Identidade Weinstein-Aronszajn - Weinstein–Aronszajn identity

Em matemática , a identidade de Weinstein-Aronszajn afirma que se e são matrizes de tamanho m × n e n × m, respectivamente (um ou ambos os quais podem ser infinitos), então, desde que seja de classe de rastreamento (e, portanto, é ), ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle BA}$

${\ displaystyle \ det (I_ {m} + AB) = \ det (I_ {n} + BA),}$

onde é o k x k matriz identidade . ${\ displaystyle I_ {k}}$

Está intimamente relacionado ao lema do determinante da matriz e sua generalização. É o análogo determinante da identidade da matriz de Woodbury para inversos de matriz.

Prova

A identidade pode ser provada da seguinte forma. Let ser uma matriz que compreende os quatro blocos , , e . ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle I_ {m}}$${\ displaystyle -A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle I_ {n}}$

${\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} I_ {m} & - A \\ B & I_ {n} \ end {pmatrix}}.}$

Porque I _m é invertível , a fórmula para o determinante de uma matriz de bloco dá

${\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} I_ {m} & - A \\ B & I_ {n} \ end {pmatrix}} = \ det (I_ {m}) \ det \ left (I_ {n} -BI_ {m} ^ {- 1} (- A) \ direita) = \ det (I_ {n} + BA).}$

Porque I _n é invertível, a fórmula para o determinante de uma matriz de bloco dá

${\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} I_ {m} & - A \\ B & I_ {n} \ end {pmatrix}} = \ det (I_ {n}) \ det \ left (I_ {m} - ( -A) I_ {n} ^ {- 1} B \ direita) = \ det (I_ {m} + AB).}$

Desse modo

${\ displaystyle \ det (I_ {n} + BA) = \ det (I_ {m} + AB).}$

Formulários

Deixe . A identidade pode ser usada para mostrar a declaração um pouco mais geral de que ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$

${\ displaystyle \ det (AB- \ lambda I_ {m}) = (- \ lambda) ^ {mn} \ det (BA- \ lambda I_ {n}).}$

Segue-se que os autovalores diferentes de zero de e são iguais. ${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle BA}$

Essa identidade é útil no desenvolvimento de um estimador Bayes para distribuições gaussianas multivariadas .

A identidade também encontra aplicações na teoria de matrizes aleatórias , relacionando determinantes de matrizes grandes a determinantes de matrizes menores.

Referências

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• t
• e