O Analista -The Analyst

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O analista (com o subtítulo Um discurso dirigido a um matemático infiel: em que é examinado se o objeto, os princípios e as inferências da análise moderna são concebidos de maneira mais distinta ou deduzida de forma mais evidente do que mistérios religiosos e pontos de fé ) é um livro publicado por George Berkeley em 1734. Acredita-se que o "matemático infiel" tenha sido Edmond Halley , embora outros tenham especulado aintenção deSir Isaac Newton .

Antecedentes e propósito

Desde seus primeiros dias como escritor, Berkeley havia adotado sua caneta satírica para atacar os então chamados de " pensadores livres " (secularistas, céticos, agnósticos, ateus, etc. - em suma, qualquer um que duvidasse das verdades da religião cristã aceita ou apelou para uma diminuição da religião na vida pública). Em 1732, na última edição desse esforço, Berkeley publicou seu Alciphron , uma série de diálogos dirigidos a diferentes tipos de "pensadores livres". Um dos arquétipos que Berkeley abordou foi o cientista secular, que descartou os mistérios cristãos como superstições desnecessárias e declarou sua confiança na certeza da razão e da ciência humanas. Contra seus argumentos, Berkeley montou uma defesa sutil da validade e utilidade desses elementos da fé cristã.

Alciphron foi amplamente lido e causou um certo rebuliço. Mas foi um comentário improvisado zombando dos argumentos de Berkeley pelo astrônomo real de "pensamento livre" Sir Edmund Halley que levou Berkeley a pegar sua caneta novamente e tentar uma nova abordagem. O resultado foi The Analyst , concebido como uma sátira que ataca os fundamentos da matemática com o mesmo vigor e estilo com que os "livres-pensadores" atacam rotineiramente as verdades religiosas.

Berkeley procurou desmontar a matemática, alegou descobrir várias lacunas na prova, atacou o uso de infinitesimais, a diagonal do quadrado da unidade, a própria existência de números, etc. O ponto geral não era tanto zombar da matemática ou dos matemáticos, mas antes, para mostrar que os matemáticos, como os cristãos, confiaram em "mistérios" incompreensíveis nas bases de seu raciocínio. Além disso, a existência dessas "superstições" não era fatal para o raciocínio matemático; na verdade, era uma ajuda. O mesmo ocorre com os fiéis cristãos e seus "mistérios". Berkeley concluiu que a certeza da matemática não é maior do que a certeza da religião.

Contente

The Analyst era um ataque direto aos fundamentos do cálculo , especificamente à noção de Newton de fluxões e à noção de Leibniz de mudança infinitesimal . Na seção 16, Berkeley critica

... a maneira falaciosa de proceder até certo ponto com base na suposição de um incremento, e então mudar imediatamente sua suposição para a de nenhum incremento. . . Visto que se esta segunda suposição tivesse sido feita antes da divisão comum por o , tudo teria desaparecido de uma vez, e você não deve ter obtido nada com sua suposição. Considerando que, por este artifício de primeiro dividir e depois mudar sua suposição, você retém 1 e nx n-1 . Mas, apesar de todo esse discurso para cobri-lo, a falácia ainda é a mesma.

Sua passagem citada com mais frequência:

E o que são esses fluxos? As velocidades dos incrementos evanescentes? E o que são esses mesmos incrementos evanescentes? Não são Quantidades finitas, nem Quantidades infinitamente pequenas, nem nada. Não podemos chamá-los de fantasmas de quantidades que partiram?

Berkeley não contestou os resultados do cálculo; ele reconheceu que os resultados eram verdadeiros. O ponto forte de sua crítica era que o cálculo não era mais logicamente rigoroso do que a religião. Em vez disso, ele questionou se os matemáticos "se submetem à autoridade, assumem a confiança", assim como os seguidores de princípios religiosos faziam. De acordo com Burton, Berkeley introduziu uma engenhosa teoria de compensação de erros que pretendia explicar a exatidão dos resultados do cálculo. Berkeley argumentou que os praticantes de cálculo introduziram vários erros que cancelaram, deixando a resposta correta. Em suas próprias palavras, "em virtude de um duplo erro você chega, embora não à ciência, mas à verdade".

Análise

A ideia de que Newton foi o destinatário pretendido do discurso é posta em dúvida por uma passagem que aparece no final do livro: "Questão 58: Se é realmente um efeito do Pensamento, que os mesmos Homens admiram o grande autor por seu Fluxions e ridicularizá-lo por sua religião? "

Aqui, Berkeley ridiculariza aqueles que celebram Newton (o inventor das "fluxões", aproximadamente o equivalente aos diferenciais de versões posteriores do cálculo diferencial) como um gênio, enquanto ridiculariza sua religiosidade bem conhecida. Visto que Berkeley está aqui explicitamente chamando a atenção para a fé religiosa de Newton, isso parece indicar que ele não queria que seus leitores identificassem o "infiel (isto é, sem fé) matemático" com Newton.

A historiadora da matemática Judith Grabiner comenta: "As críticas de Berkeley ao rigor do cálculo eram espirituosas, rudes e - com relação às práticas matemáticas que ele estava criticando - essencialmente corretas". Embora suas críticas às práticas matemáticas fossem sólidas, seu ensaio foi criticado em bases lógicas e filosóficas.

Por exemplo, David Sherry argumenta que a crítica de Berkeley ao cálculo infinitesimal consiste em uma crítica lógica e uma crítica metafísica. A crítica lógica é a de uma fallacia suppositionis , o que significa ganhar pontos em um argumento por meio de uma suposição e, mantendo esses pontos, concluir o argumento com uma suposição contraditória. A crítica metafísica é um desafio à própria existência de conceitos como fluxões, momentos e infinitesimais, e está enraizada na filosofia empirista de Berkeley que não tolera expressão sem um referente. Andersen (2011) mostrou que a doutrina de Berkeley da compensação de erros contém uma circularidade lógica. Ou seja, Berkeley depende da determinação de Apolônio da tangente da parábola na própria determinação de Berkeley da derivada da função quadrática.

Influência

Dois anos após esta publicação, Thomas Bayes publicou anonimamente "Uma Introdução à Doutrina dos Fluxões e uma Defesa dos Matemáticos Contra as Objeções do Autor do Analista" (1736), no qual ele defendeu o fundamento lógico do cálculo de Isaac Newton contra as críticas delineadas em The Analyst . O Tratado de Fluxões em dois volumes de Colin Maclaurin publicado em 1742 também começou como uma resposta aos ataques de Berkeley, com a intenção de mostrar que o cálculo de Newton era rigoroso, reduzindo-o aos métodos da geometria grega.

Apesar dessas tentativas, o cálculo continuou a ser desenvolvido usando métodos não rigorosos até por volta de 1830, quando Augustin Cauchy , e mais tarde Bernhard Riemann e Karl Weierstrass , redefiniram a derivada e a integral usando uma definição rigorosa do conceito de limite . A ideia de usar limites como base para o cálculo foi sugerida por d'Alembert , mas a definição de d'Alembert não era rigorosa para os padrões modernos. O conceito de limites já havia aparecido na obra de Newton, mas não foi formulado com clareza suficiente para sustentar a crítica de Berkeley.

Em 1966, Abraham Robinson introduziu a análise não padrão , que forneceu uma base rigorosa para trabalhar com quantidades infinitamente pequenas. Isso forneceu outra maneira de colocar o cálculo em uma base matematicamente rigorosa, da maneira como era feito antes que a (ε, δ) -definição de limite estivesse totalmente desenvolvida.

Fantasmas de quantidades que partiram

No final de The Analyst, Berkeley aborda as possíveis justificativas para os fundamentos do cálculo que os matemáticos podem apresentar. Em resposta à ideia, as fluxões poderiam ser definidas usando as razões finais das quantidades desaparecidas, Berkeley escreveu:

Deve-se, de fato, reconhecer que [Newton] usou Fluxões, como o andaime de um edifício, como coisas a serem deixadas de lado ou das quais se livrar, assim que linhas finitas foram encontradas proporcionais a elas. Mas então esses expoentes finitos são encontrados com a ajuda de Fluxions. Portanto, tudo o que é obtido por tais Expoentes e Proporções deve ser atribuído a Fluxões: que devem, portanto, ser previamente compreendidas. E o que são esses fluxos? As velocidades dos incrementos evanescentes? E o que são esses mesmos incrementos evanescentes? Não são Quantidades finitas, nem Quantidades infinitamente pequenas, nem nada. Não podemos chamá-los de Fantasmas de Quantidades que partiram?

Edwards descreve isso como o ponto mais memorável do livro. Katz e Sherry argumentam que a expressão se destinava a se referir tanto aos infinitesimais quanto à teoria das fluxões de Newton.

Hoje, a frase "fantasmas de quantidades que se foram" também é usada quando se discute os ataques de Berkeley a outros fundamentos possíveis do cálculo. Em particular, é usado para discutir infinitesimais , mas também é usado para discutir diferenciais e adequação .

Texto e comentário

O texto completo de The Analyst pode ser lido no Wikisource , bem como no site de David R. Wilkins, que inclui alguns comentários e links para respostas de contemporâneos de Berkeley.

O Analista também é reproduzido, com comentários, em trabalhos recentes:

  • De Kant a Hilbert, de William Ewald : Um Livro Fonte nos Fundamentos da Matemática .

Ewald conclui que as objeções de Berkeley ao cálculo de sua época foram em sua maioria bem aceitas na época.

  • Visão geral de DM Jesseph em 2005 "Landmark Writings in Western Mathematics".

Referências

Fontes

links externos