Tabela normal padrão - Standard normal table

Uma mesa normal padrão , também chamado de tabela normal de unidade ou mesa de Z , é uma tabela matemático para os valores de Φ, que são os valores da função de distribuição cumulativa da distribuição normal . É usado para encontrar a probabilidade de que uma estatística seja observada abaixo, acima ou entre os valores da distribuição normal padrão e, por extensão, qualquer distribuição normal . Como as tabelas de probabilidade não podem ser impressas para cada distribuição normal, pois há uma variedade infinita de distribuições normais, é prática comum converter um normal em um normal padrão e, em seguida, usar a tabela normal padrão para encontrar probabilidades.

Distribuição normal e normal padrão

Distribuições normais são distribuições simétricas em forma de sino que são úteis para descrever dados do mundo real. A distribuição normal padrão , representada pela letra Z, é a distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1.

Conversão

Se X for uma variável aleatória de uma distribuição normal com média μ e desvio padrão σ, sua pontuação Z pode ser calculada a partir de X subtraindo μ e dividindo pelo desvio padrão:

${\ displaystyle Z = {\ frac {X- \ mu} {\ sigma}}}$

Se for a média de uma amostra de tamanho n de alguma população em que a média é μ e o desvio padrão é σ, o erro padrão é σ / √ n : ${\ displaystyle {\ overline {X}}}$

${\ displaystyle Z = {\ frac {{\ overline {X}} - \ mu} {\ sigma / {\ sqrt {n}}}}}$

Se é o total de uma amostra de tamanho n de alguma população em que a média é μ e o desvio padrão é σ, o total esperado é n μ e o erro padrão é σ √ n : ${\ displaystyle \ sum {X}}$

${\ displaystyle Z = {\ frac {\ sum {X} -n \ mu} {\ sigma {\ sqrt {n}}}}}$

Lendo uma tabela Z

Formatação / layout

As tabelas Z são normalmente compostas da seguinte forma:

• O rótulo das linhas contém a parte inteira e a primeira casa decimal de Z.
• O rótulo das colunas contém a segunda casa decimal de Z.
• Os valores da tabela são as probabilidades correspondentes ao tipo de tabela. Essas probabilidades são cálculos da área sob a curva normal do ponto inicial (0 para cumulativo da média , infinito negativo para cumulativo e infinito positivo para cumulativo complementar ) até Z.

Exemplo: Para encontrar 0,69 , seria necessário olhar para baixo nas linhas para encontrar 0,6 e depois nas colunas para 0,09, o que resultaria em uma probabilidade de 0,25490 para uma tabela cumulativa da média ou 0,75490 de uma tabela cumulativa .

Como a curva de distribuição normal é simétrica, as probabilidades apenas para valores positivos de Z são normalmente fornecidas. O usuário deve utilizar uma operação complementar no valor absoluto de Z, como no exemplo abaixo.

Tipos de mesas

As tabelas Z usam pelo menos três convenções diferentes:

Cumulativo da média

dá uma probabilidade de que uma estatística esteja entre 0 (média) e Z. Exemplo: Prob (0 ≤ Z ≤ 0,69) = 0,2549

Cumulativo

dá uma probabilidade de que uma estatística seja menor que Z. Isso equivale à área da distribuição abaixo de Z. Exemplo: Prob (Z ≤ 0,69) = 0,7549.

Complementar cumulativo

dá uma probabilidade de que uma estatística seja maior do que Z. Isso equivale à área da distribuição acima de Z.

Exemplo: Encontre Prob ( Z  ≥ 0,69). Uma vez que esta é a porção da área acima de Z, a proporção que é maior que Z é encontrada subtraindo Z de 1. Isso é Prob ( Z  ≥ 0,69) = 1 - Prob (Z ≤ 0,69) ou Prob ( Z   ≥ 0,69) = 1 - 0,7549 = 0,2451.

Exemplos de mesa

Cumulativo da média (0 a Z)

Esta tabela fornece uma probabilidade de que uma estatística esteja entre 0 (a média) e Z.

${\ displaystyle f (z) = \ Phi (z) - {\ frac {1} {2}}}$

Os valores são calculados usando a função de distribuição cumulativa de uma distribuição normal padrão com média de zero e desvio padrão de um, geralmente denotado com a letra grega maiúscula ( phi ), é o integral ${\ displaystyle \ Phi}$

${\ displaystyle \ Phi (z) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {z} e ^ {- t ^ {2} / 2} \ , dt}$

${\ displaystyle \ Phi}$(z) está relacionado à função de erro , ou erf ( z ).

${\ displaystyle \ Phi (z) = {\ frac {1} {2}} \ left [1+ \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {2}}} \ right) \ direito]}$

Observe que para z = 1, 2, 3, obtém-se (depois de multiplicar por 2 para contabilizar o intervalo [-z, z]) os resultados f (z) = 0,6827, 0,9545, 0,9974, característica de 68-95– Regra 99,7 .

Cumulativo (menos de Z)

Esta tabela fornece uma probabilidade de que uma estatística seja menor que Z (ou seja, entre infinito negativo e Z).

z	- 0,00	- 0,01	- 0,02	- 0,03	- 0,04	- 0,05	- 0,06	- 0,07	- 0,08	- 0,09
-4,0	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00002	0,00002	0,00002	0,00002
-3,9	0,00005	0,00005	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00003	0,00003
-3,8	0,00007	0,00007	0,00007	0,00006	0,00006	0,00006	0,00006	0,00005	0,00005	0,00005
-3,7	0,00011	0,00010	0,00010	0,00010	0,00009	0,00009	0,00008	0,00008	0,00008	0,00008
-3,6	0,00016	0,00015	0,00015	0,00014	0,00014	0,00013	0,00013	0,00012	0,00012	0,00011
-3,5	0,00023	0,00022	0,00022	0,00021	0,00020	0,00019	0,00019	0,00018	0,00017	0,00017
-3,4	0,00034	0,00032	0,00031	0,00030	0,00029	0,00028	0,00027	0,00026	0,00025	0,00024
-3,3	0,00048	0,00047	0,00045	0,00043	0,00042	0,00040	0,00039	0,00038	0,00036	0,00035
-3,2	0,00069	0,00066	0,00064	0,00062	0,00060	0,00058	0,00056	0,00054	0,00052	0,00050
-3,1	0,00097	0,00094	0,00090	0,00087	0,00084	0,00082	0,00079	0,00076	0,00074	0,00071
-3,0	0,00135	0,00131	0,00126	0,00122	0,00118	0,00114	0,00111	0,00107	0,00104	0,00100
-2,9	0,00187	0,00181	0,00175	0,00169	0,00164	0,00159	0,00154	0,00149	0,00144	0,00139
-2,8	0,00256	0,00248	0,00240	0,00233	0,00226	0,00219	0,00212	0,00205	0,00199	0,00193
-2,7	0,00347	0,00336	0,00326	0,00317	0,00307	0,00298	0,00289	0,00280	0,00272	0,00264
-2,6	0,00466	0,00453	0,00440	0,00427	0,00415	0,00402	0,00391	0,00379	0,00368	0,00357
-2,5	0,00621	0,00604	0,00587	0,00570	0,00554	0,00539	0,00523	0,00508	0,00494	0,00480
-2,4	0,00820	0,00798	0,00776	0,00755	0,00734	0,00714	0,00695	0,00676	0,00657	0,00639
-2,3	0,01072	0,01044	0,01017	0,00990	0,00964	0,00939	0,00914	0,00889	0,00866	0,00842
-2,2	0,01390	0,01355	0,01321	0,01287	0,01255	0,01222	0,01191	0,01160	0,01130	0,01101
-2,1	0,01786	0,01743	0,01700	0,01659	0,01618	0,01578	0,01539	0,01500	0,01463	0,01426
-2,0	0,02275	0,02222	0,02169	0,02118	0,02068	0,02018	0,01970	0,01923	0,01876	0,01831
-1,9	0,02872	0,02807	0,02743	0,02680	0,02619	0,02559	0,02500	0,02442	0,02385	0,02330
-1,8	0,03593	0,03515	0,03438	0,03362	0,03288	0,03216	0,03144	0,03074	0,03005	0,02938
-1,7	0,04457	0,04363	0,04272	0,04182	0,04093	0,04006	0,03920	0,03836	0,03754	0,03673
-1,6	0,05480	0,05370	0,05262	0,05155	0,05050	0,04947	0,04846	0,04746	0,04648	0,04551
-1,5	0,06681	0,06552	0,06426	0,06301	0,06178	0,06057	0,05938	0,05821	0,05705	0,05592
-1,4	0,08076	0,07927	0,07780	0,07636	0,07493	0,07353	0,07215	0,07078	0,06944	0,06811
-1,3	0,09680	0,09510	0,09342	0,09176	0,09012	0,08851	0,08692	0,08534	0,08379	0,08226
-1,2	0,11507	0,11314	0,11123	0,10935	0,10749	0,10565	0,10383	0,10204	0,10027	0,09853
-1,1	0,13567	0,13350	0,13136	0,12924	0,12714	0,12507	0,12302	0,12100	0,11900	0,11702
-1,0	0,15866	0,15625	0,15386	0,15151	0,14917	0,14686	0,14457	0,14231	0,14007	0,13786
-0,9	0,18406	0,18141	0,17879	0,17619	0,17361	0,17106	0,16853	0,16602	0,16354	0,16109
-0,8	0,21186	0,20897	0,20611	0,20327	0,20045	0,19766	0,19489	0,19215	0,18943	0,18673
-0,7	0,24196	0,23885	0,23576	0,23270	0,22965	0,22663	0,22363	0,22065	0,21770	0,21476
-0,6	0,27425	0,27093	0,26763	0,26435	0,26109	0,25785	0,25463	0,25143	0,24825	0,24510
-0,5	0,30854	0,30503	0,30153	0,29806	0,29460	0,29116	0,28774	0,28434	0,28096	0,27760
-0,4	0,34458	0,34090	0,33724	0,33360	0,32997	0,32636	0,32276	0,31918	0,31561	0,31207
-0,3	0,38209	0,37828	0,37448	0,37070	0,36693	0,36317	0,35942	0,35569	0,35197	0,34827
-0,2	0,42074	0,41683	0,41294	0,40905	0,40517	0,40129	0,39743	0,39358	0,38974	0,38591
-0,1	0,46017	0,45620	0,45224	0,44828	0,44433	0,44038	0,43644	0,43251	0,42858	0,42465
-0,0	0,50000	0,49601	0,49202	0,48803	0,48405	0,48006	0,47608	0,47210	0,46812	0,46414
z	- 0,00	- 0,01	- 0,02	- 0,03	- 0,04	- 0,05	- 0,06	- 0,07	- 0,08	- 0,09

z	+ 0,00	+ 0,01	+ 0,02	+ 0,03	+ 0,04	+ 0,05	+ 0,06	+ 0,07	+ 0,08	+ 0,09
0,0	0,50000	0,50399	0,50798	0,51197	0,51595	0,51994	0,52392	0,52790	0,53188	0,53586
0,1	0,53983	0,54380	0,54776	0,55172	0,55567	0,55962	0,56360	0,56749	0,57142	0,57535
0,2	0,57926	0,58317	0,58706	0,59095	0,59483	0,59871	0,60257	0,60642	0,61026	0,61409
0,3	0,61791	0,62172	0,62552	0,62930	0,63307	0,63683	0,64058	0,64431	0,64803	0,65173
0,4	0,65542	0,65910	0,66276	0,66640	0,67003	0,67364	0,67724	0,68082	0,68439	0,68793
0,5	0,69146	0,69497	0,69847	0,70194	0,70540	0,70884	0,71226	0,71566	0,71904	0,72240
0,6	0,72575	0,72907	0,73237	0,73565	0,73891	0.74215	0,74537	0,74857	0,75175	0,75490
0,7	0,75804	0,76115	0,76424	0,76730	0,77035	0,77337	0,77637	0,77935	0,78230	0,78524
0,8	0,78814	0,79103	0,79389	0,79673	0,79955	0,80234	0,80511	0,80785	0,81057	0,81327
0.9	0,81594	0,81859	0,82121	0,82381	0,82639	0,82894	0,83147	0,83398	0,83646	0,83891
1.0	0,84134	0,84375	0,84614	0,84849	0,85083	0,85314	0,85543	0,85769	0,85993	0,86214
1,1	0,86433	0,86650	0,86864	0,87076	0,87286	0,87493	0,87698	0,87900	0,88100	0,88298
1,2	0,88493	0,88686	0,88877	0,89065	0,89251	0,89435	0,89617	0,89796	0,89973	0,90147
1,3	0,90320	0,90490	0,90658	0,90824	0,90988	0,91149	0,91308	0,91466	0,91621	0,91774
1,4	0,91924	0,92073	0,92220	0,92364	0,92507	0,92647	0,92785	0,92922	0,93056	0,93189
1,5	0,93319	0,93448	0,93574	0,93699	0,93822	0,93943	0,94062	0,94179	0,94295	0,94408
1,6	0,94520	0,94630	0,94738	0,94845	0,94950	0,95053	0,95154	0,95254	0,95352	0,95449
1,7	0,95543	0,95637	0,95728	0,95818	0,95907	0,95994	0,96080	0,96164	0,96246	0,96327
1.8	0,96407	0,96485	0,96562	0,96638	0,96712	0,96784	0,96856	0,96926	0,96995	0,97062
1,9	0,97128	0,97193	0,97257	0,97320	0,97381	0,97441	0,97500	0,97558	0,97615	0,97670
2.0	0,97725	0,97778	0,97831	0,97882	0,97932	0,97982	0,98030	0,98077	0,98124	0,98169
2,1	0,98214	0,98257	0,98300	0,98341	0,98382	0,98422	0,98461	0,98500	0,98537	0,98574
2,2	0,98610	0,98645	0,98679	0,98713	0,98745	0,98778	0,98809	0,98840	0,98870	0,98899
2,3	0,98928	0,98956	0,98983	0,99010	0,99036	0,99061	0,99086	0,99111	0,99134	0,99158
2,4	0,99180	0,99202	0,99224	0,99245	0,99266	0,99286	0,99305	0,99324	0,99343	0,99361
2,5	0,99379	0,99396	0,99413	0,99430	0,99446	0,99461	0,99477	0,99492	0,99506	0,99520
2,6	0,99534	0,99547	0,99560	0,99573	0,99585	0,99598	0,99609	0,99621	0,99632	0,99643
2,7	0,99653	0,99664	0,99674	0,99683	0,99693	0,99702	0,99711	0,99720	0,99728	0,99736
2,8	0,99744	0,99752	0,99760	0,99767	0,99774	0,99781	0,99788	0,99795	0,99801	0,99807
2,9	0,99813	0,99819	0,99825	0,99831	0,99836	0,99841	0,99846	0,99851	0,99856	0,99861
3,0	0,99865	0,99869	0,99874	0,99878	0,99882	0,99886	0,99889	0,99893	0,99896	0,99900
3,1	0,99903	0,99906	0,99910	0,99913	0,99916	0,99918	0,99921	0,99924	0,99926	0,99929
3,2	0,99931	0,99934	0,99936	0,99938	0,99940	0,99942	0,99944	0,99946	0,99948	0,99950
3,3	0,99952	0,99953	0,99955	0,99957	0,99958	0,99960	0,99961	0,99962	0,99964	0,99965
3,4	0,99966	0,99968	0,99969	0,99970	0,99971	0,99972	0,99973	0,99974	0,99975	0,99976
3,5	0,99977	0,99978	0,99978	0,99979	0,99980	0,99981	0,99981	0,99982	0,99983	0,99983
3,6	0,99984	0,99985	0,99985	0,99986	0,99986	0,99987	0,99987	0,99988	0,99988	0,99989
3,7	0,99989	0,99999	0,99999	0,99999	0,99991	0,99991	0,99992	0,99992	0,99992	0,99992
3,8	0,99993	0,99993	0,99993	0,99994	0,99994	0,99994	0,99994	0,99995	0,99995	0,99995
3,9	0,99995	0,99995	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99997	0,99997
4,0	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99998	0,99998	0,99998	0,99998
z	+ 0,00	+ 0,01	+ 0,02	+ 0,03	+ 0,04	+ 0,05	+ 0,06	+ 0,07	+ 0,08	+ 0,09

Complementar cumulativo

Esta tabela fornece uma probabilidade de que uma estatística seja maior do que Z.

${\ displaystyle f (z) = 1- \ Phi (z)}$

z	+0,00	+0,01	+0,02	+0,03	+0,04		+0,05	+0,06	+0,07	+0,08	+0,09
0,0	0,50000	0,49601	0,49202	0,48803	0,48405		0,48006	0,47608	0,47210	0,46812	0,46414
0,1	0,46017	0,45620	0,45224	0,44828	0,44433		0,44038	0,43640	0,43251	0,42858	0,42465
0,2	0,42074	0,41683	0,41294	0,40905	0,40517		0,40129	0,39743	0,39358	0,38974	0,38591
0,3	0,38209	0,37828	0,37448	0,37070	0,36693		0,36317	0,35942	0,35569	0,35197	0,34827
0,4	0,34458	0,34090	0,33724	0,33360	0,32997		0,32636	0,32276	0,31918	0,31561	0,31207
0,5	0,30854	0,30503	0,30153	0,29806	0,29460	0,29116	0,28774	0,28434	0,28096	0,27760
0,6	0,27425	0,27093	0,26763	0,26435	0,26109	0,25785	0,25463	0,25143	0,24825	0,24510
0,7	0,24196	0,23885	0,23576	0,23270	0,22965	0,22663	0,22363	0,22065	0,21770	0,21476
0,8	0,21186	0,20897	0,20611	0,20327	0,20045	0,19766	0,19489	0,19215	0,18943	0,18673
0.9	0,18406	0,18141	0,17879	0,17619	0,17361	0,17106	0,16853	0,16602	0,16354	0,16109
1.0	0,15866	0,15625	0,15386	0,15151	0,14917	0,14686	0,14457	0,14231	0,14007	0,13786
1,1	0,13567	0,13350	0,13136	0,12924	0,12714	0,12507	0,12302	0,12100	0,11900	0,11702
1,2	0,11507	0,11314	0,11123	0,10935	0,10749	0,10565	0,10383	0,10204	0,10027	0,09853
1,3	0,09680	0,09510	0,09342	0,09176	0,09012	0,08851	0,08692	0,08534	0,08379	0,08226
1,4	0,08076	0,07927	0,07780	0,07636	0,07493	0,07353	0,07215	0,07078	0,06944	0,06811
1,5	0,06681	0,06552	0,06426	0,06301	0,06178	0,06057	0,05938	0,05821	0,05705	0,05592
1,6	0,05480	0,05370	0,05262	0,05155	0,05050	0,04947	0,04846	0,04746	0,04648	0,04551
1,7	0,04457	0,04363	0,04272	0,04182	0,04093	0,04006	0,03920	0,03836	0,03754	0,03673
1.8	0,03593	0,03515	0,03438	0,03362	0,03288	0,03216	0,03144	0,03074	0,03005	0,02938
1,9	0,02872	0,02807	0,02743	0,02680	0,02619	0,02559	0,02500	0,02442	0,02385	0,02330
2.0	0,02275	0,02222	0,02169	0,02118	0,02068	0,02018	0,01970	0,01923	0,01876	0,01831
2,1	0,01786	0,01743	0,01700	0,01659	0,01618	0,01578	0,01539	0,01500	0,01463	0,01426
2,2	0,01390	0,01355	0,01321	0,01287	0,01255	0,01222	0,01191	0,01160	0,01130	0,01101
2,3	0,01072	0,01044	0,01017	0,00990	0,00964	0,00939	0,00914	0,00889	0,00866	0,00842
2,4	0,00820	0,00798	0,00776	0,00755	0,00734	0,00714	0,00695	0,00676	0,00657	0,00639
2,5	0,00621	0,00604	0,00587	0,00570	0,00554	0,00539	0,00523	0,00508	0,00494	0,00480
2,6	0,00466	0,00453	0,00440	0,00427	0,00415	0,00402	0,00391	0,00379	0,00368	0,00357
2,7	0,00347	0,00336	0,00326	0,00317	0,00307	0,00298	0,00289	0,00280	0,00272	0,00264
2,8	0,00256	0,00248	0,00240	0,00233	0,00226	0,00219	0,00212	0,00205	0,00199	0,00193
2,9	0,00187	0,00181	0,00175	0,00169	0,00164	0,00159	0,00154	0,00149	0,00144	0,00139
3,0	0,00135	0,00131	0,00126	0,00122	0,00118	0,00114	0,00111	0,00107	0,00104	0,00100
3,1	0,00097	0,00094	0,00090	0,00087	0,00084	0,00082	0,00079	0,00076	0,00074	0,00071
3,2	0,00069	0,00066	0,00064	0,00062	0,00060	0,00058	0,00056	0,00054	0,00052	0,00050
3,3	0,00048	0,00047	0,00045	0,00043	0,00042	0,00040	0,00039	0,00038	0,00036	0,00035
3,4	0,00034	0,00032	0,00031	0,00030	0,00029	0,00028	0,00027	0,00026	0,00025	0,00024
3,5	0,00023	0,00022	0,00022	0,00021	0,00020	0,00019	0,00019	0,00018	0,00017	0,00017
3,6	0,00016	0,00015	0,00015	0,00014	0,00014	0,00013	0,00013	0,00012	0,00012	0,00011
3,7	0,00011	0,00010	0,00010	0,00010	0,00009	0,00009	0,00008	0,00008	0,00008	0,00008
3,8	0,00007	0,00007	0,00007	0,00006	0,00006	0,00006	0,00006	0,00005	0,00005	0,00005
3,9	0,00005	0,00005	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00003	0,00003
4,0	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00002	0,00002	0,00002	0,00002

Esta tabela fornece uma probabilidade de que uma estatística seja maior do que Z, para valores Z inteiros grandes.

z	+0	+1	+2	+3	+4		+5	+6	+7	+8	+9
0	5,00000 E -1	1.58655 E -1	2.27501 E -2	1,34990 E -3	3.16712 E -5		2.86652 E -7	9,86588 E -10	1.27981 E -12	6.22096 E -16	1,12859 E -19
10	7,61985 E -24	1.91066 E -28	1.77648 E -33	6,11716 E -39	7.79354 E -45		3,67097 E -51	6.38875 E -58	4.10600 E -65	9,74095 E -73	8.52722 E -81
20	2,75362 E -89	3.27928 E -98	1.43989 E -107	2.33064 E -117	1.39039 E -127		3.05670 E -138	2,47606 E -149	7.38948 E -161	8.12387 E -173	3.28979 E -185
30	4,90671 E -198	2.69525 E -211	5,45208 E -225	4.06119 E -239	1,11390 E -253		1.12491 E -268	4.18262 E -284	5,72557 E -300	2.88543 E -316	5,35312 E -333
40	3.65589 E -350	9.19086 E -368	8.50515 E -386	2.89707 E -404	3,63224 E -423		1.67618 E -442	2.84699 E -462	1.77976 E -482	4.09484 E -503	3,46743 E -524
50	1.08060 E -545	1.23937 E -567	5,23127 E -590	8,12606 E -613	4.64529 E -636		9,77237 E -660	7.56547 E -684	2.15534 E -708	2.25962 E -733	8.71741 E -759
60	1.23757 E -784	6.46517 E -811	1.24283 E -837	8.79146 E -865	2.28836 E -892		2,19180 E -920	7.72476 E -949	1.00178 E -977	4.78041 E -1007	8.39374 E -1037
70	5,42304 E -1067	1.28921 E -1097	1.12771 E -1128	3,62960 E -1160	4.29841 E -1192		1,87302 E -1224	3,00302 E -1257	1.77155 E -1290	3.84530 E -1324	3.07102 E -1358

Exemplos de uso

As pontuações dos exames de um professor são aproximadamente distribuídas normalmente com média 80 e desvio padrão 5. Apenas uma tabela cumulativa da média está disponível.

• Qual é a probabilidade de um aluno marcar 82 ou menos?

${\ displaystyle P (X \ leq 82) = P \ left (Z \ leq {\ frac {82-80} {5}} \ right) = P (Z \ leq 0,40)}$  ${\ displaystyle = 0,15542 + 0,5 = 0,65542}$

• Qual é a probabilidade de um aluno marcar 90 ou mais?

${\ displaystyle P (X \ geq 90) = P \ left (Z \ geq {\ frac {90-80} {5}} \ right) = P (Z \ geq 2.00)}$  ${\ displaystyle = 1-P (Z \ leq 2,00) = 1- (0,47725 + 0,5) = 0,02275}$

• Qual é a probabilidade de um aluno marcar 74 ou menos?

${\ displaystyle P (X \ leq 74) = P \ left (Z \ leq {\ frac {74-80} {5}} \ right) = P (Z \ leq -1.20)}$

Como esta tabela não inclui negativos, o processo envolve a seguinte etapa adicional:

${\ displaystyle P (Z \ leq -1.20) = P (Z \ geq 1.20)}$  ${\ displaystyle = 1- (0,38493 + 0,5) = 0,11507}$

• Qual é a probabilidade de um aluno pontuar entre 74 e 82?

${\ displaystyle P (74 \ leq X \ leq 82) = P (X \ leq 82) -P (X \ leq 74) = 0,65542-0,11507}$ [como nos exemplos acima] ${\ displaystyle = 0,54035}$

• Qual é a probabilidade de que uma média de três pontuações seja 82 ou menos?

${\ displaystyle P (X \ leq 82) = P \ left (Z \ leq {\ frac {82-80} {5 / {\ sqrt {3}}}} \ right)}$  ${\ displaystyle = P (Z \ leq 0,69) = 0,2549 + 0,5 = 0,7549}$

Veja também

Referências