Estrutura da banda eletrônica - Electronic band structure

Na física do estado sólido , a estrutura de banda eletrônica (ou simplesmente estrutura de banda ) de um sólido descreve a faixa de níveis de energia que os elétrons podem ter dentro dele, bem como as faixas de energia que eles podem não ter (chamadas de band gaps ou proibidas bandas ).

A teoria das bandas deriva essas bandas e lacunas examinando as funções de onda da mecânica quântica permitidas para um elétron em uma grande rede periódica de átomos ou moléculas. A teoria das bandas tem sido usada com sucesso para explicar muitas propriedades físicas dos sólidos, como resistividade elétrica e absorção óptica , e constitui a base da compreensão de todos os dispositivos de estado sólido (transistores, células solares, etc.).

Por que bandas e lacunas de banda ocorrem

Um exemplo hipotético de um grande número de átomos de carbono sendo reunidos para formar um cristal de diamante, demonstrando a formação da estrutura de banda eletrônica. O gráfico da direita mostra os níveis de energia em função do tamanho da célula cristalina (um espaçamento típico entre os átomos). Quando distantes, todos os átomos de N têm orbitais de valência discretos p e s . No entanto, quando os átomos se aproximam, seus orbitais de elétrons começam a se sobrepor espacialmente e, devido ao princípio de exclusão de Pauli, cada nível atômico se divide em N níveis com energias diferentes. Como N é um número muito grande, os níveis adjacentes estão energeticamente próximos, formando efetivamente uma faixa de energia contínua. No tamanho real da célula do cristal de diamante (denotado por a ), duas bandas são formadas, chamadas de bandas de valência e de condução, separadas por um gap de 5,5 eV. Diminuir ainda mais o espaçamento interatômico (por exemplo, sob alta pressão) modifica ainda mais a estrutura da banda.
Animação da formação de bandas e como os elétrons os preenchem em um metal e um isolante

Os elétrons de um único átomo isolado ocupam orbitais atômicos, cada um dos quais com um nível de energia discreto . Quando dois ou mais átomos se unem para formar uma molécula , seus orbitais atômicos se sobrepõem. O princípio de exclusão de Pauli determina que dois elétrons não podem ter os mesmos números quânticos em uma molécula. Portanto, se dois átomos idênticos se combinam para formar uma molécula diatômica , cada orbital atômico se divide em dois orbitais moleculares de energia diferente, permitindo que os elétrons nos orbitais atômicos anteriores ocupem a nova estrutura orbital sem que nenhum tenha a mesma energia.

Da mesma forma, se um grande número N de átomos idênticos se juntam para formar um sólido, como uma estrutura de cristal , os orbitais atômicos dos átomos se sobrepõem. Como o princípio de exclusão de Pauli determina que dois elétrons no sólido não tenham os mesmos números quânticos, cada orbital atômico se divide em N orbitais moleculares discretos, cada um com uma energia diferente. Uma vez que o número de átomos em um pedaço macroscópico de sólido é um número muito grande (N ~ 10 22 ), o número de orbitais é muito grande e, portanto, eles estão muito próximos em energia (da ordem de 10-22  eV). A energia dos níveis adjacentes é tão próxima que podem ser considerados como um continuum, uma faixa de energia.

Essa formação de bandas é principalmente uma característica dos elétrons mais externos ( elétrons de valência ) no átomo, que são aqueles envolvidos na ligação química e na condutividade elétrica . Os orbitais internos do elétron não se sobrepõem em um grau significativo, então suas bandas são muito estreitas.

Os intervalos de banda são essencialmente faixas restantes de energia não cobertas por nenhuma faixa, um resultado das larguras finitas das faixas de energia. As bandas têm larguras diferentes, com as larguras dependendo do grau de sobreposição nos orbitais atômicos dos quais surgem. Duas bandas adjacentes podem simplesmente não ser largas o suficiente para cobrir totalmente a faixa de energia. Por exemplo, as bandas associadas aos orbitais centrais (como os elétrons 1s ) são extremamente estreitas devido à pequena sobreposição entre os átomos adjacentes. Como resultado, tende a haver grandes lacunas de banda entre as bandas principais. Bandas mais altas envolvem orbitais comparativamente maiores com mais sobreposição, tornando-se progressivamente mais largas em energias mais altas, de modo que não há lacunas de banda em energias mais altas.

Conceitos Básicos

Suposições e limites da teoria da estrutura de banda

A teoria das bandas é apenas uma aproximação do estado quântico de um sólido, que se aplica a sólidos que consistem em muitos átomos ou moléculas idênticas ligadas entre si. Estas são as premissas necessárias para que a teoria das bandas seja válida:

  • Sistema de tamanho infinito : para que as bandas sejam contínuas, o pedaço de material deve consistir em um grande número de átomos. Visto que um pedaço macroscópico de material contém na ordem de 1022 átomos, esta não é uma restrição séria; a teoria da banda se aplica até mesmo a transistores de tamanho microscópico em circuitos integrados . Com modificações, o conceito de estrutura de banda também pode ser estendido a sistemas que são apenas "grandes" em algumas dimensões, como sistemas de elétrons bidimensionais .
  • Sistema homogêneo : a estrutura da banda é uma propriedade intrínseca de um material, que pressupõe que o material seja homogêneo. Praticamente, isso significa que a composição química do material deve ser uniforme em toda a peça.
  • Não interatividade : A estrutura de banda descreve "estados de um único elétron". A existência desses estados pressupõe que os elétrons viajam em um potencial estático sem interagir dinamicamente com as vibrações da rede , outros elétrons, fótons , etc.

As suposições acima são quebradas em uma série de situações práticas importantes, e o uso da estrutura de bandas exige que se mantenha um controle rigoroso das limitações da teoria de bandas:

  • Inomogeneidades e interfaces: Perto de superfícies, junções e outras não homogeneidades, a estrutura de bulk band é interrompida. Não há apenas interrupções locais de pequena escala (por exemplo, estados de superfície ou estados de dopante dentro do gap), mas também desequilíbrios de carga locais. Esses desequilíbrios de carga têm efeitos eletrostáticos que se estendem profundamente em semicondutores, isoladores e no vácuo (consulte dopagem , flexão de banda ).
  • Ao longo das mesmas linhas, a maioria dos efeitos electrónicos ( capacitância , condutância eléctrica , elétrico-campo rastreio ) envolvem o física de electrões que passam através das superfícies e / ou interfaces próximos. A descrição completa desses efeitos, em uma imagem de estrutura de banda, requer pelo menos um modelo rudimentar de interações elétron-elétron (ver carga espacial , curvatura de banda ).
  • Sistemas pequenos: para sistemas que são pequenos em todas as dimensões (por exemplo, uma pequena molécula ou um ponto quântico ), não há estrutura de banda contínua. O cruzamento entre pequenas e grandes dimensões é o domínio da física mesoscópica .
  • Materiais fortemente correlacionados (por exemplo, isoladores de Mott ) simplesmente não podem ser entendidos em termos de estados de um único elétron. As estruturas de banda eletrônica desses materiais são mal definidas (ou, pelo menos, não definidas exclusivamente) e podem não fornecer informações úteis sobre seu estado físico.

Simetria cristalina e vetores de onda

Fig 1. Zona de Brillouin de uma rede cúbica de face centrada mostrando rótulos para pontos de simetria especiais.
Fig 2. Gráfico de estrutura de banda para Si , Ge , GaAs e InAs gerado com modelo de ligação estreita. Observe que Si e Ge são materiais de gap indireto, enquanto GaAs e InAs são diretos.

Cálculos de estrutura de banda aproveitam a natureza periódica de uma rede cristalina, explorando sua simetria. A equação de Schrödinger de um elétron é resolvida para um elétron em um potencial periódico de rede, fornecendo elétrons de Bloch como soluções:

,

onde k é chamado de vetor de onda. Para cada valor de k , existem várias soluções para a equação de Schrödinger rotulada por n , o índice de banda, que simplesmente numera as bandas de energia. Cada um desses níveis de energia evolui suavemente com mudanças em k , formando uma faixa uniforme de estados. Para cada banda podemos definir uma função E n ( k ), que é a relação de dispersão dos elétrons nessa banda.

O vetor de ondas assume qualquer valor dentro da zona de Brillouin , que é um poliedro no espaço do vetor de ondas ( rede recíproca ) que está relacionado à rede do cristal. Os vectores de onda fora da zona de Brillouin correspondem simplesmente a estados que são fisicamente idênticos aos estados dentro da zona de Brillouin. Pontos / linhas de alta simetria especiais na zona de Brillouin recebem rótulos como Γ, Δ, Λ, Σ (ver Fig. 1).

É difícil visualizar a forma de uma banda em função do vetor de onda, pois isso exigiria um gráfico no espaço quadridimensional, E vs. k x , k y , k z . Na literatura científica, é comum ver gráficos de estrutura de banda que mostram os valores de E n ( k ) para valores de k ao longo de linhas retas conectando pontos de simetria, frequentemente rotulados como Δ, Λ, Σ, ou [100], [111] e [110] , respectivamente. Outro método para visualizar a estrutura da banda é plotar uma isosuperfície de energia constante no espaço do vetor de ondas, mostrando todos os estados com energia igual a um determinado valor. A isosuperfície de estados com energia igual ao nível de Fermi é conhecida como superfície de Fermi .

Os intervalos de banda de energia podem ser classificados usando os vetores de onda dos estados em torno do intervalo de banda:

  • Intervalo de banda direto : o estado de energia mais baixa acima do intervalo de banda tem o mesmo k que o estado de energia mais alta abaixo do intervalo de banda.
  • Band gap indireto : os estados mais próximos acima e abaixo do band gap não têm o mesmo valor k .

Assimetria: estruturas de banda em sólidos não cristalinos

Embora as estruturas de banda eletrônica sejam geralmente associadas a materiais cristalinos , sólidos quase cristalinos e amorfos também podem apresentar lacunas de banda. Eles são um pouco mais difíceis de estudar teoricamente, pois carecem da simetria simples de um cristal e geralmente não é possível determinar uma relação de dispersão precisa. Como resultado, praticamente todo o trabalho teórico existente sobre a estrutura de banda eletrônica de sólidos se concentrou em materiais cristalinos.

Densidade de estados

A densidade de estados função g ( E ) é definida como o número de estados electrónicos por unidade de volume, por unidade de energia, de energias de electrões próximos E .

A função de densidade de estados é importante para cálculos de efeitos baseados na teoria de bandas. Na Regra de Ouro de Fermi , um cálculo para a taxa de absorção óptica , ela fornece o número de elétrons excitáveis ​​e o número de estados finais de um elétron. Ele aparece em cálculos de condutividade elétrica, onde fornece o número de estados móveis, e na computação de taxas de espalhamento de elétrons, onde fornece o número de estados finais após o espalhamento.

Para energias dentro de um gap, g ( E ) = 0.

Preenchimento de bandas

Preenchimento dos estados eletrônicos em vários tipos de materiais em equilíbrio . Aqui, a altura é a energia, enquanto a largura é a densidade dos estados disponíveis para uma determinada energia no material listado. A sombra segue a distribuição Fermi – Dirac ( preto : todos os estados preenchidos, branco : nenhum estado preenchido). Em metais e semimetais, o nível E F de Fermi está dentro de pelo menos uma banda.
Em isoladores e semicondutores, o nível de Fermi está dentro de uma lacuna de banda ; entretanto, em semicondutores, as bandas estão próximas o suficiente do nível de Fermi para serem termicamente povoadas com elétrons ou lacunas .

No equilíbrio termodinâmico , a probabilidade de um estado de energia E ser preenchido com um elétron é dada pela distribuição Fermi-Dirac , uma distribuição termodinâmica que leva em consideração o princípio de exclusão de Pauli :

Onde:

  • k B T é o produto da constante e temperatura de Boltzmann , e
  • µ é o potencial químico total dos elétrons, ou nível de Fermi (na física de semicondutores , essa quantidade é mais frequentemente indicada como E F ). O nível de Fermi de um sólido está diretamente relacionado à tensão nesse sólido, medida com um voltímetro. Convencionalmente, em gráficos de estrutura de banda, o nível de Fermi é considerado o zero da energia (uma escolha arbitrária).

A densidade dos elétrons no material é simplesmente a integral da distribuição Fermi-Dirac vezes a densidade dos estados:

Embora haja um número infinito de bandas e, portanto, um número infinito de estados, há apenas um número finito de elétrons para colocar nessas bandas. O valor preferido para o número de elétrons é uma consequência da eletrostática: embora a superfície de um material possa ser carregada, o volume interno de um material prefere ter carga neutra. A condição de neutralidade de carga significa que N / V deve corresponder à densidade de prótons no material. Para que isso ocorra, o material se ajusta eletrostaticamente, deslocando sua estrutura de banda para cima ou para baixo em energia (deslocando g ( E )), até que esteja no equilíbrio correto em relação ao nível de Fermi.

Nomes de bandas perto do nível de Fermi (banda de condução, banda de valência)

Um sólido possui um número infinito de bandas permitidas, assim como um átomo possui um número infinito de níveis de energia. No entanto, a maioria das bandas simplesmente tem energia muito alta e geralmente são desconsideradas em circunstâncias normais. Por outro lado, existem bandas de energia muito baixa associadas aos orbitais centrais (como os elétrons 1s ). Essas bandas centrais de baixa energia também são geralmente desconsideradas, uma vez que permanecem cheias de elétrons o tempo todo e, portanto, são inertes. Da mesma forma, os materiais têm várias lacunas de banda ao longo de sua estrutura de banda.

As bandas e lacunas de banda mais importantes - aquelas relevantes para eletrônica e optoeletrônica - são aquelas com energias próximas ao nível de Fermi. As bandas e lacunas perto do nível de Fermi recebem nomes especiais, dependendo do material:

  • Em um semicondutor ou isolador de banda , o nível de Fermi está rodeado por um intervalo de banda, referido como o intervalo de banda (para distingui-lo de outros lacunas da banda na estrutura de banda). A banda mais próximo acima do gap é chamado a banda de condução , ea banda mais próximo abaixo da abertura de faixa é chamado a banda de valência . O nome "banda de valência" foi cunhado por analogia à química, uma vez que em semicondutores (e isoladores) a banda de valência é construída a partir dos orbitais de valência .
  • Em um metal ou semimetal , o nível de Fermi está dentro de uma ou mais faixas permitidas. Em semimetais, as bandas são geralmente referidas como "banda de condução" ou "banda de valência", dependendo se o transporte de carga é mais semelhante a elétron ou semelhante a buraco, por analogia aos semicondutores. Em muitos metais, entretanto, as bandas não são nem parecidas com elétrons nem parecidas com buracos, e frequentemente chamadas apenas de "banda de valência", pois são feitas de orbitais de valência. As lacunas de banda na estrutura de banda de um metal não são importantes para a física de baixa energia, uma vez que estão muito longe do nível de Fermi.

Teoria em Cristais

O ansatz é o caso especial de ondas de elétrons em uma rede de cristal periódica usando o teorema de Bloch, conforme tratado geralmente na teoria dinâmica da difração . Cada cristal é uma estrutura periódica que pode ser caracterizada por uma rede Bravais , e para cada rede Bravais podemos determinar a rede recíproca , que encapsula a periodicidade em um conjunto de três vetores de rede recíproca ( b 1 , b 2 , b 3 ). Agora, qualquer potencial periódico V ( r ) que compartilha a mesma periodicidade que a rede direta pode ser expandido como uma série de Fourier cujas únicas componentes não-evanescentes são aquelas associadas aos vetores da rede recíproca. Portanto, a expansão pode ser escrita como:

onde K = m 1 b 1 + m 2 b 2 + m 3 b 3 para qualquer conjunto de inteiros (m 1 , m 2 , m 3 ).

A partir desta teoria, uma tentativa pode ser feita para prever a estrutura de banda de um material particular, no entanto, a maioria dos métodos ab initio para cálculos de estrutura eletrônica falham em prever o gap observado.

Aproximação de elétron quase livre

Na aproximação do elétron quase livre, as interações entre os elétrons são completamente ignoradas. Esta aproximação permite o uso do Teorema de Bloch que afirma que os elétrons em um potencial periódico têm funções de onda e energias que são periódicas no vetor de ondas até uma mudança de fase constante entre vetores de rede recíprocos vizinhos . As consequências da periodicidade são descritas matematicamente pela função do teorema de Bloch:

onde a função é periódica sobre a rede cristalina, ou seja,

.

Aqui, o índice n se refere à enésima banda de energia, o vetor de onda k está relacionado à direção do movimento do elétron, r é a posição no cristal e R é a localização de um sítio atômico.

O modelo NFE funciona particularmente bem em materiais como metais, onde as distâncias entre os átomos vizinhos são pequenas. Em tais materiais, a sobreposição de orbitais atômicos e potenciais em átomos vizinhos é relativamente grande. Nesse caso, a função de onda do elétron pode ser aproximada por uma onda plana (modificada). A estrutura de banda de um metal como o alumínio chega a se aproximar da aproximação da rede vazia .

Modelo de encadernação apertada

O extremo oposto da aproximação do elétron quase livre assume que os elétrons no cristal se comportam de maneira muito semelhante a um conjunto de átomos constituintes. Este modelo de ligação forte assume que a solução para a equação de Schrödinger de elétron único independente do tempo é bem aproximada por uma combinação linear de orbitais atômicos .

,

onde os coeficientes são selecionados para dar a melhor solução aproximada desta forma. O índice n se refere a um nível de energia atômica e R se refere a um sítio atômico. Uma abordagem mais precisa usando essa ideia emprega funções de Wannier , definidas por:

;

em que está a parte periódica do teorema de Bloch e a integral está sobre a zona de Brillouin . Aqui índice n refere-se ao n -simo banda de energia no cristal. As funções de Wannier estão localizadas perto de sítios atômicos, como orbitais atômicos, mas sendo definidas em termos de funções de Bloch, elas estão precisamente relacionadas a soluções baseadas no potencial do cristal. As funções de Wannier em diferentes sítios atômicos R são ortogonais. As funções Wannier pode ser usado para formar a solução para a Schrodinger n banda energia -ésimo como:

.

O modelo TB funciona bem em materiais com sobreposição limitada entre orbitais atômicos e potenciais em átomos vizinhos. Estruturas de bandas de materiais como Si , GaAs , SiO 2 e diamante, por exemplo, são bem descritas por TB-hamiltonianos com base em orbitais sp 3 atômicos. Em metais de transição, um modelo TB-NFE misto é usado para descrever a banda de condução NFE ampla e as bandas d de TB estreitas incorporadas. As funções radiais da parte orbital atômica das funções de Wannier são mais facilmente calculadas pelo uso de métodos pseudopotenciais . Cálculos de estrutura de banda NFE, TB ou NFE-TB combinados, às vezes estendidos com aproximações de função de onda com base em métodos pseudopotenciais, são frequentemente usados ​​como um ponto de partida econômico para cálculos adicionais.

Modelo KKR

O método KKR, também chamado de "teoria de espalhamento múltiplo" ou método da função de Green, encontra os valores estacionários da matriz de transição inversa T em vez do Hamiltoniano. Uma implementação variacional foi sugerida por Korringa , Kohn e Rostocker, e é freqüentemente referida como o método Korringa-Kohn-Rostoker . As características mais importantes da formulação KKR ou função de Green são: (1) ela separa os dois aspectos do problema: estrutura (posições dos átomos) do espalhamento (identidade química dos átomos); e (2) as funções de Green fornecem uma abordagem natural para uma descrição localizada de propriedades eletrônicas que podem ser adaptadas a ligas e outros sistemas desordenados. A forma mais simples dessa aproximação centra esferas não sobrepostas (conhecidas como latas de muffin ) nas posições atômicas. Dentro dessas regiões, o potencial experimentado por um elétron é aproximado para ser esfericamente simétrico em relação ao núcleo dado. Na região intersticial restante, o potencial rastreado é aproximado como uma constante. A continuidade do potencial entre as esferas centradas no átomo e a região intersticial é reforçada.

Teoria da densidade funcional

Na literatura de física recente, a grande maioria das estruturas eletrônicas e gráficos de banda são calculados usando a teoria do funcional da densidade (DFT), que não é um modelo, mas sim uma teoria, ou seja, uma teoria microscópica de primeiros princípios da física da matéria condensada que tenta para lidar com o problema elétron-elétron de muitos corpos através da introdução de um termo de correlação de troca no funcional da densidade eletrônica . Em muitos casos, as bandas calculadas por DFT estão de acordo com as bandas medidas experimentalmente, por exemplo, por espectroscopia de fotoemissão de ângulo resolvido (ARPES). Em particular, a forma da banda é normalmente bem reproduzida por DFT. Mas também há erros sistemáticos nas bandas DFT quando comparados aos resultados do experimento. Em particular, o DFT parece subestimar sistematicamente em cerca de 30-40% o gap em isoladores e semicondutores.

É comumente acreditado que DFT é uma teoria para prever as propriedades do estado fundamental de um sistema apenas (por exemplo, a energia total , a estrutura atômica , etc.), e que as propriedades do estado excitado não podem ser determinadas por DFT. Este é um equívoco. Em princípio, o DFT pode determinar qualquer propriedade (estado fundamental ou estado excitado) de um sistema dado um funcional que mapeia a densidade do estado fundamental para essa propriedade. Esta é a essência do teorema de Hohenberg-Kohn. Na prática, entretanto, não existe nenhum funcional conhecido que mapeie a densidade do estado fundamental para energias de excitação de elétrons dentro de um material. Assim, o que na literatura é citado como um gráfico de banda DFT é uma representação das energias DFT Kohn-Sham , ou seja, as energias de um sistema fictício não-interativo, o sistema Kohn-Sham, que não tem nenhuma interpretação física. A estrutura eletrônica de Kohn-Sham não deve ser confundida com a estrutura eletrônica de quase-partícula real de um sistema, e não há nenhum teorema de Koopmans válido para as energias de Kohn-Sham, como há para as energias de Hartree-Fock, que podem ser verdadeiramente consideradas como uma aproximação para energias de quasipartículas . Portanto, em princípio, a DFT baseada em Kohn-Sham não é uma teoria de bandas, ou seja, não é uma teoria adequada para calcular bandas e gráficos de bandas. Em princípio , a DFT dependente do tempo pode ser usada para calcular a estrutura de banda verdadeira, embora na prática isso seja frequentemente difícil. Uma abordagem popular é o uso de funcionais híbridos , que incorporam uma parte da troca exata Hartree-Fock; isso produz uma melhoria substancial nos bandgaps previstos de semicondutores, mas é menos confiável para metais e materiais de bandgap largo.

Métodos da função de Green e a aproximação ab initio GW

Para calcular as bandas incluindo os efeitos de muitos corpos da interação elétron-elétron , pode-se recorrer aos chamados métodos de função de Green . De fato, o conhecimento da função de Green de um sistema fornece tanto o solo (a energia total) quanto os observáveis ​​de estado excitado do sistema. Os pólos da função de Green são as energias de quase-partículas, as faixas de um sólido. A função de Green pode ser calculada resolvendo a equação de Dyson, uma vez que a energia própria do sistema seja conhecida. Para sistemas reais como os sólidos, a energia própria é uma quantidade muito complexa e geralmente são necessárias aproximações para resolver o problema. Uma dessas aproximações é a aproximação GW , assim chamada a partir da forma matemática que a energia própria assume como o produto Σ = GW da função de Green G e a interação W filtrada dinamicamente . Esta abordagem é mais pertinente ao abordar o cálculo de gráficos de banda (e também quantidades além, como a função espectral) e também pode ser formulada de uma forma completamente ab initio . A aproximação GW parece fornecer band gaps de isoladores e semicondutores de acordo com o experimento e, portanto, corrigir a subestimação sistemática do DFT.

Teoria do campo médio dinâmico

Embora a aproximação de elétrons quase livres seja capaz de descrever muitas propriedades de estruturas de banda de elétrons, uma consequência dessa teoria é que ela prevê o mesmo número de elétrons em cada célula unitária. Se o número de elétrons for ímpar, esperaríamos que houvesse um elétron desemparelhado em cada célula unitária e, portanto, que a banda de valência não estivesse totalmente ocupada, tornando o material um condutor. No entanto, materiais como CoO, que têm um número ímpar de elétrons por célula unitária, são isolantes, em conflito direto com esse resultado. Esse tipo de material é conhecido como isolante de Mott e requer a inclusão de interações elétron-elétron detalhadas (tratadas apenas como um efeito médio no potencial do cristal na teoria de bandas) para explicar a discrepância. O modelo de Hubbard é uma teoria aproximada que pode incluir essas interações. Ele pode ser tratado de forma não perturbativa dentro da chamada teoria do campo médio dinâmico , que tenta preencher a lacuna entre a aproximação do elétron quase livre e o limite atômico. Formalmente, no entanto, os estados não são de não interação neste caso e o conceito de uma estrutura de banda não é adequado para descrever esses casos.

Outros

O cálculo de estruturas de banda é um tópico importante na física teórica do estado sólido . Além dos modelos mencionados acima, outros modelos incluem o seguinte:

  • Aproximação de rede vazia : a "estrutura de banda" de uma região do espaço livre que foi dividida em uma rede.
  • A teoria de perturbação k · p é uma técnica que permite que uma estrutura de bandas seja descrita aproximadamente em termos de apenas alguns parâmetros. A técnica é comumente usada para semicondutores , e os parâmetros no modelo são frequentemente determinados por experimentos.
  • O modelo Kronig – Penney , um modelo de poço retangular unidimensional útil para ilustração da formação de bandas. Embora simples, ele prevê muitos fenômenos importantes, mas não é quantitativo.
  • Modelo Hubbard

A estrutura de banda foi generalizada para vetores de onda que são números complexos , resultando no que é chamado de estrutura de banda complexa , que é de interesse em superfícies e interfaces.

Cada modelo descreve alguns tipos de sólidos muito bem e outros mal. O modelo de elétron quase livre funciona bem para metais, mas mal para não metais. O modelo de ligação firme é extremamente preciso para isoladores iônicos, como sais de haleto de metal (por exemplo, NaCl ).

Diagramas de banda

Para entender como a estrutura de banda muda em relação ao nível de Fermi no espaço real, um gráfico de estrutura de banda é geralmente primeiro simplificado na forma de um diagrama de banda . Em um diagrama de banda, o eixo vertical é a energia, enquanto o eixo horizontal representa o espaço real. As linhas horizontais representam os níveis de energia, enquanto os blocos representam as faixas de energia. Quando as linhas horizontais neste diagrama são inclinadas, a energia do nível ou banda muda com a distância. Diagramaticamente, isso representa a presença de um campo elétrico dentro do sistema de cristal. Os diagramas de bandas são úteis para relacionar as propriedades gerais da estrutura de bandas de diferentes materiais uns com os outros, quando colocados em contato uns com os outros.

Veja também

Referências

Bibliografia

Leitura adicional

  1. Microelectronics , por Jacob Millman e Arvin Gabriel, ISBN  0-07-463736-3 , Tata McGraw-Hill Edition.
  2. Solid State Physics , de Neil Ashcroft e N. David Mermin, ISBN  0-03-083993-9
  3. Física do Estado Sólido Elementar: Princípios e Aplicações , por M. Ali Omar, ISBN  0-201-60733-6
  4. Propriedades eletrônicas e optoeletrônicas de estruturas de semicondutor - Capítulo 2 e 3 por Jasprit Singh, ISBN  0-521-82379-X
  5. Estrutura Eletrônica: Teoria Básica e Métodos Práticos de Richard Martin, ISBN  0-521-78285-6
  6. Condensed Matter Physics por Michael P. Marder, ISBN  0-471-17779-2
  7. Métodos Computacionais em Física do Estado Sólido por VV Nemoshkalenko e NV Antonov, ISBN  90-5699-094-2
  8. Elementary Electronic Structure por Walter A. Harrison, ISBN  981-238-708-0
  9. Pseudopotenciais na teoria dos metais por Walter A. Harrison, WA Benjamin (Nova York) 1966
  10. Tutorial sobre métodos de estrutura de banda pelo Dr. Vasileska (2008)

links externos