Teorema de três lacunas - Three-gap theorem
Em matemática, o teorema das três lacunas , o teorema das três distâncias ou conjectura de Steinhaus afirmam que se alguém colocar n pontos em um círculo, em ângulos de θ , 2 θ , 3 θ ... do ponto de partida, então haverá no máximo três distâncias distintas entre pares de pontos em posições adjacentes ao redor do círculo. Quando há três distâncias, a maior das três sempre é igual à soma das outras duas. A menos que θ seja um múltiplo racional de π , também haverá pelo menos duas distâncias distintas.
Este resultado foi conjecturado por Hugo Steinhaus e provado na década de 1950 por Vera T. Sós , János Surányi e Stanisław Świerczkowski . Suas aplicações incluem o estudo do crescimento das plantas e sistemas de afinação musical, e a teoria das palavras sturmianas .
Formulários
Na filotaxia (a teoria do crescimento da planta), observou-se que cada folha sucessiva no caule de muitas plantas é virada da folha anterior pelo ângulo dourado , de aproximadamente 137,5 °. Foi sugerido que este ângulo maximiza o poder de coleta de sol das folhas da planta. Se olharmos para o caule de uma planta que cresceu dessa maneira, haverá no máximo três ângulos distintos entre duas folhas que são consecutivas na ordem cíclica dada por esta vista final. Na figura, o maior desses três ângulos ocorre três vezes, entre as folhas numeradas de 3 e 6, entre as folhas 4 e 7, e entre as folhas 5 e 8. O segundo maior ângulo ocorre cinco vezes, entre as folhas 6 e 1, 9 e 4, 7 e 2, 10 e 5, e 8 e 3. E o menor ângulo ocorre apenas duas vezes, entre as folhas 1 e 9 e entre as folhas 2 e 10. (Este fenômeno não tem nada a ver com a proporção áurea ; o mesma propriedade, de ter apenas três lacunas distintas entre pontos consecutivos em um círculo, ocorre para qualquer outro ângulo de rotação, e não apenas para o ângulo dourado.)
Na teoria da música , este teorema implica que se um sistema de afinação é gerado por algum número de múltiplos consecutivos de um determinado intervalo , reduzido a uma sequência cíclica por considerar dois tons equivalentes quando eles diferem por números inteiros de oitavas , então há a maioria dos três intervalos diferentes entre tons consecutivos da escala. Por exemplo, a afinação pitagórica é construída dessa maneira a partir de múltiplos de uma quinta justa . Ele tem apenas dois intervalos distintos representando seus semitons , mas se fosse estendido por mais um passo, a sequência de intervalos entre seus tons incluiria um terceiro intervalo mais curto, a vírgula pitagórica .
Na teoria das palavras sturmianas , o teorema implica que as palavras de um determinado comprimento n que aparecem dentro de uma determinada palavra sturmiana têm no máximo três frequências distintas. Se houver três frequências, uma delas deve ser igual à soma das outras duas.
História e prova
O teorema das três lacunas foi conjecturado por Hugo Steinhaus , e suas primeiras provas foram publicadas no final dos anos 1950 por Vera T. Sós , János Surányi e Stanisław Świerczkowski . Várias provas posteriores também foram publicadas.
A seguinte prova simples é devida a Frank Liang. Defina uma lacuna (um arco do círculo entre pontos adjacentes de um determinado conjunto) para ser rígido se girar essa lacuna em um ângulo de θ não produzir outra lacuna do mesmo comprimento. Cada rotação de θ aumenta a posição dos pontos finais da lacuna na ordem de colocação dos pontos, e tal aumento não pode ser repetido indefinidamente, de modo que cada lacuna tem o mesmo comprimento que uma lacuna rígida. Mas as únicas maneiras de uma lacuna ser rígida é um de seus dois pontos de extremidade ser o último ponto na sequência de colocação (de modo que o ponto correspondente está faltando na lacuna girada) ou para outro ponto pousar em sua cópia girada. Um ponto final só pode estar faltando se a lacuna for uma das duas lacunas em cada lado do último ponto na ordem de colocação. E um ponto só pode pousar na cópia girada se for o primeiro ponto na ordem de colocação. Portanto, pode haver no máximo três lacunas rígidas e no máximo três comprimentos de lacunas. Além disso, quando houver três, a cópia girada de uma lacuna rígida que tem o primeiro ponto é dividida por esse ponto em duas lacunas menores, portanto, neste caso, o comprimento de lacuna mais longo é a soma dos outros dois.
Um teorema intimamente relacionado, mas anterior, também chamado de teorema de três lacunas, é que se A for qualquer arco do círculo, então a sequência inteira de múltiplos de θ que cai em A tem no máximo três lacunas entre os valores da sequência. Novamente, se houver três lacunas, então uma é a soma das outras duas.