Vector Laplacian - Vector Laplacian

Em matemática e física , o operador de Laplace vector , denotada por , em homenagem a Pierre Simon Laplace , é um operador diferencial definido ao longo de um campo de vectores . O Laplaciano vector é semelhante ao Laplaciano escalar . Considerando que o Laplacian escalar se aplica a um campo escalar e retorna uma quantidade escalar, o Laplacian vector se aplica a um campo vetorial , retornando uma grandeza vetorial. Quando calculado em ortonormais coordenadas cartesianas , do campo de vectores retornado é igual ao campo de vectores da escalar Laplaciano aplicada a cada componente de vector. ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$

Definição

O Laplaciano vetor de um campo vectorial é definido como ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) -. \ Nabla \ vezes (\ \ nabla vezes \ mathbf {A})}

Em coordenadas cartesianas , isso reduz à forma muito mais simples:

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = (\ nabla ^ {2} A_ {x}, \ nabla ^ {2} A_ {y}, \ nabla ^ {2} A_ {z}), }

onde , e são os componentes de . Isto pode ser visto como um caso especial da fórmula de Lagrange; veja Vector produto triplo . ${\ Displaystyle A_ {x}}$ ${\ Displaystyle A_ {y}}$ ${\ Displaystyle A_ {z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$

Para expressões do Laplaciano vector em outros sistemas de coordenadas ver Del em coordenadas cilíndricas e esféricas .

Generalização

O Laplaciano de qualquer campo tensor ( "tensor" inclui escalar e vector) é definida como a divergência do gradiente do tensor: ${\ Displaystyle \ mathbf {T}}$

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {T} = \ nabla \ cdot (\ nabla \ mathbf {t}).}

Para o caso especial em que é um escalar (um tensor de grau zero), o Laplacian toma a forma familiar. ${\ Displaystyle \ mathbf {T}}$

Se é um vector (um tensor de primeiro grau), o gradiente é um derivado de co-variante que resulta em um tensor de segundo grau, e a divergência de esta é novamente um vector. A fórmula para o Laplaciano vector acima pode ser utilizado para evitar matemática tensor e podem ser mostrados para ser equivalente à divergência da matriz Jacobiana mostrado abaixo para o gradiente de um vector: ${\ Displaystyle \ mathbf {T}}$

{\ Displaystyle \ nabla \ mathbf {T} = (\ nabla T_ {x}, \ nabla T_ {y}, \ nabla T_ {z}) = {\ begin {bmatrix} T_ {xx} & T_ {xy} & T_ { xz} \\ T_ {yx} & T_ {yy} & T_ {yz} \\ T_ {zx} & T_ {zy} & T_ {zz} \ end {bmatrix}}, {\ text {onde}} T_ {uv} \ equiv {\ frac {\ T_ parcial {u}} {\ v parcial}}.}

E, do mesmo modo, um produto de pontos, o qual avalia a um vector, de um vector de pelo gradiente de outro vector (um tensor de segundo grau) pode ser visto como um produto de matrizes:

{\ Displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} A_ {x} & A_ {y} & A_ {z} \ final {bmatrix}} \ nabla \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {x} & \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {y} & \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {z} \ final { bmatrix}}.}

Essa identidade é uma coordenada resultado dependente, e não é geral.

Use em física

Um exemplo do uso do vector é Laplaciano as equações de Navier-Stokes para um newtoniano do fluxo incompressível :

{\ Displaystyle \ rho \ esquerda ({\ frac {\ \ mathbf parcial {v}} {\ parcial t}} + (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} \ direita) = \ rho \ mathbf {f} - \ nabla p + \ mu \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {v} \ right),}

em que o termo com o Laplaciano vector da velocidade de campo representa os viscosos tensões no fluido. ${\ Displaystyle \ mu \ esquerda (\ nabla ^ {2} \ mathbf {v} \ direita)}$