Lema de Sterbenz - Sterbenz lemma

Na aritmética de ponto flutuante , o lema de Sterbenz ou lema de Sterbenz é um teorema que fornece condições sob as quais as diferenças de ponto flutuante são calculadas exatamente. É nomeado após Pat H. Sterbenz, que o publicou como Teorema 4.3.1 em seu livro de 1974 Floating-Point Computation .

O lema de Sterbenz afirma que, para um sistema numérico de ponto flutuante com números subnormais , como IEEE 754 binário64 , se e são números de ponto flutuante tais que ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

então também é um número de ponto flutuante. Assim, a subtração de ponto flutuante é calculada exatamente. ${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle x \ ominus y = \ operatorname {fl} (xy) = xy}$

Relação com o cancelamento catastrófico

O lema Sterbenz pode ser contrastado com o fenômeno do cancelamento catastrófico :

• O lema de Sterbenz afirma que se e são suficientemente próximos números de ponto flutuante, então sua diferença é calculada exatamente pela aritmética de ponto flutuante , sem a necessidade de arredondamento.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle x \ ominus y = \ operatorname {fl} (xy)}$
• O fenômeno do cancelamento catastrófico é que se e são aproximações de números verdadeiros e - se as aproximações surgem de erro de arredondamento anterior ou de truncamento de série ou de incerteza física ou qualquer outra coisa - o erro da diferença da diferença desejada é inversamente proporcional a . Assim, quanto mais próximos e estão, pior pode ser como uma aproximação , mesmo que a própria subtração seja calculada com exatidão.${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$${\ displaystyle {\ tilde {y}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle {\ tilde {x}} - {\ tilde {y}}}$${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle {\ tilde {x}} - {\ tilde {y}}}$${\ displaystyle xy}$

Em outras palavras, o lema de Sterbenz mostra que subtrair números de ponto flutuante próximos é exato, mas se os números que você tem são aproximações, então até mesmo sua diferença exata pode estar longe da diferença de números que você deseja subtrair.

Use em análise numérica

O lema de Sterbenz é fundamental para provar teoremas sobre limites de erro na análise numérica de algoritmos de ponto flutuante. Por exemplo, a fórmula de Heron

para a área do triângulo com comprimentos laterais , e , onde é a semi-perímetro, pode dar pouca precisão para triângulos longos e estreitos, se avaliados directamente em aritmética de ponto flutuante. No entanto, a fórmula alternativa ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle s = (a + b + c) / 2}$ pode ser provado, com a ajuda do lema de Sterbenz, que tem baixo erro de avanço para todas as entradas.

Referências