo, no agrupamento de pontos de um campo associado , sobre o objeto de origem está o agrupamento de automorfismos . Observe que, para obter uma pilha algébrica de , e não apenas uma pilha, são necessárias hipóteses técnicas adicionais para . ${\ displaystyle {\ text {Cat}}}$ ${\ displaystyle [U / R] \ to (\ mathrm {Sch} / S)}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} / S)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 0 \ in \ mathbb {A} _ {S} ^ {n} (k)}$${\ displaystyle \ mu _ {n} (k)}$${\ displaystyle [U / R]}$${\ displaystyle [U / R]}$

Pilhas algébricas

Acontece que o uso da topologia fppf (fielmente plana e localmente de apresentação finita) , denotada , forma a base para definir pilhas algébricas. Então, uma pilha algébrica é uma categoria de fibra${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} / S)}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} / S) _ {fppf}}$

${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to (\ mathrm {Sch} / S) _ {fppf}}$

de tal modo que

1. ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$é uma categoria com fibras em grupóides , o que significa que a supercategoria para alguns é um grupóide${\ displaystyle \ pi: X \ to S}$
2. O mapa diagonal de categorias de fibra é representado como espaços algébricos${\ displaystyle \ Delta: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {X}} \ times _ {S} {\ mathcal {X}}}$
3. Existe um esquema e um associado 1-morfismo de categorias fibrosas que é sobrejetivo e liso, denominado atlas .${\ displaystyle fppf}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$

Explicação das condições técnicas

Usando a topologia fppf

Em primeiro lugar, a topologia fppf é usada porque se comporta bem em relação à descida . Por exemplo, se houver esquemas e puderem ser refinados para uma cobertura fppf de , se for plana, do tipo localmente finito ou localmente de apresentação finita, então tem esta propriedade. esse tipo de ideia pode ser estendido ainda mais considerando as propriedades locais no alvo ou na origem de um morfismo . Para uma capa , dizemos que uma propriedade é local na fonte se${\ displaystyle X, Y \ in \ operatorname {Ob} (\ mathrm {Sch} / S)}$${\ displaystyle X \ a Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f: X \ a Y}$${\ displaystyle \ {X_ {i} \ a X \} _ {i \ in I}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ displaystyle f: X \ a Y}$tem se e somente se cada um tem .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle X_ {i} \ a Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Há uma noção análoga no destino, chamada local no destino . Isso significa dar uma capa${\ displaystyle \ {Y_ {i} \ para Y \} _ {i \ in I}}$

${\ displaystyle f: X \ a Y}$tem se e somente se cada um tem .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle X \ times _ {Y} Y_ {i} \ para Y_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Para a topologia fppf, ter uma imersão é local no destino. Além das propriedades locais anteriores na origem para a topologia fppf, ser universalmente aberto também é local na origem. Além disso, sendo localmente Noetherian e Jacobson são locais na origem e no destino da topologia fppf. Isso não se aplica à topologia fpqc, tornando-o não tão "bom" em termos de propriedades técnicas. Mesmo que isso seja verdade, o uso de pilhas algébricas sobre a topologia fpqc ainda tem seu uso, como na teoria da homotopia cromática . Isso ocorre porque a pilha Moduli de leis de grupo formais é uma pilha algébrica fpqc página ⁴⁰ . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {fg}}$

Diagonal representável

Por definição, um 1-morfismo de categorias com fibras em grupóides é representável por espaços algébricos, o que significa que existe um espaço algébrico${\ displaystyle f: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {Y}}}$

${\ displaystyle F: (\ mathrm {Sch} / S) _ {fppf} ^ {\ mathrm {op}} \ to \ operatorname {Conjuntos}}$

de modo que a categoria de fibra associada seja equivalente a . Existem várias condições equivalentes para a representabilidade da diagonal que ajudam a dar intuição para essa condição técnica, mas uma das principais motivações é a seguinte: para um esquema e objetos, o feixe é representável como um espaço algébrico. Em particular, o grupo estabilizador de qualquer ponto da pilha pode ser representado como um espaço algébrico. Outra equivalência importante de ter uma diagonal representável é a condição técnica de que a interseção de quaisquer dois espaços algébricos em uma pilha algébrica seja um espaço algébrico. Reformulado com produtos de fibra${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {F} \ to (F / S) _ {fppf}}$${\ displaystyle (F / U) _ {fppf} \ times _ {\ mathcal {Y}} {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x, y \ in \ operatorname {Ob} ({\ mathcal {X}} _ {U})}$${\ displaystyle \ operatorname {Isom} (x, y)}$${\ displaystyle x: \ operatorname {Spec} (k) \ to {\ mathcal {X}} _ {\ operatorname {Spec} (k)}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} Y \ times _ {\ mathcal {X}} Z & \ to & Y \\\ downarrow && \ downarrow \\ Z & \ to & {\ mathcal {X}} \ end {matrix}} }$

a representabilidade da diagonal é equivalente a ser representável para um espaço algébrico . Isso ocorre porque, dados morfismos de espaços algébricos, eles se estendem aos mapas do mapa diagonal. Há uma afirmação análoga para espaços algébricos que dá representabilidade de um feixe como um espaço algébrico. ${\ displaystyle Y \ para {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y \ para {\ mathcal {X}}, Z \ para {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}} \ times {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle (F / S) _ {fppf}}$

Observe que uma condição análoga de representabilidade da diagonal é válida para algumas formulações de pilhas mais altas, onde o produto de fibra é uma pilha para uma pilha . ${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$

Atlas sobrejetivo e liso

Lema 2-Yoneda

A existência de um esquema e um 1-morfismo de categorias fibrosas que é sobrejetivo e suave depende da definição de morfismos suaves e sobrejetivos de categorias fibrosas. Aqui é a pilha algébrica do functor representável em um upgrade para uma categoria fibered em grupóides em que as categorias têm apenas morphisms triviais. Isso significa que o conjunto${\ displaystyle fppf}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle h_ {U}}$${\ displaystyle h_ {U} :( Sch / S) _ {fppf} ^ {op} \ to Sets}$

${\ displaystyle h_ {U} (T) = {\ text {Hom}} _ {(Sch / S) _ {fppf}} (T, U)}$

é considerado como uma categoria, denotado , com objetos em como morphisms${\ displaystyle h _ {\ mathcal {U}} (T)}$${\ displaystyle h_ {U} (T)}$${\ displaystyle fppf}$

${\ displaystyle f: T \ to U}$

e morfismos são o morfismo de identidade. Portanto

${\ displaystyle h _ {\ mathcal {U}} :( Sch / S) _ {fppf} ^ {op} \ to Groupoids}$

é um 2-functor de grupóides. Mostrar que este 2-functor é um feixe é o conteúdo do lema 2-Yoneda . Usando a construção de Grothendieck, existe uma categoria associada com fibras em grupóides denotados . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$

Morfismos representáveis ​​de categorias com fibras em grupóides

Para dizer que esse morfismo é suave ou sobrejetivo, temos que introduzir morfismos representáveis. Um morfismo de categorias fibrosos em grupóides sobre diz-se ser representável se dado um objeto em e um objecto do produto 2-fibered${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {Y}}}$${\ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$${\ displaystyle T \ to S}$${\ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$${\ displaystyle t \ in {\ text {Ob}} ({\ mathcal {Y}} _ {T})}$

${\ displaystyle (Sch / T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T}}$

é representável por um esquema. Então, podemos dizer que o morfismo das categorias fibrosas em grupóides é suave e sobrejetivo se o morfismo associado${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle (Sch / T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T} \ to (Sch / T) _ {fppf}}$

de esquemas é suave e sobrejetiva.

Pilhas Deligne-Mumford

As pilhas algébricas, também conhecidas como pilhas de Artin , são, por definição, equipadas com um atlas de sobrejetivo liso , onde está a pilha associada a algum esquema . Se o atlas é, além disso, étale, então se diz que é uma pilha Deligne-Mumford . A subclasse de pilhas Deligne-Mumford é útil porque fornece a configuração correta para muitas pilhas naturais consideradas, como a pilha de módulos de curvas algébricas . Além disso, eles são estritos o suficiente para que os objetos representados por pontos nas pilhas de Deligne-Mumford não tenham automorfismos infinitesimais . Isso é muito importante porque automorfismos infinitesimais tornam o estudo da teoria de deformação das pilhas de Artin muito difícil. Por exemplo, a teoria de deformação da pilha de Artin , a pilha de módulos de feixes de vetores de classificação , tem automorfismos infinitesimais controlados parcialmente pela álgebra de Lie . Isso leva a uma sequência infinita de deformações e obstruções em geral, o que é uma das motivações para estudar módulos de feixes estáveis . Apenas no caso especial da teoria de deformação de feixes de linha a teoria de deformação é tratável, uma vez que a álgebra de Lie associada é abeliana . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle BGL_ {n} = [* / GL_ {n}]}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ ${\ displaystyle [* / GL_ {1}] = [* / \ mathbb {G} _ {m}]}$

Observe que muitas pilhas não podem ser representadas naturalmente como pilhas Deligne-Mumford porque só permite coberturas finitas ou pilhas algébricas com coberturas finitas. Observe que, como cada cobertura do Etale é plana e localmente de apresentação finita, as pilhas algébricas definidas com a topologia fppf englobam essa teoria; mas, ainda é útil, uma vez que muitas pilhas encontradas na natureza são desta forma, como os módulos de curvas . Além disso, o análogo geométrico diferencial de tais pilhas são chamados orbifolds . A condição Etale implica o 2-functor${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$

${\ displaystyle B \ mu _ {n}: (\ mathrm {Sch} / S) ^ {\ text {op}} \ to {\ text {Cat}}}$

enviar um esquema para seu grupóide de - torsores é representável como uma pilha sobre a topologia de Etale, mas a pilha de Picard de - torores (equivalentemente a categoria de feixes de linha) não é representável. As pilhas desta forma são representáveis ​​como pilhas na topologia fppf. Outra razão para considerar a topologia fppf versus a topologia etale é sobre a característica da sequência de Kummer${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle B \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle 0 \ a \ mu _ {p} \ a \ mathbb {G} _ {m} \ a \ mathbb {G} _ {m} \ a 0}$

é exata apenas como uma seqüência de feixes fppf, mas não como uma seqüência de feixes de etale.

Definindo pilhas algébricas sobre outras topologias

O uso de outras topologias de Grothendieck fornece teorias alternativas de pilhas algébricas que não são gerais o suficiente ou não se comportam bem com relação à troca de propriedades da base de uma cobertura para o espaço total de uma cobertura. É útil lembrar que existe a seguinte hierarquia de generalização${\ displaystyle (F / S)}$

${\ displaystyle {\ text {fpqc}} \ supset {\ text {fppf}} \ supset {\ text {smooth}} \ supset {\ text {etale}} \ supset {\ text {Zariski}}}$

de grandes topologias ativadas . ${\ displaystyle (F / S)}$

Feixe de estrutura

O feixe de estrutura de uma pilha algébrica é um objeto retirado de um feixe de estrutura universal no local . Este feixe de estrutura universal é definido como${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} :( Sch / S) _ {fppf} ^ {op} \ to Rings, {\ text {where}} U / X \ mapsto \ Gamma (U, {\ mathcal {O }}_{VOCÊ})}$

e o feixe de estrutura associado em uma categoria com fibras em grupóides

${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to (Sch / S) _ {fppf}}$

é definido como

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}: = p ^ {- 1} {\ mathcal {O}}}$

de onde vem o mapa de topologias Grothendieck. Em particular, isto significa é mentiras sobre , por isso , então . Como verificação de sanidade, vale a pena comparar isso a uma categoria repleta de grupóides provenientes de um esquema para várias topologias. Por exemplo, se${\ displaystyle p ^ {- 1}}$${\ displaystyle x \ in {\ text {Ob}} ({\ mathcal {X}})}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p (x) = U}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (x) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {U})}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {X}} _ {Zar}, {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}) = ((Sch / X) _ {Zar}, {\ mathcal {O} } _ {X})}$

é uma categoria com fibras em grupóides , o feixe de estrutura para um subesquema aberto dá${\ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$${\ displaystyle U \ to X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = {\ mathcal {O}} _ {X} (U) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

portanto, esta definição recupera o feixe de estrutura clássico em um esquema. Além disso, para uma pilha de quociente , a estrutura agrupa isso apenas fornece as seções -invariant${\ displaystyle {\ mathcal {X}} = [X / G]}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = \ Gamma (U, u ^ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}) ^ {G}}$

para dentro . ${\ displaystyle u: U \ to X}$${\ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$

Exemplos

Classificação de pilhas

Muitas pilhas de classificação para grupos algébricos são pilhas algébricas. De fato, para um espaço de grupo algébrico sobre um esquema que é plano de apresentação finita, a pilha é o ^teorema algébrico ^6.1 . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle BG}$

Veja também

• Gerbe
• Grupo de comida de uma pilha
• Cohomologia de uma pilha
• Pilha de quociente
• Feixe em uma pilha algébrica
• Pilha tórica
• Critério de Artin
• Perseguindo Pilhas
• Geometria algébrica derivada

Referências

links externos

Axiomas de Artin

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - Veja "Axiomas" e "Pilhas algébricas"
• Artin Algebraization and Quocient Stacks - Jarod Alper

Papéis

• Alper, Jarod (2009). "Um guia para a literatura sobre pilhas algébricas" (PDF) . S2CID  51803452 . Arquivado do original (PDF) em 2013-02-13. Citar diário requer |journal=( ajuda )
• Hall, Jack; Rydh, David (2014). "A pilha de Hilbert" . Avanços em Matemática . 253 : 194–233. arXiv : 1011.5484 . doi : 10.1016 / j.aim.2013.12.002 . S2CID  55936583 .
• Behrend, Kai A. (2003). "Categorias derivadas de ℓ-Adic para pilhas algébricas" (PDF) . Memórias da American Mathematical Society . 163 (774): 1–93. doi : 10.1090 / memo / 0774 . ISBN 978-1-4704-0372-0.

Formulários

• Lafforgue, Vincent (2014). "Introdução aos chtoucas para grupos redutivos e à parametrização global de Langlands". arXiv : 1404.6416 [ math.AG ].
• Deligne, P .; Rapoport, M. (1973). "Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques". Funções modulares de uma variável II . Notas de aula em matemática. 349 . pp. 143–316. doi : 10.1007 / 978-3-540-37855-6_4 . ISBN 978-3-540-06558-6.
• Knudsen, Finn F. (1983). “A projetividade do espaço de módulos de curvas estáveis, II: As pilhas ”${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$ . Mathematica Scandinavica . 52 : 161. doi : 10.7146 / math.scand.a-12001 .
• Jiang, Yunfeng (2019). "Sobre a construção de uma pilha de módulos de feixes de Higgs projetivos sobre superfícies". arXiv : 1911.00250 [ math.AG ].

Tópicos Mathoverflow

• As pilhas algébricas satisfazem a descida fpqc?
• Pilhas na topologia fpqc
• capas fpqc de pilhas

De outros

• Exemplos de pilhas
• Notas sobre topologias de Grothendieck, categorias de fibra e teoria de descendência
• Notas sobre pilhas algébricas