Função Wannier - Wannier function

Funções Wannier de dímeros de nitrogênio de ligação simples e tripla em nitreto de paládio.

As funções de Wannier são um conjunto completo de funções ortogonais usadas na física do estado sólido . Eles foram apresentados por Gregory Wannier . As funções de Wannier são orbitais moleculares localizados de sistemas cristalinos.

As funções de Wannier para diferentes locais da rede em um cristal são ortogonais, permitindo uma base conveniente para a expansão dos estados do elétron em certos regimes. As funções de Wannier têm amplo uso, por exemplo, na análise de forças de ligação que atuam sobre os elétrons; a existência de funções Wannier exponencialmente localizadas em isoladores foi comprovada em 2006. Especificamente, essas funções também são usadas na análise de excitons e matéria de Rydberg condensada .

Definição

Exemplo de uma função Wannier localizada de titânio em titanato de bário (BaTiO3)

Embora, como orbitais moleculares localizados , as funções de Wannier possam ser escolhidas de muitas maneiras diferentes, a definição original, mais simples e mais comum na física do estado sólido é a seguinte. Escolha uma única banda em um cristal perfeito e denote seus estados de Bloch por

${\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf { r})}$

onde u _k ( r ) tem a mesma periodicidade do cristal. Então, as funções Wannier são definidas por

${\ displaystyle \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ sum _ {\ mathbf {k}} e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {R}} \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r})}$,

Onde

• R é qualquer vetor de rede (ou seja, há uma função de Wannier para cada vetor de rede de Bravais );
• N é o número de células primitivas no cristal;
• A soma em k inclui todos os valores de k na zona de Brillouin (ou qualquer outra célula primitiva da rede recíproca ) que são consistentes com as condições de contorno periódicas no cristal. Isso inclui N valores diferentes de k , espalhados uniformemente pela zona de Brillouin. Uma vez que N é geralmente muito grande, a soma pode ser escrita como uma integral de acordo com a regra de substituição:

${\ displaystyle \ sum _ {\ mathbf {k}} \ longrightarrow {\ frac {N} {\ Omega}} \ int _ {\ text {BZ}} d ^ {3} \ mathbf {k}}$

onde "BZ" denota a zona de Brillouin , que tem o volume Ω.

Propriedades

Com base nesta definição, as seguintes propriedades podem ser comprovadas como válidas:

• Para qualquer vetor de rede R ' ,

${\ displaystyle \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}) = \ phi _ {\ mathbf {R} + \ mathbf {R} '} (\ mathbf {r} + \ mathbf {R} ')}$

Em outras palavras, uma função de Wannier depende apenas da quantidade ( r - R ). Como resultado, essas funções são frequentemente escritas na notação alternativa

${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r} - \ mathbf {R}): = \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r})}$

• As funções Bloch podem ser escritas em termos de funções Wannier da seguinte forma:

${\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ sum _ {\ mathbf {R}} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {R}} \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r})}$,

onde a soma é sobre cada vetor de rede R no cristal.

• O conjunto de funções de onda é uma base ortonormal para a banda em questão.${\ displaystyle \ phi _ {\ mathbf {R}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int _ {\ text {cristal}} \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}) ^ {*} \ phi _ {\ mathbf {R '} } (\ mathbf {r}) d ^ {3} \ mathbf {r} & = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {\ mathbf {k, k '}} \ int _ {\ text { cristal}} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {R}} \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) ^ {*} e ^ {- i \ mathbf {k '} \ cdot \ mathbf {R'}} \ psi _ {\ mathbf {k '}} (\ mathbf {r}) d ^ {3} \ mathbf {r} \\ & = {\ frac {1} { N}} \ sum _ {\ mathbf {k, k '}} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {R}} e ^ {- i \ mathbf {k'} \ cdot \ mathbf {R '}} \ delta _ {\ mathbf {k, k'}} \\ & = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {\ mathbf {k}} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {(R'-R)}} \\ & = \ delta _ {\ mathbf {R, R '}} \ end {alinhado}}}$

As funções de Wannier também foram estendidas a potenciais quase periódicos.

Localização

Os estados de Bloch ψ _k ( r ) são definidos como autofunções de um hamiltoniano particular e, portanto, são definidos apenas até uma fase geral. Aplicando uma transformação de fase e ^{iθ ( k )} às funções ψ _k ( r ), para qualquer função (real) θ ( k ), chega-se a uma escolha igualmente válida. Embora a mudança não tenha consequências para as propriedades dos estados de Bloch, as funções de Wannier correspondentes são alteradas significativamente por essa transformação.

Portanto, usa-se a liberdade de escolher as fases dos estados de Bloch para fornecer o conjunto mais conveniente de funções Wannier. Na prática, este é normalmente o conjunto maximamente-localizada, em que a função Wannier φ _R é localizada em torno do ponto R e rapidamente cai para zero de distância a partir de R . Para o caso unidimensional, foi provado por Kohn que sempre há uma escolha única que dá essas propriedades (sujeito a certas simetrias). Consequentemente, isso se aplica a qualquer potencial separável em dimensões superiores; as condições gerais não estão estabelecidas e são objeto de pesquisas contínuas.

Um esquema de localização no estilo Pipek-Mezey também foi proposto recentemente para obter funções de Wannier. Ao contrário das funções Wannier localizadas ao máximo (que são uma aplicação do esquema Foster-Boys a sistemas cristalinos), as funções Wannier de Pipek-Mezey não misturam orbitais σ e π.

Teoria moderna de polarização

As funções de Wannier encontraram recentemente aplicação na descrição da polarização em cristais, por exemplo, ferroelétricos . A moderna teoria da polarização é iniciada por Raffaele Resta e David Vanderbilt. Veja, por exemplo, Berghold e Nakhmanson, e uma introdução em powerpoint de Vanderbilt. A polarização por célula unitária em um sólido pode ser definida como o momento de dipolo da densidade de carga de Wannier:

${\ displaystyle \ mathbf {p_ {c}} = -e \ sum _ {n} \ int \ d ^ {3} r \, \, \ mathbf {r} | W_ {n} (\ mathbf {r}) | ^ {2} \,}$

onde a soma é sobre as bandas ocupadas, e W _n é a função Wannier localizada na célula para a banda n . A mudança na polarização durante um processo físico contínuo é a derivada da polarização no tempo e também pode ser formulada em termos da fase de Berry dos estados de Bloch ocupados.

Interpolação de Wannier

As funções Wannier são freqüentemente usadas para interpolar estruturas de banda calculadas ab initio em uma grade grosseira de k-pontos para qualquer k- ponto arbitrário . Isso é particularmente útil para avaliação de integrais de zona de Brillouin em grades densas e busca de pontos de Weyl, e também para obter derivadas no espaço- k . Esta abordagem é semelhante em espírito à aproximação de ligação apertada , mas, em contraste, permite uma descrição exata das bandas em uma certa faixa de energia. Os esquemas de interpolação de Wannier foram derivados para propriedades espectrais, condutividade Hall anômala , magnetização orbital , propriedades de transporte termoelétrico e eletrônico, efeitos girotrópicos , corrente de deslocamento , condutividade Hall de spin e outros efeitos.

Veja também

• Magnetização orbital

Referências

Leitura adicional

• Karin M Rabe ; Jean-Marc Triscone; Charles H Ahn (2007). Física da Ferroelétrica: uma Perspectiva Moderna . Springer. p. 2. ISBN 978-3-540-34590-9.

links externos

• Wannier Gregory H (1937). "A Estrutura dos Níveis de Excitação Eletrônica em Cristais Isolantes". Revisão física . 52 (3): 191–197. Bibcode : 1937PhRv ... 52..191W . doi : 10.1103 / PhysRev.52.191 .
• Código de computador Wannier90 que calcula funções Wannier localizadas ao máximo
• Código de transporte Wannier que calcula funções Wannier localizadas ao máximo adequadas para aplicativos de transporte quântico
• WannierTools: um pacote de software de código aberto para novos materiais topológicos
• WannierBerri - um código python para interpolação Wannier e cálculos de ligação rígida

Veja também

• Teorema de Bloch
• Ângulo Hannay
• Fase geométrica