involução afim - Affine involution

Na geometria euclidiana , de interesse especial são involuç~oes que são lineares ou transformações afins ao longo do espaço euclidiano R ⁿ . Tais involuç~oes são fáceis de caracterizar e eles podem ser descrita geometricamente.

involuções lineares

Para dar uma involução linear é o mesmo que dar uma matriz involutory , uma matriz quadrada Um tal que

${\ Displaystyle Um ^ {2} = I \ quad \ quad \ quad \ quadrilátero (1)}$

onde I é a matriz identidade .

É uma verificação rápida que uma matriz quadrada D , cujos elementos são todos zero para fora da diagonal principal e ± 1 na diagonal, isto é, uma matriz de assinatura do formulário

${\ Displaystyle D = {\ begin {pmatrix} \ pm 1 & 0 & \ cdots & 0 & 0 \\ 0 & \ pm 1 & \ cdots & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ pm 1 & 0 \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & \ pm 1 \ end {pmatrix}}}$

satisfaz (1), ou seja, é a matriz de uma involução linear. Acontece que todas as matrizes satisfazendo (1) são da forma

A = L  ^-1 DU ,

onde L é invertível e D é como acima. Ou seja, a matriz de qualquer involução linear é da forma D até um matrizes semelhantes . Geometricamente, isto significa que qualquer involução linear pode ser obtida tomando reflexões oblíquas contra qualquer número de 0 a n hiperplanos que passa pela origem. (O termo reflexão oblíqua tal como utilizado aqui inclui reflexões comuns.)

Pode-se facilmente verificar que A representa uma involução linear se e somente se A tem a forma

A = ± (2P - I)

para um linear projecção P .

involuções afins

Se A representa uma involução linear, então x → A ( x - b ) + b é um afim involução. Pode-se verificar que qualquer involução afim de fato tem essa forma. Geometricamente, isto significa que qualquer involução afim pode ser obtida tomando reflexões oblíquas contra qualquer número de 0 a n hiperplanos passando por um ponto b .

Involuções afins podem ser categorizados pela dimensão do espaço afim de pontos fixos ; isto corresponde ao número de valores 1 na diagonal da matriz semelhante D (ver acima), isto é, a dimensão da autoespaço para valores próprios 1.

As involuções afins em 3D são:

• a identidade
• a reflexão oblíqua em relação a um plano
• a reflexão oblíqua em relação a uma linha
• a reflexão em relação a um ponto.

involuções isométricos

No caso em que o auto-espaço para um valor próprio é o complemento ortogonal de que para valores próprios -1, ou seja, cada vector próprio com um valor próprio é ortogonal para cada vector próprio com valores próprios -1, uma involução tais afim é um isometría . Os dois casos extremos para os quais este sempre se aplica são a função de identidade e inversão em um ponto .

Os outros isometries Involutivas são inversão de uma linha (em 2D, 3D, e para cima, isto é em 2D uma reflexão , e em 3D de uma rotação em torno da linha de 180 °), inversão em um plano (em 3D e acima; em 3D este é um reflexo num plano), inversão em um espaço 3D (em 3D: a identidade), etc.